Sửa đổi Chuỗi điều hòa
Chú ý: Bạn chưa đăng nhập và địa chỉ IP của bạn sẽ hiển thị công khai khi lưu các sửa đổi.
Bạn có thể tham gia như người biên soạn chuyên nghiệp và lâu dài ở Bách khoa Toàn thư Việt Nam, bằng cách đăng ký và đăng nhập - IP của bạn sẽ không bị công khai và có thêm nhiều lợi ích khác.
Các sửa đổi có thể được lùi lại. Xin hãy kiểm tra phần so sánh bên dưới để xác nhận lại những gì bạn muốn làm, sau đó lưu thay đổi ở dưới để hoàn tất việc lùi lại sửa đổi.
Bản hiện tại | Nội dung bạn nhập | ||
Dòng 39: | Dòng 39: | ||
=== Thử tích phân === | === Thử tích phân === | ||
[[File:Integral Test.svg|thumb|Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol <math>y=1/x</math> đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.]] | [[File:Integral Test.svg|thumb|Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol <math>y=1/x</math> đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.]] | ||
− | Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao 1/ | + | Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao <math>1/n</math> đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong <math>y=1/x</math> hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi <math>x</math> từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng: |
<math>\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.</math> | <math>\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.</math> | ||
Dòng 50: | Dòng 50: | ||
<math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.</math> | <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.</math> | ||
− | + | Giá trị của <math>H_n</math> xấp xỉ <math>\ln n + \gamma</math>, hay <math>H_n - \ln n</math> hội tụ về [[hằng số Euler–Mascheroni]] <math>\gamma\approx0,577</math>. Giới hạn cho <math>H_n</math>:<ref name="Jameson">{{cite journal | last1 = Jameson | first1 = G. J. O. | title = Euler-Maclaurin, harmonic sums and Stirling's formula | journal = The Mathematical Gazette | date = March 2015 | volume = 99 | issue = 544 | pages = 75–89 | doi = 10.1017/mag.2014.10 | s2cid = 123403893}}</ref> | |
<math>\ln n + \gamma \leq H_n \leq \ln n + \gamma + \frac{1}{n}.</math> | <math>\ln n + \gamma \leq H_n \leq \ln n + \gamma + \frac{1}{n}.</math> | ||
Dòng 64: | Dòng 64: | ||
nó cho <math>H_{100}</math> đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.<ref name="Jameson"/> | nó cho <math>H_{100}</math> đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.<ref name="Jameson"/> | ||
− | + | Ví dụ về chuỗi có chứa <math>H_n</math> và biểu thức liên quan: | |
− | + | <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3} = \frac{\pi^4}{72}</math> (Euler tìm ra vào năm 1775), và <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{{H_n}^2}{n^2} = \frac{17\pi^4}{360}.</math> | |
− | |||
− | <math>\sum_{n=1}^\infty\frac | ||
− | |||
− | <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{{H_n}^2}{n^2} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
{{clear}} | {{clear}} |