Đa thức là một biểu thức $f$ có dạng

Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n},}

trong đó $x$ là biến số và $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ là những số cho trước, là đa thức. Người ta hay dùng ký hiệu $f(x)$ thay cho $f$ để chỉ $f$ là đa thức của biến $x$.

Các thành phần $a_{0},a_{1}x,...,a_{n}x^{n}$ được gọi là các hạng tử của $f$. Với mọi $i$ = 0, 1, ..., $n$, số Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle a_{i}} được gọi là hệ số của $x^{i}$ trong $f$. Nếu $a_{n}\neq 0$ thì n được gọi là bậc của $f$, ký hiệu là Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle {\text{deg }}f} . Khi đó, ta gọi Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle a_{n}} là hệ số đầu của $f$.

Nếu $a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0$ thì ta gọi $f$ là đa thức không, ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định ${\text{deg }}0=\infty$ theo nghĩa ${\text{deg }}0$ nhỏ hơn $n$ với mọi $n\geq 0$. Nếu ${\text{deg }}f=0$ thì $f=a_{0}\neq 0$ là một số. Nếu ${\text{deg }}f=1$ thì $f$ được gọi là một đa thức tuyến tính.

Nếu ta coi $x$ như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle g=b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}}

là một đa thức khác với $m\leq n$ thì

Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f+g=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+...+(a_{n}+b_{n})x^{n},}

trong đó $b_{i}=0$ với mọi $i>m$. Ta cũng dễ dàng thấy

$fg=(a_{0}b_{0})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+...+(a_{n}b_{m})x^{m+n}.$

Ta không có phép chia hai đa thức ${\frac {f}{g}}$ vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức $h$ sao cho $f=gh$. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia $h$ cho $g$ theo nghĩa sau:

Bổ đề. Cho $f$ và $g$ là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức $h$ và $v$ sao cho

Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f=gh+v}

với ${\text{deg }}v<{\text{deg }}g$. Các đa thức $h$ và $v$ được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.

Ta gọi $h$ là thương $v$ là phần dư của phép chia Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Điều kiện ${\text{deg }}v<{\text{deg }}g$ tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.

Ta có thể xác định $h$ và $v$ theo thuật toán sau. Đặt $n={\text{deg }}f$ = deg f và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m = \text{deg } g} . Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n < m} thì ta đặt Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h = 0} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v = f} . Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle n\geq m} thì ta xét đa thức

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,}

trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle b} là hệ số đầu của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Rõ ràng là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle gh + v} nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_1} có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle gh_1 + v} với ${\text{deg }}v<{\text{deg }}g$. Ta tiếp tục quá trình trên với $f_{1}$ và $g$. Do ${\text{deg }}f_{1}<m={\text{deg }}g$ nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ $i$ nào đó, có nghĩa là $f_{i}$ có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle gh_i + v} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g} . Từ đây suy ra Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle gh + v} gh + v với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g} . Thuật toán trên đây được gọi là thuật toán Ơclit.

Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = gh} hay là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v = 0} thì ta nói Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} hay Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} là ước của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} .

Trong trường hợp Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g = x - c} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} là một số nào đó thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g = 1} . Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v = 0} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} là một số khác không. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < 0} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)h + v}

với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} là một số nào đó.

Ta có thể coi mỗi đa thức $f$ như một hàm số với

Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f(c)=a_{0}+a_{1}c+...+a_{n}c^{n}.}

Số Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} được gọi là nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(c) = 0} . Từ công thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)h + v} ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} .

Bổ đề. Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(c) = 0} khi và chỉ khi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x - c} .

Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} là nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} thì ta có Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)h} với Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle {\text{deg }}h={\text{deg }}f-1} . Người ta gọi số mũ $s$ lớn nhất sao cho $f$ chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (x - c)s} là bội của nghiệm Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} , có nghĩa là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)sh} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h(c) \ne 0} . Khi đó ta có thể coi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s} nghiệm Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} .

Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.

Định lý. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f = n} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có nhiều nhất Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} nghiệm.

Ta gọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là bất khả quy nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} . Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.

Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x^2 - 2} là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x^2 - 2} chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x - \sqrt{2}} .

Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} có đơn vị. Khi đó, đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một biểu thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,}

trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} là biến số và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_0, a_1, ..., a_n \in A} . Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.

Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} , ký hiệu là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} .

Ta gọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là phần tử nghịch đảo trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} . Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:

Bổ đề. Cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g \in A[x]} là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \in A[x]} dưới dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = gh + v}

với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h, v \in A[x]} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g} . Các đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.

Chú ý rằng nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một trường thì mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g \in A[x]} đều có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g = ag_1} , trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} là hệ số đầu của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g_1} là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g_1} là đa thức chuẩn hoá của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Ta có thể chia Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} bằng cách chia Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g_1} . Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g \ne 0} nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một trường.

Ta gọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là bất khả quy trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} . Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \in A[x]} thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

Đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} biến trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một biểu thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},}

trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., x_n} là các biến số và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c_{r_1, ..., r_n} \in A} với mọi bộ số nguyên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1, ..., r_n \ge 0} thoả mãn Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 + ... + r_n \le r} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r \ge 0} là một số nguyên cho trước. Các phần tử Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c_{r_1, ..., r_n}} được gọi là hệ số của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Các thành phần Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c_{r_1, ..., r_n}x_1^{r_1} ... x_n^{r_n}} được gọi là các hạng tử của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Người ta hay dùng ký hiệu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(x_1, ..., x_n)} thay cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} để chỉ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là đa thức của các biến Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., x_n} .

Các biểu thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}} được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}} là tổng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 + ... + r_n} của các số mũ. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 = ... = r_n = 0} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n} = 1} . Ta quy định bậc của 1 là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle -\infty} . Bậc của đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \ne 0} là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Ta ký hiệu bậc của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} . Chú ý rằng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f \le 0} khi và chỉ khi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \in A} .

Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle x_{1},...,x_{n}} như những chữ cái và đơn thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}} như một chữ bao gồm $r_{1}$ chữ cái Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., r_n} chữ cái $x_{n}$. Như vậy, Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}} sẽ đứng trước Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle x_{1}^{s_{1}},...,x_{n}^{s_{n}}} nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 < s_1} hay $r_{1}=s_{1}$ nhưng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s_2 < r_2} , v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi $1<x_{1}<x_{2}<x_{1}^{2}<x_{1}x_{2}<x_{2}^{2}<...<x_{1}x_{2}^{r-1}<x_{2}^{r}$. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r} dưới dạng

$f=c_{0,0}+c_{10}x_{1}+c_{01}x_{2}+...+c_{1,r-1}x_{1}x_{2}^{r-1}+c_{0,r}x_{2}^{r}.$

Nếu ta coi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., x_n} như các phần tử trong $A$ thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức $n$ biến trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} . Tập các đa thức $n$ biến trên $A$ được gọi vành đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} biến trên $A$, ký hiệu là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x_1, ..., x_n]} . Ta có thể coi $A[x_{1},...,x_{n}]$ là vành đa thức của biến $x_{n}$ trên vành đa thức Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle (n-1)} biến Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle A[x_{1},...,x_{n-1}]} , có nghĩa là

$A[x_{1},...,x_{n}]:=A[x_{1},...,x_{n-1}][x_{n}].$

Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.

Với mọi $a=(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\in A^{n}$ ta ứng với đa thức $f$ ở trên một phần tử Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(a) \in A} như sau:

Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f(a)=\sum _{r_{1}+...+r_{n}\leq r}c_{r_{1},...,r_{n}}\alpha _{1}^{r_{1}}...\alpha _{n}^{r_{n}}.}

Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(a) = 0} thì ta gọi $a$ là nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Ta có thể coi $f$ là một hàm từ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A^n} vào $A$ và tập nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} như là một hình hình học trong Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle A^{n}} . Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.

Đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của $f$ đều có cùng bậc. Ví dụ như $a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}$ là đa thức thuần nhất. Nếu Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle a=(\alpha _{1},...,\alpha _{n})} là nghiệm của đa thức thuần nhất $f$ thì $\lambda a=\lambda \alpha _{1},...,\lambda \alpha _{n}$ cũng là nghiệm của $f$. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle (0,...,0)} của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A^n} .

Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.