Sửa đổi Công thức Heron

<indicator name="mới">[[File:UnderCon icon.svg|40px|link={{TALKPAGENAME}}#Bình duyệt|alt=Mục từ này cần được bình duyệt|Mục từ này cần được bình duyệt]]</indicator>
[[File:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|Một tam giác với ba cạnh có độ dài ''a'', ''b'', ''c'' và các góc tương ứng α, β, γ.]]
Trong [[hình học]], '''công thức Heron''' là công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}.<ref name="Goodman"/>{{rp|151}} Nếu <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> là nửa chu vi tam giác và {{mvar|A}} là diện tích tam giác thì:<ref name="Goodman">{{cite book | last = Goodman | first = Michael K. J. | title = An Introduction to the Early Development of Mathematics | publisher = John Wiley & Sons | publication-place = Hoboken, New Jersey | date = 2016 | isbn = 978-1-119-10498-8}}</ref>{{rp|151}}

:<math>A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.</math>

Công thức Heron còn có thể được viết trực tiếp theo {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}:<ref name="Kendig">{{cite journal | last1 = Kendig | first1 = Keith | title = Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets? | journal = The American Mathematical Monthly | date = May 2000 | volume = 107 | issue = 5 | pages = 402–415 | doi = 10.1080/00029890.2000.12005213 | s2cid = 1214184}}</ref>

:<math>\begin{align}
A &= \frac1{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\[6mu]
&=\frac1{4}\sqrt{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}.
\end{align}</math>

Một cách biểu diễn khác sử dụng [[định thức Cayley–Menger]]:<ref name="Weisstein">{{cite book | last = Weisstein | first = Eric W. | title = CRC Concise Encyclopedia of Mathematics | edition = 2 | publisher = CRC Press | date = 2002 | isbn = 978-1-4200-3522-3 | url = https://doi.org/10.1201/9781420035223}}</ref>{{rp|1360}}

:<math> -16A^2 = \begin{vmatrix}
0 & a & b & c \\
a & 0 & c & b \\
b & c & 0 & a \\
c & b & a & 0
\end{vmatrix}

=\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & c^2 & b^2 \\
1 & c^2 & 0 & a^2 \\
1 & b^2 & a^2 & 0
\end{vmatrix}. 

</math>

Công thức mang tên [[Heron xứ Alexandria|Heron]] (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở [[Alexandria]] vào thế kỷ 1.<ref>{{cite book | editor-last = Ceccarelli | editor-first = Marco | title = History of Mechanism and Machine Science | publisher = Springer Netherlands | date = 2007 | isbn = 978-1-4020-6365-7 | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4020-6366-4}}</ref>{{rp|217}} Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn ''Metrica'' và ''Dioptra''; đây là lý do tên ông gắn với công thức.<ref name="Kendig"/><ref name="Heath">{{cite book | last = Heath | first = Thomas | title = A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus | volume = vol. II | publisher = Oxford University Press | date = 1921}}</ref>{{rp|321–322}} Mặc dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi [[Archimedes]].<ref name="Dunham">{{cite book | last = Dunham | first = William | title = Journey through Genius: Great Theorems of Mathematics | publisher = John Wiley & Sons | publication-place = New York, NY | date = 1990 | isbn = 978-0-471-50030-8}}</ref>{{rp|127}} Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.<ref name="Dunham"/>{{rp|127}}<ref name="Boyer">{{cite book | last = Boyer | first = Carl B. | last2 = Merzbach | first2 = Uta C. | title = A History of Mathematics | edition = 3 | publisher = John Wiley & Sons | publication-place=Hoboken, N.J | date = 2011 | isbn = 978-0-470-52548-7}}</ref>{{rp|157}}

== Ví dụ ==
Xét {{math|△''ABC''}} có độ dài các cạnh {{math|''a'' {{=}} 5}}, {{math|''b'' {{=}} 12}}, {{math|''c'' {{=}} 13}}. Tam giác này có nửa chu vi:

:<math>s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+12+13}{2}=15</math>
Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác là:
:<math>
\begin{align}
A &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15 \cdot (15-5) \cdot (15-12) \cdot (15-13)}\\
&= \sqrt{15 \cdot10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{900} = 30.
\end{align}
</math>

Ở ví dụ này, độ dài các cạnh và diện tích đều là [[số nguyên]], tức đây là [[tam giác Heron]].<ref name="Weisstein"/>{{rp|1361}} Tuy nhiên công thức Heron hoàn toàn có thể áp dụng trong trường hợp độ dài cạnh không là số nguyên.

