| Bản hiện tại |
Nội dung bạn nhập |
| Dòng 1: |
Dòng 1: |
| | <indicator name="mới">[[File:UnderCon icon.svg|40px|link={{TALKPAGENAME}}#Bình duyệt|alt=Mục từ này cần được bình duyệt|Mục từ này cần được bình duyệt]]</indicator> | | <indicator name="mới">[[File:UnderCon icon.svg|40px|link={{TALKPAGENAME}}#Bình duyệt|alt=Mục từ này cần được bình duyệt|Mục từ này cần được bình duyệt]]</indicator> |
| − | [[File:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|Một tam giác với ba cạnh có độ dài ''a'', ''b'', ''c'' và các góc tương ứng α, β, γ.]] | + | [[File:Triangle with notations 2 without points.svg|thumb|Một tam giác với ba cạnh ''a'', ''b'', và ''c'']] |
| − | Trong [[hình học]], '''công thức Heron''' là công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}.<ref name="Goodman"/>{{rp|151}} Nếu <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> là nửa chu vi tam giác và {{mvar|A}} là diện tích tam giác thì:<ref name="Goodman">{{cite book | last = Goodman | first = Michael K. J. | title = An Introduction to the Early Development of Mathematics | publisher = John Wiley & Sons | publication-place = Hoboken, New Jersey | date = 2016 | isbn = 978-1-119-10498-8}}</ref>{{rp|151}} | + | Trong [[hình học]], '''công thức Heron''' là công thức tính diện tích tam giác theo độ dài ba cạnh <math>a</math>, <math>b</math>, và <math>c</math>. Nếu <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> là nửa chu vi tam giác thì và A là diện tích tam giác thì: |
| | | | |
| | :<math>A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.</math> | | :<math>A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.</math> |
| − |
| |
| − | Công thức Heron còn có thể được viết trực tiếp theo {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}:<ref name="Kendig">{{cite journal | last1 = Kendig | first1 = Keith | title = Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets? | journal = The American Mathematical Monthly | date = May 2000 | volume = 107 | issue = 5 | pages = 402–415 | doi = 10.1080/00029890.2000.12005213 | s2cid = 1214184}}</ref>
| |
| − |
| |
| − | :<math>\begin{align}
| |
| − | A &= \frac1{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\
| |
| − | &=\frac1{4}\sqrt{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}.
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Một cách biểu diễn khác sử dụng [[định thức Cayley–Menger]]:<ref name="Weisstein">{{cite book | last = Weisstein | first = Eric W. | title = CRC Concise Encyclopedia of Mathematics | edition = 2 | publisher = CRC Press | date = 2002 | isbn = 978-1-4200-3522-3 | url = https://doi.org/10.1201/9781420035223}}</ref>{{rp|1360}}
| |
| − |
| |
| − | :<math> -16A^2 = \begin{vmatrix}
| |
| − | 0 & a & b & c \\
| |
| − | a & 0 & c & b \\
| |
| − | b & c & 0 & a \\
| |
| − | c & b & a & 0
| |
| − | \end{vmatrix}
| |
| − |
| |
| − | =\begin{vmatrix}
| |
| − | 0 & 1 & 1 & 1 \\
| |
| − | 1 & 0 & c^2 & b^2 \\
| |
| − | 1 & c^2 & 0 & a^2 \\
| |
| − | 1 & b^2 & a^2 & 0
| |
| − | \end{vmatrix}.
| |
| − |
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Công thức mang tên [[Heron xứ Alexandria|Heron]] (hoặc Hero), nhà toán học, vật lý, kỹ sư sống ở [[Alexandria]] vào thế kỷ 1.<ref>{{cite book | editor-last = Ceccarelli | editor-first = Marco | title = History of Mechanism and Machine Science | publisher = Springer Netherlands | date = 2007 | isbn = 978-1-4020-6365-7 | url = https://doi.org/10.1007/978-1-4020-6366-4}}</ref>{{rp|217}} Chứng minh cổ xưa nhất được biết đến là của Heron xuất hiện trong cuốn ''Metrica'' và ''Dioptra''; đây là lý do tên ông gắn với công thức.<ref name="Kendig"/><ref name="Heath">{{cite book | last = Heath | first = Thomas | title = A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus | volume = vol. II | publisher = Oxford University Press | date = 1921}}</ref>{{rp|321–322}} Mặc dù vậy theo một bản viết A Rập cổ, nó có thể đã được biết đến sớm hơn bởi [[Archimedes]].<ref name="Dunham">{{cite book | last = Dunham | first = William | title = Journey through Genius: Great Theorems of Mathematics | publisher = John Wiley & Sons | publication-place = New York, NY | date = 1990 | isbn = 978-0-471-50030-8}}</ref>{{rp|127}} Không có tài liệu nào của Archimedes đề cập đến định lý này, nhưng một số tác giả không nghi ngờ việc ông nắm bắt được nó.<ref name="Dunham"/>{{rp|127}}<ref name="Boyer">{{cite book | last = Boyer | first = Carl B. | last2 = Merzbach | first2 = Uta C. | title = A History of Mathematics | edition = 3 | publisher = John Wiley & Sons | publication-place=Hoboken, N.J | date = 2011 | isbn = 978-0-470-52548-7}}</ref>{{rp|157}}
| |
| − |
| |
| − | == Ví dụ ==
| |
| − | Xét {{math|△''ABC''}} có độ dài các cạnh {{math|''a'' {{=}} 5}}, {{math|''b'' {{=}} 12}}, {{math|''c'' {{=}} 13}}. Tam giác này có nửa chu vi:
| |
| − |
| |
| − | :<math>s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{5+12+13}{2}=15</math>
| |
| − | Áp dụng công thức Heron, diện tích tam giác là:
| |
| − | :<math>
| |
| − | \begin{align}
| |
| − | A &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{15 \cdot (15-5) \cdot (15-12) \cdot (15-13)}\\
| |
| − | &= \sqrt{15 \cdot10 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{900} = 30.
