Sửa đổi Phân loại các bài toán quy hoạch toán học
Chú ý: Bạn chưa đăng nhập và địa chỉ IP của bạn sẽ hiển thị công khai khi lưu các sửa đổi.
Bạn có thể tham gia như người biên soạn chuyên nghiệp và lâu dài ở Bách khoa Toàn thư Việt Nam, bằng cách đăng ký và đăng nhập - IP của bạn sẽ không bị công khai và có thêm nhiều lợi ích khác.
Các sửa đổi có thể được lùi lại. Xin hãy kiểm tra phần so sánh bên dưới để xác nhận lại những gì bạn muốn làm, sau đó lưu thay đổi ở dưới để hoàn tất việc lùi lại sửa đổi.
Bản hiện tại | Nội dung bạn nhập | ||
Dòng 9: | Dòng 9: | ||
===Tập lồi=== | ===Tập lồi=== | ||
− | Chúng ta nói rằng | + | Chúng ta nói rằng D ⊂ Rnlà một tập lồi nếu |
− | + | (1 − t)x + ty ∈ D với mọi x ∈ D, y ∈ D và t ∈ (0, 1). | |
===Bao lồi=== | ===Bao lồi=== | ||
− | Tập lồi nhỏ nhất chứa | + | Tập lồi nhỏ nhất chứa Ω ⊂ Rn được gọi là bao lồi của Ω và được ký hiệu bởi coΩ. |
===Hàm lồi=== | ===Hàm lồi=== | ||
− | Một hàm | + | Một hàm f : Rn → R được gọi là lồi nếu tập trên đồ thị của nó, |
− | + | epif := {(x, α) : x ∈ R | |
+ | n | ||
+ | , α ∈ R, α ≥ f(x)} (1) | ||
− | là một tập lồi trong không gian tích | + | là một tập lồi trong không gian tích R |
+ | n × R. | ||
===Hàm chính thường=== | ===Hàm chính thường=== | ||
− | Hàm | + | Hàm f được gọi là chính thường nếu f(x) < +∞ với ít nhất một phần tử x ∈ R n và f(x) > −∞ với mọi x ∈ Rn. Hàm f : R n → R được gọi là lõm nếu hàm −f được xác định bởi công thức (−f)(x) = −f(x) là lồi. |
Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24), | Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24), | ||
− | + | α + (+∞) = (+∞) + α = +∞ với − ∞ < α ≤ +∞, | |
− | + | α + (−∞) = (−∞) + α = −∞ với − ∞ ≤ α < +∞, | |
− | + | α(+∞) = (+∞)α = +∞, α(−∞) = (−∞)α = −∞, | |
− | + | với 0 < α ≤ +∞, | |
− | + | α(+∞) = (+∞)α = −∞, α(−∞) = (−∞)α = +∞, | |
− | Các tổ hợp | + | với − ∞ ≤ α < 0, |
+ | |||
+ | 0(+∞) = (+∞)0 = 0 = 0(−∞) = (−∞)0, | ||
+ | |||
+ | −(−∞) = +∞, inf ∅ = +∞, sup ∅ = −∞. | ||
+ | |||
+ | Các tổ hợp (+∞) + (−∞) và (−∞) + (+∞) là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng. | ||
===Bất đẳng thức Jensen=== | ===Bất đẳng thức Jensen=== | ||
− | Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ( | + | Từ định nghĩa hàm lồi và công thức (1) ta suy ra rằng hàm số f : Rn → R ∪ {+∞} là lồi khi và chỉ khi |
− | + | f((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f(x) + tf(y), ∀x, y ∈ Rn, ∀t ∈ (0, 1). (2) | |
Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi | Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi |