Sửa đổi Số pi
Chú ý: Bạn chưa đăng nhập và địa chỉ IP của bạn sẽ hiển thị công khai khi lưu các sửa đổi.
Bạn có thể tham gia như người biên soạn chuyên nghiệp và lâu dài ở Bách khoa Toàn thư Việt Nam, bằng cách đăng ký và đăng nhập - IP của bạn sẽ không bị công khai và có thêm nhiều lợi ích khác.
Các sửa đổi có thể được lùi lại. Xin hãy kiểm tra phần so sánh bên dưới để xác nhận lại những gì bạn muốn làm, sau đó lưu thay đổi ở dưới để hoàn tất việc lùi lại sửa đổi.
Bản hiện tại | Nội dung bạn nhập | ||
Dòng 21: | Dòng 21: | ||
===Văn minh Ai Cập cổ đại=== | ===Văn minh Ai Cập cổ đại=== | ||
[[Hình:Cercle9Carre8.svg|nhỏ|Minh họa cách tính diện tích hình tròn đường kính 9 ''khet'' ở [[cuộn giấy cói Rhind]]]] | [[Hình:Cercle9Carre8.svg|nhỏ|Minh họa cách tính diện tích hình tròn đường kính 9 ''khet'' ở [[cuộn giấy cói Rhind]]]] | ||
− | Nền [[văn minh Ai Cập cổ đại]] cùng thời với văn minh Lưỡng Hà (bắt đầu vào khoảng năm 3100 TCN), cũng đã có những ghi chép về các bài toán có liên quan đến đường tròn trong các cuộn [[giấy cói]] (papyrus), đặc biệt là [[cuộn giấy cói Rhind]] (khoảng năm 1650 TCN) | + | Nền [[văn minh Ai Cập cổ đại]] cùng thời với văn minh Lưỡng Hà (bắt đầu vào khoảng năm 3100 TCN), cũng đã có những ghi chép về các bài toán có liên quan đến đường tròn trong các cuộn [[giấy cói]] (papyrus), đặc biệt là [[cuộn giấy cói Rhind]] (khoảng năm 1650 TCN). Trong đó có ghi chép về bài toán "Cánh đồng tròn với đường kính 9 ''khet''". |
[[File:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|Rhind_Mathematical_Papyrus|200px|nhỏ|trái|Mẫu giấy cói Rhind ghi lại bài toán đường tròn]] | [[File:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|Rhind_Mathematical_Papyrus|200px|nhỏ|trái|Mẫu giấy cói Rhind ghi lại bài toán đường tròn]] | ||
Bài toán yêu cầu tính diện tích của một cánh đồng hình tròn với đường kính là 9 ''khet''. Người [[Ai Cập]] cổ đại đã đưa ra cách giải như sau : Lấy ra 1/9 của đường kính, là 1. Phần còn lại là 8. Nhân 8 với 8, được 64. Vậy diện tích cánh đồng là 64 ''setat''. | Bài toán yêu cầu tính diện tích của một cánh đồng hình tròn với đường kính là 9 ''khet''. Người [[Ai Cập]] cổ đại đã đưa ra cách giải như sau : Lấy ra 1/9 của đường kính, là 1. Phần còn lại là 8. Nhân 8 với 8, được 64. Vậy diện tích cánh đồng là 64 ''setat''. | ||
Dòng 32: | Dòng 32: | ||
===Văn minh lưu vực sông Ấn=== | ===Văn minh lưu vực sông Ấn=== | ||
Nền [[Văn minh lưu vực sông Ấn]] (khoảng năm 2600 TCN) cũng đã để lại những ghi chép có liên quan đến số pi, trong đó có tập hướng dẫn [[Śulba-Sūtras]] vào khoảng năm 700 TCN. | Nền [[Văn minh lưu vực sông Ấn]] (khoảng năm 2600 TCN) cũng đã để lại những ghi chép có liên quan đến số pi, trong đó có tập hướng dẫn [[Śulba-Sūtras]] vào khoảng năm 700 TCN. | ||
− | Śulba-Sūtras (Śulba : sợi dây, Sūtras : quy tắc) là một tập hướng dẫn những quy cách xây dựng bệ thờ trong tôn giáo Védisme thời Ấn Độ cổ đại. Do đây là một tập hướng dẫn trong xây dựng hơn là một công trình nghiên cứu toán học nên nó chú trọng về tính xấp xỉ hơn là giá trị đúng của số pi, do đó giá trị của số pi thay đổi từ phương thức xây dựng này sang phương thức khác và thậm chí thay đổi trong cùng một phương thức. Tuy vậy, tập hướng dẫn này cũng đã có những áp dụng rất chính xác trong trường hợp số | + | Śulba-Sūtras (Śulba : sợi dây, Sūtras : quy tắc) là một tập hướng dẫn những quy cách xây dựng bệ thờ trong tôn giáo Védisme thời Ấn Độ cổ đại. Do đây là một tập hướng dẫn trong xây dựng hơn là một công trình nghiên cứu toán học nên nó chú trọng về tính xấp xỉ hơn là giá trị đúng của số pi, do đó giá trị của số pi thay đổi từ phương thức xây dựng này sang phương thức khác và thậm chí thay đổi trong cùng một phương thức. Tuy vậy, tập hướng dẫn này cũng đã có những áp dụng rất chính xác trong trường hợp số √2 và trong một số giải pháp hình học khác. |