| |
| − | \end{align}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Ở ví dụ này, độ dài các cạnh và diện tích đều là [[số nguyên]], tức đây là [[tam giác Heron]].<ref name="Weisstein"/>{{rp|1361}} Tuy nhiên công thức Heron hoàn toàn có thể áp dụng trong trường hợp độ dài cạnh không là số nguyên.
| |
| − |
| |
| − | == Chứng minh ==
| |
| − | Chứng minh của Heron dùng hình học cơ bản tuy khéo léo nhưng rất dài dòng và phức tạp; tập hợp một chuỗi đồng nhất thức dường như không liên quan và dựa vào tính chất của [[tứ giác nội tiếp]] cùng [[tam giác vuông]].<ref name="Weisstein"/>{{rp|1360}} Có nhiều phương pháp hiện đại khác để chứng minh, một số đơn giản được trình bày dưới đây.
| |
| − |
| |
| − | === Sử dụng định lý cosin ===
| |
| − | Gọi {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} là các cạnh của tam giác và {{mvar|α}}, {{mvar|β}}, {{mvar|γ}} là các góc đối tương ứng. Áp dụng [[định lý cosin]] có:
| |
| − |
| |
| − | :<math>\cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab};</math>
| |
| − |
| |
| − | từ đó suy ra:
| |
| − |
| |
| − | :<math>\sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.</math>
| |
| − |
| |
| − | Chiều cao của tam giác ứng với cạnh đáy {{mvar|a}} bằng {{mvar|b}} sin <math>\gamma</math>, theo đó diện tích
| |
| − | : <math>\begin{align}
| |
| − | A
| |
| − | &= \tfrac12 (\mbox{cạnh đáy}) (\mbox{chiều cao}) \\[6mu]
| |
| − | &= \tfrac12 ab\sin \gamma \\[6mu]
| |
| − | &= \frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\[6mu]
| |
| − | &= \tfrac14\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2} \\[6mu]
| |
| − | &= \tfrac14\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\[6mu]
| |
| − | &= \sqrt{
| |
| − | \left(\frac{a + b + c}{2}\right)
| |
| − | \left(\frac{- a + b + c}{2}\right)
| |
| − | \left(\frac{a - b + c}{2}\right)
| |
| − | \left(\frac{a + b - c}{2}\right)} \\[6mu]
| |
| − | &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | === Sử dụng định lý Pythagoras ===
| |
| − | [[Image:Triangle with notations 3.svg|thumb|Tam giác có đường cao {{mvar|h}} chia cạnh đáy {{mvar|c}} thành {{math|''d'' + (''c'' − ''d'')}}]]
| |
| − | Chứng minh sau tương tự chứng minh của Raifaizen.<ref name="Raifaizen">{{cite journal | last1 = Raifaizen | first1 = Claude H. | title = A Simpler Proof of Heron's Formula | journal = Mathematics Magazine | date = January 1971 | volume = 44 | issue = 1 | pages = 27–28 | doi = 10.1080/0025570X.1971.11976093 | s2cid = 118200248}}</ref> Xét hình bên, theo [[định lý Pythagoras]] ta có {{math|''b''{{sup|2}} {{=}} ''h''{{sup|2}} + ''d''{{sup|2}}}} và {{math|''a''{{sup|2}} {{=}} ''h''{{sup|2}} + (''c'' − ''d''){{sup|2}}}}, từ đó {{math|''a''{{sup|2}} − ''b''{{sup|2}} {{=}} ''c''{{sup|2}} − 2''cd''}}. Phương trình này cho phép biểu diễn {{math|''d''}} theo các cạnh của tam giác:
| |
| − | : <math>d = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}.</math>
| |
| − |
| |
| − | Chiều cao {{math|''h''{{sup|2}} {{=}} ''b''{{sup|2}} − ''d''{{sup|2}}}}, thay {{mvar|d}} bằng công thức ở trên và áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương được:
| |
| − |
| |
| − | :<math>
| |
| − | \begin{align}
| |
| − | h^2 &= b^2-\left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\right)^2 \\
| |
| − | &= \frac{(2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2)}{4c^2} \\
| |
| − | &= \frac{\big((b + c)^2 - a^2\big)\big(a^2 - (b - c)^2\big)}{4c^2} \\
| |
| − | &= \frac{(b + c - a)(b + c + a)(a + b - c)(a - b + c)}{4c^2} \\
| |
| − | &= \frac{2(s - a) \cdot 2s \cdot 2(s - c) \cdot 2(s - b)}{4c^2} \\
| |
| − | &= \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}.
