Công thức Heron

Một tam giác với ba cạnh có độ dài a, b, c và các góc tương ứng α, β, γ.

Trong hình học, công thức Heron là công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh a, b, c. Nếu $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ là nửa chu vi tam giác và A là diện tích tam giác thì:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Công thức Heron còn có thể được viết trực tiếp theo a, b, c:

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}.\end{aligned}}$

Một cách biểu diễn khác sử dụng định thức Cayley–Menger:

$-16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a&b&c\\a&0&c&b\\b&c&0&a\\c&b&a&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&c^{2}&b^{2}\\1&c^{2}&0&a^{2}\\1&b^{2}&a^{2}&0\end{vmatrix}}.$

Công thức mang tên Heron (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở Alexandria vào thế kỷ 1. Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn Metrica và Dioptra; đây là lý do tên ông gắn với công thức. Mặc dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi Archimedes. Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.

Ví dụ

Xét △ABC có độ dài các cạnh a = 5, b = 12, c = 13. Tam giác này có nửa chu vi:

$s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {5+12+13}{2}}=15$

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác là:

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {15\cdot (15-5)\cdot (15-12)\cdot (15-13)}}\\&={\sqrt {15\cdot 10\cdot 3\cdot 2}}={\sqrt {900}}=30.\end{aligned}}$

Ở ví dụ này, độ dài các cạnh và diện tích đều là số nguyên, tức đây là tam giác Heron. Tuy nhiên công thức Heron hoàn toàn có thể áp dụng trong trường hợp độ dài cạnh không là số nguyên.

Chứng minh

Chứng minh của Heron dùng hình học cơ bản tuy khéo léo nhưng rất dài dòng và phức tạp; tập hợp một chuỗi đồng nhất thức dường như không liên quan và dựa vào tính chất của tứ giác nội tiếp cùng tam giác vuông. Có nhiều phương pháp hiện đại khác để chứng minh, một số đơn giản được trình bày dưới đây.

Sử dụng định lý cosin

Gọi a, b, c là các cạnh của tam giác và α, β, γ là các góc đối tương ứng. Áp dụng định lý cosin có:

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}};$

từ đó suy ra:

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.$

Chiều cao của tam giác ứng với cạnh đáy a bằng b sin $\gamma$, theo đó diện tích

${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{cạnh đáy}})({\mbox{chiều cao}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

Sử dụng định lý Pythagoras

Tam giác có đường cao h chia cạnh đáy c thành d + (c − d)

Chứng minh sau tương tự chứng minh của Raifaizen. Xét hình bên, theo định lý Pythagoras ta có b² = h² + d² và a² = h² + (c − d)², từ đó a² − b² = c² − 2cd. Phương trình này cho phép biểu diễn d theo các cạnh của tam giác:

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.$

Chiều cao h² = b² − d², thay d bằng công thức ở trên và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương được:

${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}$

Giờ áp dụng kết quả này vào công thức tính diện tích tam giác theo chiều cao:

${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}={\sqrt {\frac {c^{2}h^{2}}{4}}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

Sử dụng định lý cotang

Ý nghĩa hình học của s − a, s − b, và s − c.

Ở hình bên, tam giác ABC được chia thành ba tam giác có đường cao cùng bằng r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác và cạnh đáy a, b, c. Tổng diện tích của chúng là:

$A={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr=r\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)=rs.$

Tam giác ABC cũng có thể được chia thành sáu tam giác hay ba cặp đồng dạng có đường cao r và cạnh đáy s − a, s − b, s − c (xem định lý cotang). Tổng diện tích của chúng là:

${\begin{aligned}A&=2\cdot {\frac {1}{2}}r(s-a)+2\cdot {\frac {1}{2}}r(s-b)+2\cdot {\frac {1}{2}}r(s-c)\\[2mu]&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}$

Ở trên sử dụng đồng nhất thức ba cotang: ${\textstyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}}$ khi ${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}.}$ Từ hai kết quả trên được:

${\begin{aligned}A^{2}&=rs\cdot {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}\\&=s(s-a)(s-b)(s-c),\end{aligned}}$

vậy $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Tổng quát hóa

Tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.

Công thức Heron là trường hợp đặc biệt của công thức Brahmagupta cho diện tích của tứ giác nội tiếp. Cả công thức Heron và công thức Brahmagupta lại đều là trường hợp đặc biệt của công thức Bretschneider cho diện tích của tứ giác. Công thức Heron có thể thu được từ công thức Brahmagupta hoặc công thức Bretschneider bằng việc đặt một cạnh của tứ giác bằng không.

Công thức Brahmagupta tính diện tích K của tứ giác nội tiếp có độ dài cạnh a, b, c, d là:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

với s là nửa chu vi:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

Công thức Heron trong hình học phi Euclid

Còn có các công thức tính diện tích tam giác trên mặt cầu và mặt hyperbol theo độ dài cạnh, lần lượt là:

$\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}$ cho mặt cầu và

$\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}$ cho mặt hyperbol,

với s là nửa chu vi và S là diện tích tam giác.