Sửa đổi Chuỗi điều hòa
Chú ý: Bạn chưa đăng nhập và địa chỉ IP của bạn sẽ hiển thị công khai khi lưu các sửa đổi.
Bạn có thể tham gia như người biên soạn chuyên nghiệp và lâu dài ở Bách khoa Toàn thư Việt Nam, bằng cách đăng ký và đăng nhập - IP của bạn sẽ không bị công khai và có thêm nhiều lợi ích khác.
Các sửa đổi có thể được lùi lại. Xin hãy kiểm tra phần so sánh bên dưới để xác nhận lại những gì bạn muốn làm, sau đó lưu thay đổi ở dưới để hoàn tất việc lùi lại sửa đổi.
Bản hiện tại | Nội dung bạn nhập | ||
Dòng 4: | Dòng 4: | ||
<math>s = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.</math> | <math>s = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.</math> | ||
− | Chuỗi này được biết là phân kỳ, với <math>S_n</math> là tổng | + | Chuỗi này được biết là phân kỳ, với <math>S_n</math> là tổng {{mvar|n}} số hạng đầu hay tổng riêng thứ {{mvar|n}}:{{sfn|Mortimer|2013|p=121}} |
<math>s = \lim_{n \to \infty}S_n = \infty.</math> | <math>s = \lim_{n \to \infty}S_n = \infty.</math> | ||
Dòng 18: | Dòng 18: | ||
=== Thử so sánh === | === Thử so sánh === | ||
− | Chứng minh | + | Chứng minh dưới đây là của Nicole Oresme có từ khoảng năm 1350.<ref name="Kifowit"/> Gọi <math>S_n</math> là tổng {{mvar|n}} số hạng đầu, để ý thấy:{{sfn|Bonar|Jr.|2018|p=66–67}} |
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
Dòng 35: | Dòng 35: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
− | Chuỗi | + | Chuỗi trên phân kỳ, và vì mỗi số hạng của chuỗi điều hòa đều lớn hơn hoặc bằng số hạng tương ứng của chuỗi này, do đó chuỗi điều hòa cũng phân kỳ. |
=== Thử tích phân === | === Thử tích phân === | ||
[[File:Integral Test.svg|thumb|Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol <math>y=1/x</math> đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.]] | [[File:Integral Test.svg|thumb|Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol <math>y=1/x</math> đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.]] | ||
− | Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao | + | Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao <math>\tfrac1n</math> đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong <math>y=\tfrac1x</math> hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi <math>x</math> từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng: |
<math>\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.</math> | <math>\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.</math> | ||
Dòng 49: | Dòng 49: | ||
<math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.</math> | <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
{{clear}} | {{clear}} | ||