Sửa đổi Đa thức
Chú ý: Bạn chưa đăng nhập và địa chỉ IP của bạn sẽ hiển thị công khai khi lưu các sửa đổi.
Bạn có thể tham gia như người biên soạn chuyên nghiệp và lâu dài ở Bách khoa Toàn thư Việt Nam, bằng cách đăng ký và đăng nhập - IP của bạn sẽ không bị công khai và có thêm nhiều lợi ích khác.
Các sửa đổi có thể được lùi lại. Xin hãy kiểm tra phần so sánh bên dưới để xác nhận lại những gì bạn muốn làm, sau đó lưu thay đổi ở dưới để hoàn tất việc lùi lại sửa đổi.
Bản hiện tại | Nội dung bạn nhập | ||
Dòng 92: | Dòng 92: | ||
Các biểu thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> được gọi là ''đơn thức''. Bậc của đơn thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> là tổng <math>r_1 + ... + r_n</math> của các số mũ. Nếu <math>r_1 = ... = r_n = 0</math> thì <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n} = 1</math>. Ta quy định bậc của 1 là <math>-\infty</math>. Bậc của đa thức <math>f \ne 0</math> là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của <math>f</math>. Ta ký hiệu bậc của <math>f</math> với <math>\text{deg }f</math>. Chú ý rằng <math>\text{deg }f \le 0</math> khi và chỉ khi <math>f \in A</math>. | Các biểu thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> được gọi là ''đơn thức''. Bậc của đơn thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> là tổng <math>r_1 + ... + r_n</math> của các số mũ. Nếu <math>r_1 = ... = r_n = 0</math> thì <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n} = 1</math>. Ta quy định bậc của 1 là <math>-\infty</math>. Bậc của đa thức <math>f \ne 0</math> là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của <math>f</math>. Ta ký hiệu bậc của <math>f</math> với <math>\text{deg }f</math>. Chú ý rằng <math>\text{deg }f \le 0</math> khi và chỉ khi <math>f \in A</math>. | ||
− | Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là | + | Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng |
− | + | f = c0,0 + c10x1 + c01x2 + · · · + c1,r−1x1xr−12 + c0,rxr2. | |
− | |||
− | |||
− | + | Nếu ta coi x1, ..., xn như các phần tử trong A thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức n biến trên A. Tập các đa thức n biến trên A được gọi vành đa thức n biến trên A, ký hiệu là A[x1, ..., xn]. Ta có thể coi A[x1, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành đa thức (n − 1) biến A[x1, ..., xn−1], có nghĩa là | |
+ | |||
+ | A[x1, ..., xn] := A[x1, ..., xn−1][xn]. | ||
Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến. | Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến. | ||
− | Với mọi | + | Với mọi a = (α1, ..., αn) ∈ An ta ứng với đa thức f ở trên một phần tử f(a) ∈ A như sau: |
− | + | f(a) = X r1+···+rn≤r cr1,...,rn α r1 1 · · · α rn n. | |
− | Nếu | + | Nếu f(a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f. Ta có thể coi f là một hàm từ An vào A và tập nghiệm của f như là một hình hình học trong An. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học. |
− | Đa thức | + | Đa thức f được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của f đều có cùng bậc. Ví dụ như a1x1+· · ·+anxn là đa thức thuần nhất. Nếu a = (α1, ..., αn) là nghiệm của đa thức thuần nhất f thì λa = (λα1, ..., λαn) cũng là nghiệm của f. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc (0, ..., 0) của An. |
− | Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của | + | Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới. |