Về số pi, vẫn như các tài liệu cổ của các nền văn minh cùng thời, được ẩn chứa trong các giải thuật để giải quyết các vấn đề về hình học và được thể hiện với văn phong cổ đại. Đầu tiên kể đến là hướng dẫn "Độ dài một sợi tóc" : "''1/5 của đường kính được cộng thêm 3 lần đường kính cho ra chu vi của đường tròn. Không còn thừa lại cho dù là độ dài một sợi tóc''". Với hướng dẫn này, số pi đạt giá trị : 3 + 1/5 = 3,2, tuy vẫn còn khá xa giá trị thực của số pi nhưng khá hữu dụng trong công tác xây dựng. Một vài hướng dẫn khác có mang tính chất nghiên cứu như cách để chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn và cách ngược lại, tức là chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, phương pháp nhắc sau là một phiên bản của vấn đề "[[Cầu phương đường tròn]]" (tiếng Pháp : Quadrature du cercle). | Về số pi, vẫn như các tài liệu cổ của các nền văn minh cùng thời, được ẩn chứa trong các giải thuật để giải quyết các vấn đề về hình học và được thể hiện với văn phong cổ đại. Đầu tiên kể đến là hướng dẫn "Độ dài một sợi tóc" : "''1/5 của đường kính được cộng thêm 3 lần đường kính cho ra chu vi của đường tròn. Không còn thừa lại cho dù là độ dài một sợi tóc''". Với hướng dẫn này, số pi đạt giá trị : 3 + 1/5 = 3,2, tuy vẫn còn khá xa giá trị thực của số pi nhưng khá hữu dụng trong công tác xây dựng. Một vài hướng dẫn khác có mang tính chất nghiên cứu như cách để chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn và cách ngược lại, tức là chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, phương pháp nhắc sau là một phiên bản của vấn đề "[[Cầu phương đường tròn]]" (tiếng Pháp : Quadrature du cercle). | ||
− | [[Tập tin:Sulba Sutras Vuong Tron.jpg|nhỏ|210px|AB = 2, OM = 1 + ( | + | [[Tập tin:Sulba Sutras Vuong Tron.jpg|nhỏ|210px|AB = 2, OM = 1 + (√2 -1)/3]] |
− | + | * '''Chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn''' : văn bản ghi chép như sau "''Nếu người ta muốn chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn, một sợi dây có độ dài là phân nửa của đường xiên đa giác hình vuông, dây được căn từ tâm sang bên phải. Cộng thêm 1/3 độ dài còn lại nằm ngoài đa giác hình vuông; đường tròn mong muốn đã có''". Phương pháp được lý giải như sau : đa giác hình vuông ở đây có độ dài cạnh là 2, phân nửa đường xiên có giá trị là √2, bán kính của đường tròn cần tìm để cho diện tích của nó đạt 4 là 1 cộng với 1/3 của kết quả lấy căn 2 trừ 1. Số pi đạt được theo phương pháp này là '''xấp xỉ 3,0883'''. Thực tế, với giá trị đúng của π, diện tích hình tròn đạt gần 4.069. | |
− | * '''Chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn''' : văn bản ghi chép như sau "''Nếu người ta muốn chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn, một sợi dây có độ dài là phân nửa của đường xiên đa giác hình vuông, dây được căn từ tâm sang bên phải. Cộng thêm 1/3 độ dài còn lại nằm ngoài đa giác hình vuông; đường tròn mong muốn đã có''". Phương pháp được lý giải như sau : đa giác hình vuông ở đây có độ dài cạnh là 2, phân nửa đường xiên có giá trị là | + | [[Tập tin:Sulba Sutras Tron Vuong.jpg|nhỏ|210px|AC = ''d'', AB = ''d'' × 9785/11136]] |
