Khác biệt giữa các bản “Công thức Heron”

Phiên bản lúc 09:19, ngày 13 tháng 10 năm 2023

Một tam giác với ba cạnh có độ dài a, b, c và các góc tương ứng α, β, γ.

Trong hình học, công thức Heron là công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh $a$ , $b$ , $c$ .^[1]^:151 Nếu $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ là nửa chu vi tam giác và $A$ là diện tích tam giác thì:^[1]^:151

A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.

Công thức Heron còn có thể được viết trực tiếp theo $a$ , $b$ , $c$ :^[2]

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}};

nhân cả bốn thừa số trong căn, được:

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}.

Một cách biểu diễn khác sử dụng định thức Cayley–Menger:^[3]^:1360

-16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a&b&c\\a&0&c&b\\b&c&0&a\\c&b&a&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&c^{2}&b^{2}\\1&c^{2}&0&a^{2}\\1&b^{2}&a^{2}&0\end{vmatrix}}.

Công thức mang tên Heron (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở Alexandria vào thế kỷ 1.^[4]^:217 Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn Metrica và Dioptra; đây là lý do tên ông gắn với công thức.^[2]^[5]^:321–322 Mặc dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi Archimedes.^[6]^:127 Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.^[6]^:127^[7]^:157

Ví dụ

Xét $△ ABC$ có độ dài các cạnh $a = 5$ , $b = 12$ , $c = 13$ . Tam giác này có nửa chu vi:

s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {5+12+13}{2}}=15

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác là:

{\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {15\cdot (15-5)\cdot (15-12)\cdot (15-13)}}\\&={\sqrt {15\cdot 10\cdot 3\cdot 2}}={\sqrt {900}}=30.\end{aligned}}

Ở ví dụ này, độ dài các cạnh và diện tích đều là số nguyên, tức đây là tam giác Heron.^[8] Tuy nhiên công thức Heron hoàn toàn có thể áp dụng trong trường hợp độ dài cạnh không là số nguyên.

Tham khảo

↑ ^a ^b Goodman, Michael K. J. (2016), An Introduction to the Early Development of Mathematics, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, ISBN 978-1-119-10498-8
↑ ^a ^b Kendig, Keith (tháng 5 năm 2000), "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?", The American Mathematical Monthly, 107 (5): 402–415, doi:10.1080/00029890.2000.12005213, S2CID 1214184
↑ Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (lxb. 2), CRC Press, ISBN 978-1-4200-3522-3
↑ Ceccarelli, Marco, bt. (2007), History of Mechanism and Machine Science, Springer Netherlands, ISBN 978-1-4020-6365-7
↑ Heath, Thomas (1921), A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus, vol. II, Oxford University Press
↑ ^a ^b Dunham, William (1990), Journey through Genius: Great Theorems of Mathematics, New York, NY: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50030-8
↑ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics (lxb. 3), Hoboken, N.J: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-52548-7
↑ Halbeisen, Lorenz; Hungerbühler, Norbert (tháng 8 năm 2020), "Heron triangles and their elliptic curves", Journal of Number Theory, 213: 232–253, doi:10.1016/j.jnt.2019.12.005, S2CID 208799942

[Goodman-1] Goodman, Michael K. J. (2016), An Introduction to the Early Development of Mathematics, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, ISBN 978-1-119-10498-8

[Kendig-2] Kendig, Keith (tháng 5 năm 2000), "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?", The American Mathematical Monthly, 107 (5): 402–415, doi:10.1080/00029890.2000.12005213, S2CID 1214184

[Weisstein-3] Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (lxb. 2), CRC Press, ISBN 978-1-4200-3522-3

[4] Ceccarelli, Marco, bt. (2007), History of Mechanism and Machine Science, Springer Netherlands, ISBN 978-1-4020-6365-7

[Heath-5] Heath, Thomas (1921), A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus, vol. II, Oxford University Press

[Dunham-6] Dunham, William (1990), Journey through Genius: Great Theorems of Mathematics, New York, NY: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50030-8

[Boyer-7] Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics (lxb. 3), Hoboken, N.J: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-52548-7

