Giải tích hàm là một nhánh của giải tích toán học hiện đại nghiên cứu hàm số $y=f(x)$ mà ít nhất một trong các biến số $x$ hoặc $y$ biến thiên trong một không gian vô hạn chiều. Nhìn chung, các nghiên cứu trong giải tích hàm có thể chia thành ba phần: 1) Giới thiệu và nghiên cứu các không gian vô hạn chiều; 2) Nghiên cứu về các hàm số đơn giản nhất, tức là, khi $x$ nhận giá trị trong không gian vô hạn chiều và $y$ nhận giá trị trong không gian một chiều, còn được gọi là các phiếm hàm (xem Phiếm hàm); và 3) Nghiên cứu về các hàm số tổng quát có dạng nhất định được gọi là toán tử (xem Toán tử). Các toán tử tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ nhất. Lý thuyết toán tử tuyến tính là sự tổng quát của đại số tuyến tính cho trường hợp vô hạn chiều. Sự kết hợp của các phương pháp giải tích cổ điển và đại số là đặc trưng cho các phương pháp của giải tích hàm, thể hiện sự liên quan chặt chẽ giữa hai lĩnh vực dường như rất khác của toán học.

Như là một môn toán học độc lập, giải tích hàm bắt đầu hình thành vào cuối thế kỷ 19, và được định hình vào những năm 1920 và 1930, một mặt dưới ảnh hưởng của việc nghiên cứu các lớp đặc biệt của toán tử tuyến tính - các toán tử tích phân và các phương trình tích phân có liên quan, và mặt khác dưới ảnh hưởng của sự phát triển thuần túy nội tại của toán học hiện đại. Cơ học lượng tử cũng có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của giải tích hàm, vì các khái niệm cơ bản của nó, ví dụ như năng lượng là các toán tử tuyến tính (mà lúc đầu các nhà vật lý giải thích một cách lỏng lẻo là các ma trận vô hạn) trên không gian vô hạn chiều. Thuật ngữ "phiếm hàm" có nguồn gốc từ các phép tính biến phân. Hàm có đối số là một hàm lần đầu tiên được sử dụng trong cuốn sách của Hadamard vào năm 1910. Tuy nhiên, khái niệm chung của phiếm hàm đã được đề cập trước đó, vào năm 1887 bởi nhà toán học và vật lý người Ý Volterra. Lý thuyết về phiếm hàm phi tuyến được tiếp tục bởi các học trò của Hadamard là Fréchet và Lévy. Hadamard cũng thành lập trường phái hiện đại về giải tích hàm tuyến tính mà sau đó được phát triển bởi Riesz và nhóm toán học Ba Lan đứng đầu là Banach.

Khái niệm về không gian

Không gian vector tô pô ( xem Không gian vector tô pô) là không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm. Đây là các không gian vector (tuyến tính) $X$ trên trường các số phức $\mathbb {C}$ (hoặc bất kỳ trường nào khác, ví dụ số thực $\mathbb {R}$) đồng thời là không gian tô pô có cấu trúc tuyến tính và cấu trúc tô pô tương thích với nhau theo nghĩa các phép tính tuyến tính liên tục trong tô pô của không gian này. Nếu $X$ là một không gian số metric, thì khi đó chúng ta một không gian vector metric.

Một trường hợp đặc biệt của không gian vector tô pô nhưng rất quan trọng khi khái niệm về chuẩn $\lVert x\rVert$ (chiều dài) của một vector được định nghĩa bằng tiên đề. Một không gian vector với một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn (xem Không gian định chuẩn). Nó có thể được metric hoá băng cách xác định metric dựa trên chuẩn: $\rho (x,y):=\lVert x-y\rVert$. Một không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach (xem Không gian Banach) nếu nó đầy đối với metric được sinh ra bởi chuẩn.

Trong rất nhiều không gian vector chúng ta có thể định nghĩa tích vô hướng (xem Tich vô hướng) $(x,y)$ đối với hai vector bất kỳ $x$ và $y$. Tích vô hướng này là tổng quát hóa của tích vô hướng thông thường trong không gian Euclid ba chiều. Một không gian vector với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Đây là một trường hợp đặc biệt của không gian chuẩn với chuẩn được định nghĩa là $\lVert x\rVert :={\sqrt {(x,x)}}$. Nếu không gian này đầy, thì nó được gọi là không gian Hilbert (xem Không gian Hilbert).

Các không gian vô hạn chiều được nghiên cứu trong giải tích hàm, tức là các không gian trong đó có một tập hợp vô hạn các vector tuyến tính độc lập.