− | |||
* '''Chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông''' : phương pháp như sau "''Để chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, đường kính được chia làm 8 phần bằng nhau; một phần trong số đó, sau khi được chia là 29 phần bằng nhau, được giảm đi 28 phần và sau đó, phần còn lại được tiếp tục giảm 1/6, đem trừ đi 1/8 của 1/6 đó''". Phương pháp được hiểu như sau, gọi d là đường kính của đường tròn cho trước, cạnh của đa giác hình vuông với độ dài a sẽ theo công thức sau : a = d - d/8 + d/(8x29) - (d/(8x29))(1/6 - 1/(6x8)) = d x 9785/11136. Với phương pháp này số pi đạt '''xấp xỉ 3,0883'''. Thực tế, diện tích hình vuông chỉ đạt khoảng 98,3% của hình tròn. Cách dựng đa giác hình vuông có độ dài cạnh là độ dài AB bằng các đường tròn trong hình minh họa cũng chính là phương pháp được miêu tả trong Śulba-Sūtras. | * '''Chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông''' : phương pháp như sau "''Để chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, đường kính được chia làm 8 phần bằng nhau; một phần trong số đó, sau khi được chia là 29 phần bằng nhau, được giảm đi 28 phần và sau đó, phần còn lại được tiếp tục giảm 1/6, đem trừ đi 1/8 của 1/6 đó''". Phương pháp được hiểu như sau, gọi d là đường kính của đường tròn cho trước, cạnh của đa giác hình vuông với độ dài a sẽ theo công thức sau : a = d - d/8 + d/(8x29) - (d/(8x29))(1/6 - 1/(6x8)) = d x 9785/11136. Với phương pháp này số pi đạt '''xấp xỉ 3,0883'''. Thực tế, diện tích hình vuông chỉ đạt khoảng 98,3% của hình tròn. Cách dựng đa giác hình vuông có độ dài cạnh là độ dài AB bằng các đường tròn trong hình minh họa cũng chính là phương pháp được miêu tả trong Śulba-Sūtras. | ||
Dòng 52: | Dòng 51: | ||
Đến đây, tuy rằng giá trị số pi vẫn chưa được chỉ ra một cách chính xác, nhưng số pi đã được nhìn nhận như là một [[hằng số]] toán học. Với phát biểu này, Archimède được ghi nhận như là người đầu tiên định nghĩa số pi, và do đó, số pi còn được gọi là " hằng số Archimède". | Đến đây, tuy rằng giá trị số pi vẫn chưa được chỉ ra một cách chính xác, nhưng số pi đã được nhìn nhận như là một [[hằng số]] toán học. Với phát biểu này, Archimède được ghi nhận như là người đầu tiên định nghĩa số pi, và do đó, số pi còn được gọi là " hằng số Archimède". | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Quá trình chinh phục số pi == | == Quá trình chinh phục số pi == | ||
Từ sau khi Archimède đưa ra định nghĩa về số pi, các thế hệ các nhà toán học trên khắp thế giới bắt đầu con đường chinh phục hằng số này, và quá trình vẫn còn tiếp diễn sau hơn 23 thế kỷ. | Từ sau khi Archimède đưa ra định nghĩa về số pi, các thế hệ các nhà toán học trên khắp thế giới bắt đầu con đường chinh phục hằng số này, và quá trình vẫn còn tiếp diễn sau hơn 23 thế kỷ. | ||
Dòng 93: | Dòng 59: | ||
Đến thế kỷ 17 - 18 với bộ môn [[vi tích phân]], việc tính toán số pi đã chấm dứt với các phương pháp hình học và thay vào đó là sử dụng các công thức [[giải tích]]. Trong các công thức đó, kể đến là công thức cho số pi của [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] : | Đến thế kỷ 17 - 18 với bộ môn [[vi tích phân]], việc tính toán số pi đã chấm dứt với các phương pháp hình học và thay vào đó là sử dụng các công thức [[giải tích]]. Trong các công thức đó, kể đến là công thức cho số pi của [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] : | ||
