Công thức Heron

Một tam giác với ba cạnh có độ dài a, b, c và các góc tương ứng α, β, γ.

Trong hình học, công thức Heron là công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh a, b, c. Nếu $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ là nửa chu vi tam giác và A là diện tích tam giác thì:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Công thức Heron còn có thể được viết trực tiếp theo a, b, c:

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}.\end{aligned}}$

Một cách biểu diễn khác sử dụng định thức Cayley–Menger:

$-16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a&b&c\\a&0&c&b\\b&c&0&a\\c&b&a&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&c^{2}&b^{2}\\1&c^{2}&0&a^{2}\\1&b^{2}&a^{2}&0\end{vmatrix}}.$

Công thức mang tên Heron (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở Alexandria vào thế kỷ 1. Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn Metrica và Dioptra; đây là lý do tên ông gắn với công thức. Mặc dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi Archimedes. Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.

Ví dụ

Xét △ABC có độ dài các cạnh a = 5, b = 12, c = 13. Tam giác này có nửa chu vi:

$s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {5+12+13}{2}}=15$

Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác là:

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {15\cdot (15-5)\cdot (15-12)\cdot (15-13)}}\\&={\sqrt {15\cdot 10\cdot 3\cdot 2}}={\sqrt {900}}=30.\end{aligned}}$

Ở ví dụ này, độ dài các cạnh và diện tích đều là số nguyên, tức đây là tam giác Heron. Xét hình bên, theo định lý Pythagoras ta có b² = h² + d² và a² = h² + (c − d)², từ đó a² − b² = c² − 2cd. Phương trình này cho phép biểu diễn d theo các cạnh của tam giác:

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.$

Chiều cao h² = b² − d², thay d bằng công thức ở trên và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương được:

${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}$

Giờ áp dụng kết quả này vào công thức tính diện tích tam giác theo chiều cao:

${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$