Khác biệt giữa các bản “Công thức Heron”

Phiên bản lúc 10:04, ngày 27 tháng 10 năm 2023

Một tam giác với ba cạnh có độ dài a, b, c và các góc tương ứng α, β, γ.

Trong hình học, công thức Heron là công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh $a$ , $b$ , $c$ .^[1]^:151 Nếu $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ là nửa chu vi tam giác và $A$ là diện tích tam giác thì:^[1]^:151

A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.

Công thức Heron còn có thể được viết trực tiếp theo $a$ , $b$ , $c$ :^[2]

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} A &= \frac1{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\ &=\frac1{4}\sqrt{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}. \end{align}}

Một cách biểu diễn khác sử dụng định thức Cayley–Menger:^[3]^:1360

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle -16A^2 = \begin{vmatrix} 0 & a & b & c \\ a & 0 & c & b \\ b & c & 0 & a \\ c & b & a & 0 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & c^2 & b^2 \\ 1 & c^2 & 0 & a^2 \\ 1 & b^2 & a^2 & 0 \end{vmatrix}. }

Công thức mang tên Heron (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở Alexandria vào thế kỷ 1.^[4]^:217 Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn Metrica và Dioptra; đây là lý do tên ông gắn với công thức.^[2]^[5]^:321–322 Mặc dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi Archimedes.^[6]^:127 Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.^[6]^:127^[7]^:157

Ví dụ

Xét $△ ABC$ có độ dài các cạnh $a = 5$ , $b = 12$ , $c = 13$ . Tam giác này có nửa chu vi:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+12+13}{2}=15}

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác là:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} A &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15 \cdot (15-5) \cdot (15-12) \cdot (15-13)}\\ &= \sqrt{15 \cdot10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{900} = 30. \end{align} }

Ở ví dụ này, độ dài các cạnh và diện tích đều là số nguyên, tức đây là tam giác Heron.^[3]^:1361 Tuy nhiên công thức Heron hoàn toàn có thể áp dụng trong trường hợp độ dài cạnh không là số nguyên.

Chứng minh

Chứng minh của Heron dùng hình học cơ bản tuy khéo léo nhưng rất dài dòng và phức tạp; tập hợp một chuỗi đồng nhất thức dường như không liên quan và dựa vào tính chất của tứ giác nội tiếp cùng tam giác vuông.^[3]^:1360 Có nhiều phương pháp hiện đại khác để chứng minh, một số đơn giản được trình bày dưới đây.

Sử dụng định lý cosin

Gọi $a$ , $b$ , $c$ là các cạnh của tam giác và $α$ , $β$ , $γ$ là các góc đối tương ứng. Áp dụng định lý cosin có:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab};}

từ đó suy ra:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.}

Chiều cao của tam giác ứng với cạnh đáy $a$ bằng $b$ sin Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \gamma} , theo đó diện tích

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} A &= \tfrac12 (\mbox{cạnh đáy}) (\mbox{chiều cao}) \\[6mu] &= \tfrac12 ab\sin \gamma \\[6mu] &= \frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\[6mu] &= \tfrac14\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2} \\[6mu] &= \tfrac14\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\[6mu] &= \sqrt{ \left(\frac{a + b + c}{2}\right) \left(\frac{- a + b + c}{2}\right) \left(\frac{a - b + c}{2}\right) \left(\frac{a + b - c}{2}\right)} \\[6mu] &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}. \end{align}}

Sử dụng định lý Pythagoras

Tam giác có đường cao

h

chia cạnh đáy

c

thành

d + (c - d)

Chứng minh sau tương tự chứng minh của Raifaizen.^[8] Xét hình bên, theo định lý Pythagoras ta có $b 2 = h 2 + d 2$ và $a 2 = h 2 + (c - d) 2$ , từ đó $a 2 - b 2 = c 2 - 2 cd$ . Phương trình này cho phép biểu diễn $d$ theo các cạnh của tam giác:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle d = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}.}

Chiều cao $h 2 = b 2 - d 2$ , thay $d$ bằng công thức ở trên và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương được:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} h^2 &= b^2-\left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\right)^2 \\ &= \frac{(2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2)}{4c^2} \\ &= \frac{\big((b + c)^2 - a^2\big)\big(a^2 - (b - c)^2\big)}{4c^2} \\ &= \frac{(b + c - a)(b + c + a)(a + b - c)(a - b + c)}{4c^2} \\ &= \frac{2(s - a) \cdot 2s \cdot 2(s - c) \cdot 2(s - b)}{4c^2} \\ &= \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}. \end{align} }

Giờ áp dụng kết quả này vào công thức tính diện tích tam giác theo chiều cao:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} A &= \frac{ch}{2} = \sqrt{\frac{c^2h^2}{4}} \\ &= \sqrt{\frac{c^2}{4} \cdot \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}} \\ &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}. \end{align} }

Sử dụng định lý cotang

Ý nghĩa hình học của

s - a

,

s - b

, và

s - c

.