== Chứng minh ==
Chứng minh của Heron dùng hình học cơ bản tuy khéo léo nhưng rất dài dòng và phức tạp; tập hợp một chuỗi đồng nhất thức dường như không liên quan và dựa vào tính chất của [[tứ giác nội tiếp]] cùng [[tam giác vuông]].<ref name="Weisstein"/>{{rp|1360}} Có nhiều phương pháp hiện đại khác để chứng minh, một số đơn giản được trình bày dưới đây.

=== Sử dụng định lý cosin ===
Gọi {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} là các cạnh của tam giác và {{mvar|α}}, {{mvar|β}}, {{mvar|γ}} là các góc đối tương ứng. Áp dụng [[định lý cosin]] có:

:<math>\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab};</math>

từ đó suy ra:

:<math>\sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.</math>

Chiều cao của tam giác ứng với cạnh đáy {{mvar|a}} bằng {{mvar|b}} sin <math>\gamma</math>, theo đó diện tích
: <math>\begin{align}
A
&= \tfrac12 (\mbox{cạnh đáy}) (\mbox{chiều cao}) \\[6mu]
&= \tfrac12 ab\sin \gamma \\[6mu]
&= \frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\[6mu]
&= \sqrt{
  \left(\frac{a + b + c}{2}\right)
  \left(\frac{- a + b + c}{2}\right)
  \left(\frac{a - b + c}{2}\right)
  \left(\frac{a + b - c}{2}\right)} \\[6mu]
&= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
\end{align}</math>

=== Sử dụng định lý Pythagoras ===
[[Image:Triangle with notations 3.svg|thumb|Tam giác có đường cao {{mvar|h}} chia cạnh đáy {{mvar|c}} thành {{math|''d'' + (''c'' − ''d'')}}]]
Chứng minh sau tương tự như chứng minh của Raifaizen.<ref name="Raifaizen">{{cite journal | last1 = Raifaizen | first1 = Claude H. | title = A Simpler Proof of Heron's Formula | journal = Mathematics Magazine | date = January 1971 | volume = 44 | issue = 1 | pages = 27–28 | doi = 10.1080/0025570X.1971.11976093 | s2cid = 118200248}}</ref> Xét hình bên, theo [[định lý Pythagoras]] ta có {{math|''b''{{sup|2}} {{=}} ''h''{{sup|2}} + ''d''{{sup|2}}}} và {{math|''a''{{sup|2}} {{=}} ''h''{{sup|2}} + (''c'' − ''d''){{sup|2}}}}, từ đó {{math|''a''{{sup|2}} − ''b''{{sup|2}} {{=}} ''c''{{sup|2}} − 2''cd''}}. Phương trình này cho phép biểu diễn {{math|''d''}} theo các cạnh của tam giác:
: <math>d = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}.</math>

Chiều cao {{math|''h''{{sup|2}} {{=}} ''b''{{sup|2}} − ''d''{{sup|2}}}}, thay {{mvar|d}} bằng công thức ở trên và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương được:

:<math>
\begin{align}
 h^2 &= b^2-\left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\right)^2 \\
     &= \frac{(2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2)}{4c^2} \\
     &= \frac{\big((b + c)^2 - a^2\big)\big(a^2 - (b - c)^2\big)}{4c^2} \\
     &= \frac{(b + c - a)(b + c + a)(a + b - c)(a - b + c)}{4c^2} \\
     &= \frac{2(s - a) \cdot 2s \cdot 2(s - c) \cdot 2(s - b)}{4c^2} \\
     &= \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}.
\end{align}
</math>

Giờ áp dụng kết quả này vào công thức tính diện tích tam giác theo chiều cao:
: <math>
\begin{align}
 A &= \frac{ch}{2} \\
   &= \sqrt{\frac{c^2}{4} \cdot \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}} \\
   &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.
\end{align}
</math>

=== Sử dụng định lý cotang ===
[[File:Herontriangle2greek.svg|thumb|Ý nghĩa hình học của {{math|''s'' − ''a''}}, {{math|''s'' − ''b''}}, và {{math|''s'' − ''c''}}.]]
Ở hình bên, tam giác ''ABC'' được chia thành ba tam giác có đường cao cùng bằng {{mvar|r}} là bán kính của [[đường tròn nội tiếp]] tam giác và cạnh đáy {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}. Tổng diện tích của chúng là:
:<math>A = \frac12ar + \frac12br + \frac12cr = r\left(\frac{a+b+c}{2}\right) = rs.</math>

{{clear}}
== Tham khảo ==
{{reflist}}