Trên quan điểm hình học, không gian định chuẩn đơn giản nhất là không gian Hilbert $H$, có các thuộc tính hầu hết giống với không gian hữu hạn chiều, vì trong không gian Hilbert chúng ta có thể đưa ra một khái niệm tương tự như góc giữa hai vector qua tích vô hướng. Đặc biệt, hai vector $x$ và $y$ được cho là trực giao: $x\bot y$, nếu $(x,y)=0$. Chúng ta có khẳng định sau: Cho $G$ là một không gian con của $H$, khi hình chiếu $x_{G}$ của một vector bất kỳ $x$ lên $G$ là một vector sao cho $x-x_{G}$ trực giao với mọi vector trong $G$. Do tính chất hình học này, một số lượng lớn các cấu trúc hình học có trong không gian hữu hạn chiều có thể được chuyển cho không gian Hilbert là một đối tương nghiên cứu mang đặc tính giải tích.

Các vấn đề về cấu trúc hình học trở nên phức tạp hơn khi chúng ta đi từ không gian Hilbert đến không gian Banach, và các không gian vector tô pô, vì phép chiếu trực giao không có nghĩa trong các không gian này. Ví dụ, trong không gian $\varphi _{p}(\mathbb {N} ,1\leq p\leq \infty )$, các vectơ $e_{n}:=(0,...,0,1,0,...)$ tạo thành một cơ sở theo nghĩa mỗi vector $x\in \varphi _{p}(\mathbb {N} )$ có thể biểu diễn "theo toạ độ":

$x=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}e_{n}$.

Việc xây dựng cơ sở cho không gian $C[a,b]$ đã trở nên phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng một cơ sở cho tất cả các không gian Banach quen thuộc. Vậy liệu có tồn tại một cơ sở trong mỗi không gian Banach không? Vấn đề này, bất chấp những nỗ lực của nhiều nhà toán học, đã không có lời giải trong hơn 40 năm và lời giải phủ định chỉ được tìm ra vào năm 1972 (xem [23]). Trong giải tích hàm, các chủ đề "hình học" chiếm một vị trí quan trọng. Các chủ đề này có mục đích làm rõ các tính chất của các tập hợp khác nhau trong không gian Banach và các không gian khác, ví dụ như các tập hợp lồi, các tập hợp compact,...

Các không gian hàm cụ thể mà chúng ta biết đén đã được nghiên cứu chi tiết, vì tính chất của các không gian này thường xác định đặc tính của lời giải cho một vấn đề bằng các phương pháp giải tích hàm. Các định lý nhúng đối với các không gian Sobolev (xem Không gian Sobolev), và các tổng quát hóa khác nhau của chúng, có thể là một ví dụ.

Gắn liền với nhu cầu của vật lý toán hiện đại, một số lượng lớn không gian cụ thể đã xuất hiện. Những không gian này thường được xây dựng từ không gian ban đầu bằng cách sử dụng các cấu trúc và phép biến đổi nhất định. Dưới đây là một số cấu trúc phổ biến và đơn giản nhất.

1. Tổng trực giao $H=\bigoplus _{n=1}^{\infty }H_{n}$ của các không gian Hilbert $H_{n}$.
2. Thương của một không gian: Cho $(x,y)$ là một tích vô hương suy biến trong không gian vector $X$ (có nghĩa là $(x,x)=0$ có thể xảy ra khi $x\neq 0$); không gian Hilbert thương $H$ được định nghĩa là $X$ đã được làm đầy sau khi tất cả các vector $x$ với $(x,x)=0$ được đồng nhất với vector $0\in H$.
3. Tích tensor $H=\bigoplus _{n=1}^{\infty }H_{n}$ của các không gian Hilbert $H_{n}$.

Phiếm hàm

Trong giải tích hàm, việc nghiên cứu các phiếm hàm liên tục và các phiếm hàm tuyến tính đóng một vai trò thiết yếu (xem Phiếm hàm liên tục, Phiếm hàm tuyến tính). Tính chất của các phiếm hàm này có liên quan chặt chẽ với các tính chất của không gian ban đầu.

Cho $X$ là một không gian Banach và $X^{*}$ là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên $X$. Khi đó $X^{*}$ là không gian vector đối với các phép tính cộng và nhan với một số thông thường. Tập hợp $X^{*}$ sẽ trở thành một không gian Banach nếu ta đưa ra định nghĩa chuẩn như sau

$\lVert x^{*}\rVert :=\sup _{x\in X,\lVert x\rVert \leq 1}\lVert \langle x^{*},x\rangle \rVert$,

ở đây $\langle x^{*},x\rangle$ là giá trị của phiếm hàm $x^{*}$ tại $x$. Không gian $X^{*}$ được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của $X$ (xem Không gian liên hợp).

Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng

$\langle x^{*},x\rangle =\sum _{n=1}^{d}x_{n}^{*}x_{n}$

với $d$ là số chiều của $X$, $x_{n}$ là toạ độ của $x$ và $x_{n}^{*}$ là các số được xác đinh bởi phiếm hàm $X^{*}$. Công thức này còn đúng trong không gian Hilbert $H$: Theo định lý Riesz, đối với mọi phiến hàm tuyến tính liên tục $x^{*}\in X^{*}$, tồn tại một phần tử $a\in X$, sao cho $\langle x^{*},x\rangle =(a,x)$ Công thức này cho thấy không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.

Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng

$X^{**}:=(X^{*})^{*},X^{***}:=((X^{*})^{*})^{*},...$

nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ $X$ vào $X^{**}$ đặt tướng ứng phần tử $x^{**}\in X^{**}$x∗∗ ∈ X∗∗ với mọi phần tử $x\in X$ theo công thức $\langle x^{**},x^{*}\rangle =\langle x^{*},x\rangle$. Các không gian $X$ có $X^{**}=X$ được gọi là không gian phản xạ. Nói chung, trong trường hợp không gian Banach, ngay cả sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính không tầm thường (nghĩa là, không đồng nhất bằng 0) cũng không phải là một vấn đề đơn giản. Vấn đề này dễ dàng được giải quyết một cách khẳng định nhờ có định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach).

Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng).

Toán tử

Một trong những đối tượng chính của các nghiên cứu trong giải tích hàm là toán tử $A$ từ không gian vector tô pô $X$ vào không gian vector tô pô $Y$ (phần lớn, $X$ và $Y$ là định chuẩn hay Hilbert), trước tiên là cả các toán tử tuyến tính (xem Toán tử tuyến tính).

Khi $X$ và $Y$ có $d$ chiều hữu hạn, toán tử tuyến tính $A$ có dạng

$(Ax)_{j}=\sum _{n=1}^{d}a_{jn}x_{n},$

ở đây $x_{1},...x_{d}$ là toạ độ của vector $x$ đối với một cơ sở nhất định, và $A(x)_{1},...,(Ax)_{d}$ là toạ độ của vector $y=Ax$. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, mỗi toán tử tuyến tính đối với các cơ sở xác định trong $X$ và $Y$ , có một ma trận tương ứng $(a_{ij})_{i,j=1}^{d}$. Việc nghiên cứu những toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều thuộc về đại số tuyến tinh (xem Đại số tuyến tính).

Tình hình trở nên phức tạp hơn khi $X$ và $Y$ là không gian vô hạn chiều (thậm chí cả khi là không gian Hilbert). Trước hết, hai lớp toán tử xuất hiện ở đây: các toán tử liên tục hay toán tử bị chặn) và toán tử không liên tục. Các toán tử loại đầu tiên là đơn giản hơn, nhưng loại thứ hai lại hay gặp hơn, ví dụ: các toán tử vi phân là toán tử không liên tục.

Lớp quan trọng (nhất là đối với cơ học lượng tử) của các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert đã được nghiên cứu hầu như triệt để (xem Toán tử tự liên hợp).

Trong số các lớp đặc biệt của các toán tử trên một không gian Banach, các toán tử liên tục hoàn toàn hoặc toán tử compact (xem Toán tử liên tục hoàn toàn, Toán tử compact) có vai trò quan trọng nhất. Nếu $A$ là một toán tử compact, thì phương trình $x-Ax=y$ (với $y$ là một vector cho trước và $x$ là vector cần tìm) đã được nghiên cứu kỹ. Các khẳng định tương tự đối với phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều cũng đúng đối với phương trình này (còn được gọi là lý thuyết Fredholm). Đối với toán tử compact $A$, người ta nghiên cứu điều kiện để các vector vector riêng của $A$ và các vector liên quan của chúng trù mật trong $X$, nghĩa là, bất kỳ vector nào có thể được xấp xỉ bằng các tổ hợp tuyến tính của vector riêng và vector có liên quan,...

Các kết quả cơ bản

Bây giờ chúng ta sẽ điểm qua một số kết quả cơ bản quan trọng nhất của giải tích hàm. Đó là định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, định lý ánh xạ mở Banach-Schauder và đinh lý đồ thị đóng.

Trước tiên là định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach). Định lý HahnBanach là một công cụ trung tâm trong giải tích hàm. Nó cho phép mở rộng các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, được xác định trên một không gian con của không gian vector ra toàn bộ không gian, và nó cũng cho thấy rằng có "đủ" phiếm hàm tuyến tính liên tục được xác định trên mỗi không gian định chuẩn để nghiên cứu không gian liên hợp của nó trở nên đáng được quan tâm. Chúng ta có định lý sau đây.

Định lý Hahn-Banach. Nếu $p:X\to \mathbb {R}$ là một hàm dưới tuyến tính xác định trên không gian vector thực $X$, và $\varphi$ là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian con $Y$ của $X$ sao cho

$\varphi (x)\leq p(x)\forall x\in X,$

thì tồn tại một hàm tuyến tính $/lambda$ xác đinh trên toàn bộ không gian $X$ sao cho

$\lambda (x)=\varphi (x)\forall x\in Y,\lambda (x)\leq p(x)\forall x\in X$.

Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, hay còn được gọi là Định lý BanachSteinhaus (xem Định lý Banach-Steinhaus). Nguyên lý này khẳng định rằng đối với một họ các toán tử tuyến tính liên tục (và do đó bị chặn) có miền xác định là một không gian Banach, sự bị chặn theo từng điểm tương đương với sự bị chặn đều theo chuẩn. Định lý này được công bố lần đầu tiên vào năm 1927 bởi Stefan Banach và Hugo Steinhaus, nhưng nó cũng đã được Hans Hahn chứng minh một cách độc lập. Cụ thể hơn, chúng ta có định lý sau đây.

Định lý Banach-Steinhaus. Cho $X$ là không gian Banach và $Y$ là một không gian véc tơ định chuẩn. Giả sử $F$ là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ $X$ đến $Y$ . Nếu với mọi $x\ inX$ ta có

${\text{sup}}_{T\in F}\lVert T(x)\rVert _{Y}<\infty$, (4)

khi đó

${\text{sup}}_{T\in F}\lVert T(x)\rVert _{B(X,Y)}<\infty$. (5)

Định lý lập ánh xạ mở [sửa] Bài chi tiết: Định lý lập ánh xạ mở. Định lý lập ánh xạ mở, hay còn được gọi là định lý Banach-Schauder (được đặt tên theo Stefan Banach và Juliusz Schauder), là một kết quả cơ bản cho biết nếu một toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach là một phép tính thì đó là một ánh xạ mở. Cụ thể hơn,: [2]

Định lý ánh xạ mở. Nếu $X$ và $Y$ là không gian Banach và $A:X\to Y$ là toán tử tuyến tính liên tục từ $X$ lên $Y$, thì $A$ là một ánh xạ mở, tức là, nếu $U$ là tập hợp mở trong $X$, thì $A(U)$ là tập hợp mở trong $Y$.

Định lý đồ thị đóng. Bài chi tiết: Định lý đồ thị đóng Định lý đồ thị khép kín nói lên điều sau: Nếu $X$ là không gian tô pô và $Y$ là một không gian compact Hausdorff, thì đồ thị của một ánh xạ tuyến tính $A$ từ $X$ đến $Y$ đóng khi và chỉ khi $A$ là liên tục [3].

Tài liệu tham khảo

• N. I. [N. I. Akhiezer] Ahiezer, Theory of linear operators in Hilbert space, 1–2 , Pitman, 1984 (Translated from Russian).

• S. S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner, 1932.

• S. S. Banach, A course of functional analysis, Kiev, 1948 (In Ukrainian).

• N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces, Springer, 1987 (Translated from French).

• J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer, 1985.

• N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators, 1–3 , Interscience, 1958–1971.

• P. Enflo,¨ A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta. Math. , 130 (1973) pp. 309–317.

• A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo , 8 (1956) pp. 1–79.

• E. Hille and R.S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., 1957.

• L. V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Uspekhi Mat. Nauk , 3 : 6 (1948) pp. 89–185 (In Russian).

• L. V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functionalanalysis in normierten Raumen ¨ , Akademie Verlag, 1964 (Translated from Russian).

• A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis, 1–2 , Graylock, 1957–1961 (Translated from Russian).

• J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces , 1–2 , Springer, 1977–1979.

• M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, 1–4 , Acad. Press, 1972–1978.

• F. Riesz and B. Szokefalvi-Nagy, ¨ Functional analysis, F. Ungar, 1955 (Translated from French).

• W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.

• H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Macmillan, 1966.

• S. L. Sobolev, Applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc., 1963 (Translated from Russian).

• W. I. [V.I. Sobolev] Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis, H.Deutsch , Frankfurt a.M., 1979 (Translated from Russian).

• K. Yosida, Functional analysis, Springer, 1980, pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5.