[Halbeisen-8] Halbeisen, Lorenz; Hungerbühler, Norbert (tháng 8 năm 2020), "Heron triangles and their elliptic curves", Journal of Number Theory, 213: 232–253, doi:10.1016/j.jnt.2019.12.005, S2CID 208799942

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Dòng 30: / Dòng 30: @@
 </math>
+Công thức mang tên [[Heron xứ Alexandria|Heron]] (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở [[Alexandria]] vào thế kỷ 1.<ref>{{cite book | editor-last = Ceccarelli | editor-first = Marco | title = History of Mechanism and Machine Science | publisher = Springer Netherlands | date = 2007 | isbn = 978-1-4020-6365-7 | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4020-6366-4}}</ref>{{rp|217}} Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn ''Metrica'' và ''Dioptra''; đây là lý do tên ông gắn với công thức.<ref name="Kendig"/><ref name="Heath">{{cite book | last = Heath | first = Thomas | title = A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus | volume = vol. II | publisher = Oxford University Press | date = 1921}}</ref>{{rp|321–322}} Mặc dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi [[Archimedes]].<ref name="Dunham">{{cite book | last = Dunham | first = William | title = Journey through Genius: Great Theorems of Mathematics | publisher = John Wiley & Sons | publication-place = New York, NY | date = 1990 | isbn = 978-0-471-50030-8}}</ref>{{rp|127}} Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.<ref name="Dunham"/>{{rp|127}}<ref name="Boyer">{{cite book | last = Boyer | first = Carl B. | last2 = Merzbach | first2 = Uta C. | title = A History of Mathematics | edition = 3 | publisher = John Wiley & Sons | publication-place=Hoboken, N.J | date = 2011 | isbn = 978-0-470-52548-7}}</ref>{{rp|157}}
 {{clear}}
@@ Dòng 46: / Dòng 48: @@
 Ở ví dụ này, độ dài các cạnh và diện tích đều là [[số nguyên]], tức đây là [[tam giác Heron]].<ref name="Halbeisen">{{cite journal | last1 = Halbeisen | first1 = Lorenz | last2 = Hungerbühler | first2 = Norbert | title = Heron triangles and their elliptic curves | journal = Journal of Number Theory | date = August 2020 | volume = 213 | pages = 232–253 | doi = 10.1016/j.jnt.2019.12.005 | s2cid = 208799942}}</ref> Tuy nhiên công thức Heron hoàn toàn có thể áp dụng trong trường hợp độ dài cạnh không là số nguyên.
-== Lịch sử ==
-Công thức mang tên [[Heron xứ Alexandria|Heron]] (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở [[Alexandria]] vào thế kỷ 1.<ref>{{cite book | editor-last = Ceccarelli | editor-first = Marco | title = History of Mechanism and Machine Science | publisher = Springer Netherlands | date = 2007 | isbn = 978-1-4020-6365-7 | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4020-6366-4}}</ref>{{rp|217}} Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn ''Metrica'', mệnh đề 1.8 và cuốn ''Dioptra'' chương 30; đây là lý do tên ông gắn với công thức.<ref name="Kendig"/><ref name="Heath">{{cite book | last = Heath | first = Thomas | title = A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus | volume = vol. II | publisher = Oxford University Press | date = 1921}}</ref>{{rp|321–322}} Mặc dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi [[Archimedes]].<ref name="Dunham">{{cite book | last = Dunham | first = William | title = Journey through Genius: Great Theorems of Mathematics | publisher = John Wiley & Sons | publication-place = New York, NY | date = 1990 | isbn = 978-0-471-50030-8}}</ref>{{rp|127}} Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.<ref name="Dunham"/>{{rp|127}}<ref name="Boyer">{{cite book | last = Boyer | first = Carl B. | last2 = Merzbach | first2 = Uta C. | title = A History of Mathematics | edition = 3 | publisher = John Wiley & Sons | publication-place=Hoboken, N.J | date = 2011 | isbn = 978-0-470-52548-7}}</ref>{{rp|157}}
 == Tham khảo ==
 {{reflist}}

Chưa đăng nhập

Tác vụ

Trang

Công cụ

Phiên bản lúc 09:19, ngày 13 tháng 10 năm 2023

Ví dụ

Tham khảo