Ở hình bên, tam giác ABC được chia thành ba tam giác có đường cao cùng bằng $r$ là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác và cạnh đáy $a$ , $b$ , $c$ . Tổng diện tích của chúng là:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A = \frac12ar + \frac12br + \frac12cr = r\left(\frac{a+b+c}{2}\right) = rs.}

Tam giác ABC cũng có thể được chia thành sáu tam giác hay ba cặp đồng dạng có đường cao $r$ và cạnh đáy $s - a$ , $s - b$ , $s - c$ (xem định lý cotang). Tổng diện tích của chúng là:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} A &= 2\cdot\frac12r(s-a) + 2\cdot\frac12r(s-b) + 2\cdot\frac12r(s-c) \\[2mu] &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) \\[2mu] &= r^2\left(\frac{s - a}{r} + \frac{s - b}{r} + \frac{s - c}{r}\right) \\[2mu] &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}}\right) \\[3mu] &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} \cot{\frac{\beta}{2}} \cot{\frac{\gamma}{2}}\right)\\[3mu] &= r^2\left(\frac{s - a}{r} \cdot \frac{s - b}{r} \cdot \frac{s - c}{r}\right) \\[3mu] &= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}. \end{align} }

Ở trên sử dụng đồng nhất thức ba cotang: Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\textstyle \cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}} = \cot{\frac{\alpha}{2}}\cot{\frac{\beta}{2}}\cot{\frac{\gamma}{2}}} khi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\textstyle \frac\alpha2 + \frac\beta2 + \frac\gamma2 = \frac\pi2.} Từ hai kết quả trên được:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} A^2 &= rs\cdot{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}} \\ &= s(s - a)(s - b)(s - c), \end{align} }

vậy Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.}

Tổng quát hóa

Tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.

Công thức Heron là trường hợp đặc biệt của công thức Brahmagupta cho diện tích của tứ giác nội tiếp. Cả công thức Heron và công thức Brahmagupta lại đều là trường hợp đặc biệt của công thức Bretschneider cho diện tích của tứ giác. Công thức Heron có thể thu được từ công thức Brahmagupta hoặc công thức Bretschneider bằng việc đặt một cạnh của tứ giác bằng không.

Công thức Brahmagupta tính diện tích $K$ của tứ giác nội tiếp có độ dài cạnh $a$ , $b$ , $c$ , $d$ là:

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

với $s$ là nửa chu vi:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2}.}

Công thức Heron trong hình học phi Euclid

Còn có các công thức tính diện tích tam giác trên mặt cầu và mặt hyperbol theo độ dài cạnh, lần lượt là:

$\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}$ cho mặt cầu và

$\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}$ cho mặt hyperbol,

với $s$ là nửa chu vi và $S$ là diện tích tam giác.

Tham khảo

↑ ^a ^b Goodman, Michael K. J. (2016), An Introduction to the Early Development of Mathematics, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, ISBN 978-1-119-10498-8
↑ ^a ^b Kendig, Keith (tháng 5 năm 2000), "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?", The American Mathematical Monthly, 107 (5): 402–415, doi:10.1080/00029890.2000.12005213, S2CID 1214184
↑ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (lxb. 2), CRC Press, ISBN 978-1-4200-3522-3
↑ Ceccarelli, Marco, bt. (2007), History of Mechanism and Machine Science, Springer Netherlands, ISBN 978-1-4020-6365-7
↑ Heath, Thomas (1921), A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus, vol. II, Oxford University Press
↑ ^a ^b Dunham, William (1990), Journey through Genius: Great Theorems of Mathematics, New York, NY: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50030-8
↑ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics (lxb. 3), Hoboken, N.J: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-52548-7
↑ Raifaizen, Claude H. (tháng 1 năm 1971), "A Simpler Proof of Heron's Formula", Mathematics Magazine, 44 (1): 27–28, doi:10.1080/0025570X.1971.11976093, S2CID 118200248

[Goodman-1] Goodman, Michael K. J. (2016), An Introduction to the Early Development of Mathematics, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, ISBN 978-1-119-10498-8

[Kendig-2] Kendig, Keith (tháng 5 năm 2000), "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?", The American Mathematical Monthly, 107 (5): 402–415, doi:10.1080/00029890.2000.12005213, S2CID 1214184

[Weisstein-3] Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (lxb. 2), CRC Press, ISBN 978-1-4200-3522-3

[4] Ceccarelli, Marco, bt. (2007), History of Mechanism and Machine Science, Springer Netherlands, ISBN 978-1-4020-6365-7

[Heath-5] Heath, Thomas (1921), A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus, vol. II, Oxford University Press

[Dunham-6] Dunham, William (1990), Journey through Genius: Great Theorems of Mathematics, New York, NY: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50030-8

[Boyer-7] Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics (lxb. 3), Hoboken, N.J: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-52548-7

[Raifaizen-8] Raifaizen, Claude H. (tháng 1 năm 1971), "A Simpler Proof of Heron's Formula", Mathematics Magazine, 44 (1): 27–28, doi:10.1080/0025570X.1971.11976093, S2CID 118200248

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Dòng 140: / Dòng 140: @@
 : <math>s=\frac{a+b+c+d}{2}.</math>
+=== Công thức Heron trong hình học phi Euclid ===
+Còn có các công thức tính diện tích tam giác trên mặt cầu và mặt hyperbol theo độ dài cạnh, lần lượt là:
+<math>
+\tan^2 \frac S 4 = \tan \frac s2 \tan\frac{s-a}2 \tan\frac{s-b}2 \tan\frac{s-c}2
+</math> cho mặt cầu và
+<math>
+\tan^2 \frac S 4 = \tanh \frac s2 \tanh\frac{s-a}2 \tanh\frac{s-b}2 \tanh\frac{s-c}2
+</math> cho mặt hyperbol,
+với {{mvar|s}} là nửa chu vi và {{mvar|S}} là diện tích tam giác.
 {{clear}}
 == Tham khảo ==
 {{reflist}}

Chưa đăng nhập

Tác vụ

Trang

Công cụ