Sửa đổi Giải tích hàm
Chú ý: Bạn chưa đăng nhập và địa chỉ IP của bạn sẽ hiển thị công khai khi lưu các sửa đổi.
Bạn có thể tham gia như người biên soạn chuyên nghiệp và lâu dài ở Bách khoa Toàn thư Việt Nam, bằng cách đăng ký và đăng nhập - IP của bạn sẽ không bị công khai và có thêm nhiều lợi ích khác.
Các sửa đổi có thể được lùi lại. Xin hãy kiểm tra phần so sánh bên dưới để xác nhận lại những gì bạn muốn làm, sau đó lưu thay đổi ở dưới để hoàn tất việc lùi lại sửa đổi.
Bản hiện tại | Nội dung bạn nhập | ||
Dòng 34: | Dòng 34: | ||
Trong giải tích hàm, việc nghiên cứu các phiếm hàm liên tục và các phiếm hàm tuyến tính đóng một vai trò thiết yếu (xem Phiếm hàm liên tục, Phiếm hàm tuyến tính). Tính chất của các phiếm hàm này có liên quan chặt chẽ với các tính chất của không gian ban đầu. | Trong giải tích hàm, việc nghiên cứu các phiếm hàm liên tục và các phiếm hàm tuyến tính đóng một vai trò thiết yếu (xem Phiếm hàm liên tục, Phiếm hàm tuyến tính). Tính chất của các phiếm hàm này có liên quan chặt chẽ với các tính chất của không gian ban đầu. | ||
− | Cho <math>X</math> là một không gian Banach và <math>X | + | Cho <math>X</math> là một không gian Banach và <math>X*</math> là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên <math>X</math>. Khi đó <math>X*</math> là không gian vector đối với các phép tính cộng và nhan với một số thông thường. Tập hợp <math>X*</math> sẽ trở thành một không gian Banach nếu ta đưa ra định nghĩa chuẩn như sau |
− | :<math>\lVert x | + | :<math>\lVert x* \rVert := \sup_{x \in X, \lVert x \rVert \le 1} \lVert \langle x*, x \rangle \rVert</math>, |
− | ở đây <math>\langle x | + | ở đây <math>\langle x*, x \rangle</math> là giá trị của phiếm hàm <math>x*</math> tại <math>x</math>. Không gian <math>X*</math> được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của <math>X</math> (xem Không gian liên hợp). |
Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng | Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng | ||
+ | :<math>\langle x*, x \rangle = \sum</math> | ||
− | + | với d là số chiều của X, xn là toạ độ của x và x∗ n là các số được xác đinh bởi phiếm hàm x ∗. Công thức này còn đúng trong không gian Hilbert H: Theo định lý Riesz, đối với mọi phiến hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ X∗ , tồn tại một phần tử a ∈ X, sao cho hx ∗ , xi = (a, x) Công thức này cho thấy không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó. | |
− | |||
− | với | ||
Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng | Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng | ||
− | + | X∗∗ := (X∗)∗, X∗∗∗ := ((X∗)∗)∗,... | |
− | nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ | + | nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ X vào X∗∗ đặt tướng ứng phần tử x∗∗ ∈ X∗∗ với mọi phần tử x ∈ X theo công thức hx∗∗, x∗i = hx∗, xi. Các không gian X có X∗∗ = X được gọi là không gian phản xạ. Nói chung, trong trường hợp không gian Banach, ngay cả sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính không tầm thường (nghĩa là, không đồng nhất bằng 0) cũng không phải là một vấn đề đơn giản. Vấn đề này dễ dàng được giải quyết một cách khẳng định nhờ có định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach). |
Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng). | Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng). |