− | + | π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + ... + (-1)<sup>n</sup>/(2xn + 1) + ... (n là số tự nhiên) (1) | |
Công thức (1) được thấy là việc cộng dồn 4 vào mẫu số bắt đầu từ 1/1 (1/5, 1/9, 1/13,...) và tương tự cho -1/3 (-1/7, -1/11, -1/15,...). Và rằng, công thức này có thừa hưởng từ nhiều nghiên cứu toán học trước đó về các hàm [[lượng giác]] ngược. | Công thức (1) được thấy là việc cộng dồn 4 vào mẫu số bắt đầu từ 1/1 (1/5, 1/9, 1/13,...) và tương tự cho -1/3 (-1/7, -1/11, -1/15,...). Và rằng, công thức này có thừa hưởng từ nhiều nghiên cứu toán học trước đó về các hàm [[lượng giác]] ngược. | ||
[[File:Johann Heinrich Lambert 1829 Engelmann.png|nhỏ|150px|Nhà toán học Johann Lambert (1728 - 1777)]] | [[File:Johann Heinrich Lambert 1829 Engelmann.png|nhỏ|150px|Nhà toán học Johann Lambert (1728 - 1777)]] | ||
Công thức số pi của Leibniz là một bước tiến toán học của thời kỳ với gợi ý về sự vô tận của các chữ số thập phân của số pi; và rằng, chúng vẫn có thể được lặp lại theo một quy luật nào đó và trở thành một [[số hữu tỷ]] vô hạn tuần hoàn, và sẽ biểu diễn được dưới dạng a/b (a,b là [[số nguyên]], b khác 0). Tuy nhiên, vào năm 1761, nhà toán học [[Johann Lambert]], người [[Thụy Sỹ]], đã chứng minh rằng số pi là một [[số vô tỷ]]. | Công thức số pi của Leibniz là một bước tiến toán học của thời kỳ với gợi ý về sự vô tận của các chữ số thập phân của số pi; và rằng, chúng vẫn có thể được lặp lại theo một quy luật nào đó và trở thành một [[số hữu tỷ]] vô hạn tuần hoàn, và sẽ biểu diễn được dưới dạng a/b (a,b là [[số nguyên]], b khác 0). Tuy nhiên, vào năm 1761, nhà toán học [[Johann Lambert]], người [[Thụy Sỹ]], đã chứng minh rằng số pi là một [[số vô tỷ]]. | ||
− | + | [[File:LambertContinuedFraction.JPG|LambertContinuedFraction|nhỏ|trái|250px|Tỷ lệ tiếp tục của giá trị lượng giác tang trong tác phẩm của Lambert]] | |
− | Một trong những vấn đề toán học nhận được nhiều quan tâm trong thời kì của Lambert là việc cầu phương đường tròn (tiếng Pháp : quadrature du cercle). Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã cố gắng tìm ra cách giải cho vấn đề này, sau đó họ sẽ gửi về các viện hàn lâm có uy tín trên thế giới để chứng nhận; nhiều đến mức viện Hàn lâm Khoa học Paris đã công bố không nhận kiểm chứng thêm bất cứ lời giải nào | + | Một trong những vấn đề toán học nhận được nhiều quan tâm trong thời kì của Lambert là việc cầu phương đường tròn (tiếng Pháp : quadrature du cercle). Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã cố gắng tìm ra cách giải cho vấn đề này, sau đó họ sẽ gửi về các viện hàn lâm có uy tín trên thế giới để chứng nhận; nhiều đến mức viện Hàn lâm Khoa học Paris đã công bố không nhận kiểm chứng thêm bất cứ lời giải nào. Lambert, lúc này đang là thành viên của viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Phổ, đã công bố tác phẩm "'''Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques'''" (1767) như là một minh họa để hạn chế các nhà toán học cầu phương, và việc chứng minh được số pi là một số vô tỷ chỉ vô tình là một trường hợp đặc biệt của kết quả mà Lambert công bố trong tác phẩm. Trên thực tế, Lambert chứng minh rằng để một cung tròn có tỷ lệ hữu tỷ với bán kính, khi và chỉ khi giá trị lượng giác tang của góc tạo bởi cung tròn đó là một số vô tỷ. Vậy là, một cách ngược lại, do giá trị lượng giác tang của góc π/4 là 1, π/4 sẽ là một số vô tỷ, kéo theo sự vô tỷ của số pi. |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Số pi, một số vô tỷ === | === Số pi, một số vô tỷ === | ||
