Sửa đổi Phân loại các bài toán quy hoạch toán học
Chú ý: Bạn chưa đăng nhập và địa chỉ IP của bạn sẽ hiển thị công khai khi lưu các sửa đổi.
Bạn có thể tham gia như người biên soạn chuyên nghiệp và lâu dài ở Bách khoa Toàn thư Việt Nam, bằng cách đăng ký và đăng nhập - IP của bạn sẽ không bị công khai và có thêm nhiều lợi ích khác.
Các sửa đổi có thể được lùi lại. Xin hãy kiểm tra phần so sánh bên dưới để xác nhận lại những gì bạn muốn làm, sau đó lưu thay đổi ở dưới để hoàn tất việc lùi lại sửa đổi.
Bản hiện tại | Nội dung bạn nhập | ||
Dòng 240: | Dòng 240: | ||
Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức | Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức | ||
− | + | <math>f^0(\bar{x}; v) := \lim_{x \to \bar{x}} \sup_{t \downarrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}</math> | |
− | + | <math>= sup \Bigl\{ \xi \in \mathbb{R} : \forall \text{ các dãy } x_k \to \bar{x} \text{ và } t_k \to 0+ \text{ sao cho } \xi = \lim_{k \to + \infty} \frac{f(x_k + t_kv) - f(x_k)}{t_k} \Bigr\}.</math> | |
===Dưới vi phân Clarke=== | ===Dưới vi phân Clarke=== | ||
Dòng 248: | Dòng 248: | ||
''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức | ''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức | ||
− | + | <math>\partial f (\bar{x}) := \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f^0 (\bar{x}; v) \ge \langle x^*, v \rangle \text{ với mọi } v \in \mathbb{R}^n \}</math> | |
− | + | Định lý 0.0.7. ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)Cho f : Rn → R là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng: | |
− | + | (a) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn, thì | |
− | + | f0(¯x; v) = max{hx∗, vi : x∗ ∈ ∂f(¯x)} | |
− | + | với mọi v ∈ Rn. | |
− | + | (b) Nếu f là hàm C1, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và ∂f(¯x) = {∇f(¯x)}, f0(¯x; v) = h∇f(¯x), vi với mọi x¯ ∈ Rn và v ∈ Rn. | |
− | + | (c) Nếu f là lồi, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi x¯ ∈ Rn, dưới vi phân Clarke ∂f(¯x) trùng với dưới vi phân của f tại x¯theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, f0 (¯x; v) = f0 (¯x; v) với mỗi v ∈ Rn. | |
− | + | Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng f0(¯x; v) tồn tại (xem Định lý 0.0.2). | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng | ||
===Nón tiếp tuyến Clarke=== | ===Nón tiếp tuyến Clarke=== | ||
− | Cho | + | Cho C ⊂ Rn là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke TC(x) của C tại x ∈ C là tập hợp tất cả các véctơ v ∈ Rn thỏa mãn d0 C(x; v) = 0, ở đó d0 C(x; v) ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz |
− | + | dC(z) := inf{ky − zk : y ∈ C} | |
− | tại | + | tại x theo hướng v. |
===Nón pháp tuyến Clarke=== | ===Nón pháp tuyến Clarke=== | ||
− | + | Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là | |
− | + | NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}. | |
− | + | Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng: | |
(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o. | (a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o. |