Công thức Heron

Một tam giác với ba cạnh có độ dài a, b, c và các góc tương ứng α, β, γ.

Trong hình học, công thức Heron là công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh a, b, c. Nếu $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ là nửa chu vi tam giác và A là diện tích tam giác thì:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Công thức Heron còn có thể được viết trực tiếp theo a, b, c:

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}};$

nhân cả bốn thừa số trong căn, được:

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}.$

Một cách biểu diễn khác sử dụng định thức Cayley–Menger:

$-16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a&b&c\\a&0&c&b\\b&c&0&a\\c&b&a&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&c^{2}&b^{2}\\1&c^{2}&0&a^{2}\\1&b^{2}&a^{2}&0\end{vmatrix}}.$

Ví dụ

Xét △ABC có độ dài các cạnh a = 5, b = 12, c = 13. Tam giác này có nửa chu vi:

$s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {5+12+13}{2}}=15$

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác là:

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {15\cdot (15-5)\cdot (15-12)\cdot (15-13)}}\\&={\sqrt {15\cdot 10\cdot 3\cdot 2}}={\sqrt {900}}=30.\end{aligned}}$

Ở ví dụ này, độ dài các cạnh và diện tích đều là số nguyên, tức đây là tam giác Heron. Tuy nhiên công thức Heron hoàn toàn có thể áp dụng trong trường hợp độ dài cạnh không là số nguyên.

Lịch sử

Công thức mang tên Heron (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở Alexandria vào thế kỷ 1. Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn Metrica, mệnh đề 1.8 và cuốn Dioptra chương 30. Đây là lý do tên ông gắn với công thức; dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi Archimedes. Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.