Dòng 112: | Dòng 74: | ||
Kể từ năm 1946, các tính toán đã được thực hiện bởi máy móc. Các máy tính cơ học tìm được 1120 chữ số thập phân vào năm 1948, rồi đến máy tính điện tử là 2037 số vào năm 1949. Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, quá trình chinh phục số pi được tăng tốc : 1973, Jean Guilloud và Martine Bouyer công bố 1 triệu số; 1989, anh em David và Gregory Chudnovsky với 1 tỷ số; năm 2002, Yasumada Kanada, 1200 tỷ số; tháng 4 năm 2009, Daisuke Takahashi, 2600 tỷ số; tháng 12 năm 2009, Fabrice Bellard, 2700 tỷ số, ... | Kể từ năm 1946, các tính toán đã được thực hiện bởi máy móc. Các máy tính cơ học tìm được 1120 chữ số thập phân vào năm 1948, rồi đến máy tính điện tử là 2037 số vào năm 1949. Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, quá trình chinh phục số pi được tăng tốc : 1973, Jean Guilloud và Martine Bouyer công bố 1 triệu số; 1989, anh em David và Gregory Chudnovsky với 1 tỷ số; năm 2002, Yasumada Kanada, 1200 tỷ số; tháng 4 năm 2009, Daisuke Takahashi, 2600 tỷ số; tháng 12 năm 2009, Fabrice Bellard, 2700 tỷ số, ... | ||
− | Việc chạy đua tìm ra càng nhiều chữ số thập phân của số pi không hẳn là vô nghĩa, | + | Việc chạy đua tìm ra càng nhiều chữ số thập phân của số pi không hẳn là vô nghĩa, kể từ khi trong các công tác của đời sống, chúng ta không cần thiết một mức độ chính xác đến vậy. Tuy nhiên, mức độ chính xác này là cần thiết cho các tính toán vĩ mô như trong [[thiên văn]], [[sóng hấp dẫn]], định vị toàn cầu ([[GPS]])...; hay như ở cấp độ vi mô của [[nguyên tử]], nghiên cứu [[vật lý lượng tử]],... Thêm nữa, số lượng lớn các số thập phân của số pi thúc đẩy chúng ta nghiên cứu về mẫu lặp của số pi. Phần lớn các nhà toán học tin rằng các số thập phân của số pi xuất hiện một cách [[ngẫu nhiên]], tuy vậy, có thể không phải là sự ngẫu nhiên tuyệt đối, kể từ khi số pi là một định nghĩa rất chính xác; các tiến hành tính toán tần suất xuất hiện của các số tự nhiên cho thấy mỗi số tự nhiên có tần suất gần 1/10, và cặp 2 số có tần suất gần 1/100,... tuy nhiên, cho dù chúng ta đã có hàng tỷ chữ số thập phân của số pi, nhưng vẫn gần như là 0% của một chuỗi vô tận của các con số. |
Hơn hết, một trong những động lực của việc tìm kiếm các số thập phân của số pi là để phát triển, kiểm tra tính chính xác, độ nhanh chóng của các thế hệ máy tính điện tử; phát triển các lý thuyết toán học và công nghệ thông tin,... để từ đó có những kết quả phục vụ cho các lĩnh vực khác. | Hơn hết, một trong những động lực của việc tìm kiếm các số thập phân của số pi là để phát triển, kiểm tra tính chính xác, độ nhanh chóng của các thế hệ máy tính điện tử; phát triển các lý thuyết toán học và công nghệ thông tin,... để từ đó có những kết quả phục vụ cho các lĩnh vực khác. | ||
=== Số pi, một số siêu việt === | === Số pi, một số siêu việt === | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Tham khảo== | ==Tham khảo== | ||
Dòng 137: | Dòng 87: | ||
# François Gramain. Les décimales de pi. Images des Mathématiques, CNRS, 2021 | # François Gramain. Les décimales de pi. Images des Mathématiques, CNRS, 2021 | ||
# Jean Brette. Promenade mathématique en Mésopotamie. Images des Mathématiques, CNRS, 2013 | # Jean Brette. Promenade mathématique en Mésopotamie. Images des Mathématiques, CNRS, 2013 | ||
− | |||
− |