Đa thức là một biểu thức
có dạng

trong đó
là biến số và
là những số cho trước, là đa thức. Người ta hay dùng ký hiệu
thay cho
để chỉ
là đa thức của biến
.
Các thành phần
được gọi là các hạng tử của
. Với mọi
= 0, 1, ...,
, số
được gọi là hệ số của
trong
. Nếu
thì n được gọi là bậc của
, ký hiệu là
. Khi đó, ta gọi
là hệ số đầu của
.
Nếu
thì ta gọi
là đa thức không, ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định
theo nghĩa
nhỏ hơn
với mọi
. Nếu
thì
là một số. Nếu
thì
được gọi là một đa thức tuyến tính.
Nếu ta coi
như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

là một đa thức khác với
thì

trong đó
với mọi
. Ta cũng dễ dàng thấy

Ta không có phép chia hai đa thức
vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức
sao cho
. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia
cho
theo nghĩa sau:
Bổ đề. Cho
và
là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức
và
sao cho

với
. Các đa thức
và
được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.
Ta gọi
là thương
là phần dư của phép chia
cho
. Điều kiện
tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.
Ta có thể xác định
và
theo thuật toán sau. Đặt
= deg f và
. Nếu
thì ta đặt
và
. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu
thì ta xét đa thức

trong đó
và
là hệ số đầu của
và
. Rõ ràng là
có thể viết dưới dạng
nếu
có thể viết dưới dạng
với
. Ta tiếp tục quá trình trên với
và
. Do
nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ
nào đó, có nghĩa là
có thể viết dưới dạng
với
. Từ đây suy ra
có thể viết dưới dạng
gh + v với
. Thuật toán trên đây được gọi là thuật toán Ơclit.
Nếu
hay là
thì ta nói
chia hết cho
hay
là ước của
.
Trong trường hợp
với
là một số nào đó thì
. Nếu
thì
là một số khác không. Nếu
thì
chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

với
là một số nào đó.
Ta có thể coi mỗi đa thức
như một hàm số với

Số
được gọi là nghiệm của
nếu
. Từ công thức
ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của
.
Bổ đề.
khi và chỉ khi
chia hết cho
.
Nếu
là nghiệm của
thì ta có
với
. Người ta gọi số mũ
lớn nhất sao cho
chia hết cho
là bội của nghiệm
, có nghĩa là
với
. Khi đó ta có thể coi
có
nghiệm
.
Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.
Định lý. Nếu
thì
có nhiều nhất
nghiệm.
Ta gọi đa thức
là bất khả quy nếu
không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn
. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.
Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức
là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì
chia hết cho
.
Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành
có đơn vị. Khi đó, đa thức trên
là một biểu thức
có dạng

trong đó
là biến số và
. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.
Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên
với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên
lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên
, ký hiệu là
.
Ta gọi đa thức
là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của
là phần tử nghịch đảo trong
. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:
Bổ đề. Cho
là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức
dưới dạng

với
và
. Các đa thức
và
được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.
Chú ý rằng nếu
là một trường thì mọi đa thức
đều có thể viết dưới dạng
, trong đó
là hệ số đầu của
và
là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi
là đa thức chuẩn hoá của
. Ta có thể chia
cho
bằng cách chia
cho
. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức
nếu
là một trường.
Ta gọi đa thức
là bất khả quy trong
nếu
không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn
trong
. Nếu
là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức
thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.
Đa thức
biến trên
là một biểu thức
có dạng

trong đó
là các biến số và
với mọi bộ số nguyên
thoả mãn
với
là một số nguyên cho trước. Các phần tử
được gọi là hệ số của
. Các thành phần
được gọi là các hạng tử của
. Người ta hay dùng ký hiệu
thay cho
để chỉ
là đa thức của các biến
.
Các biểu thức
được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức
là tổng
của các số mũ. Nếu
thì
. Ta quy định bậc của 1 là
. Bậc của đa thức
là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của
. Ta ký hiệu bậc của
với
. Chú ý rằng
khi và chỉ khi
.
Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi
như những chữ cái và đơn thức
như một chữ bao gồm
chữ cái
chữ cái
. Như vậy,
sẽ đứng trước
nếu
hay
nhưng
, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi
. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc
dưới dạng

Nếu ta coi
như các phần tử trong
thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức
biến trên
. Tập các đa thức
biến trên
được gọi vành đa thức
biến trên
, ký hiệu là
. Ta có thể coi
là vành đa thức của biến
trên vành đa thức
biến
, có nghĩa là
![{\displaystyle A[x_{1},...,x_{n}]:=A[x_{1},...,x_{n-1}][x_{n}].}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49efa5df18856493693f5c239e58b50ff167dc2d)
Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.
Với mọi
ta ứng với đa thức
ở trên một phần tử
như sau:

Nếu
thì ta gọi
là nghiệm của
. Ta có thể coi
là một hàm từ
vào
và tập nghiệm của
như là một hình hình học trong
. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.
Đa thức
được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của
đều có cùng bậc. Ví dụ như
là đa thức thuần nhất. Nếu
là nghiệm của đa thức thuần nhất
thì
cũng là nghiệm của
. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc
của
.
Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.