| |
| − | \end{align}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Giờ áp dụng kết quả này vào công thức tính diện tích tam giác theo chiều cao:
| |
| − | : <math>
| |
| − | \begin{align}
| |
| − | A &= \frac{ch}{2} = \sqrt{\frac{c^2h^2}{4}} \\
| |
| − | &= \sqrt{\frac{c^2}{4} \cdot \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}} \\
| |
| − | &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.
| |
| − | \end{align}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | === Sử dụng định lý cotang ===
| |
| − | [[File:Herontriangle2greek.svg|thumb|Ý nghĩa hình học của {{math|''s'' − ''a''}}, {{math|''s'' − ''b''}}, và {{math|''s'' − ''c''}}.]]
| |
| − | Ở hình bên, tam giác ''ABC'' được chia thành ba tam giác có đường cao cùng bằng {{mvar|r}} là bán kính của [[đường tròn nội tiếp]] tam giác và cạnh đáy {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}. Tổng diện tích của chúng là:
| |
| − | :<math>A = \frac12ar + \frac12br + \frac12cr = r\left(\frac{a+b+c}{2}\right) = rs.</math>
| |
| − |
| |
| − | Tam giác ''ABC'' cũng có thể được chia thành sáu tam giác hay ba cặp đồng dạng có đường cao {{mvar|r}} và cạnh đáy {{math|''s'' − ''a''}}, {{math|''s'' − ''b''}}, {{math|''s'' − ''c''}} (xem [[định lý cotang]]). Tổng diện tích của chúng là:
| |
| − | :<math>
| |
| − | \begin{align}
| |
| − | A &= 2\cdot\frac12r(s-a) + 2\cdot\frac12r(s-b) + 2\cdot\frac12r(s-c) \\[2mu]
| |
| − | &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) \\[2mu]
| |
| − | &= r^2\left(\frac{s - a}{r} + \frac{s - b}{r} + \frac{s - c}{r}\right) \\[2mu]
| |
| − | &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}}\right) \\[3mu]
| |
| − | &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} \cot{\frac{\beta}{2}} \cot{\frac{\gamma}{2}}\right)\\[3mu]
| |
| − | &= r^2\left(\frac{s - a}{r} \cdot \frac{s - b}{r} \cdot \frac{s - c}{r}\right) \\[3mu]
| |
| − | &= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}.
| |
| − | \end{align}
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | Ở trên sử dụng đồng nhất thức ba cotang: <math display=inline>\cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}} = \cot{\frac{\alpha}{2}}\cot{\frac{\beta}{2}}\cot{\frac{\gamma}{2}}</math> khi <math display=inline>\frac\alpha2 + \frac\beta2 + \frac\gamma2 = \frac\pi2.</math> Từ hai kết quả trên được:
| |
| − | :<math>
| |
| − | \begin{align}
| |
| − | A^2 &= rs\cdot{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}} \\
| |
| − | &= s(s - a)(s - b)(s - c),
| |
| − | \end{align}
| |
| − | </math>
| |
| − | vậy <math>A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.</math>
| |
| − |
| |
| − | == Tổng quát hóa ==
| |
| − | [[File:Cyclicquadrilateral.png|thumb|Tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh nằm trên đường tròn.]]
| |
| − | Công thức Heron là trường hợp đặc biệt của [[công thức Brahmagupta]] và [[công thức Bretschneider]] tính diện tích của tứ giác. Công thức Heron có thể thu được từ công thức Brahmagupta hoặc công thức Bretschneider bằng việc đặt một cạnh của tứ giác bằng không.
| |
| − |
| |
| − | === Công thức Heron trong hình học phi Euclid ===
| |
| − | Còn có các công thức tính diện tích tam giác trên mặt cầu và mặt hyperbol theo độ dài cạnh, lần lượt là:<ref name="Alekseevskij">{{cite book | editor-last = Vinberg | editor-first = E. B. | title = Geometry II: Spaces of constant curvature | last = Alekseevskij | first = D. V. | last2 = Vinberg | first2 = E. B. | last3 = Solodovnikov | first3 = A. S. | chapter = Geometry of Spaces of Constant Curvature | publisher = Springer Berlin Heidelberg | date = 1993 | isbn = 978-3-642-08086-9 | chapter-url = https://doi.org/10.1007/978-3-662-02901-5_1}}</ref>{{rp|66}}
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \tan^2 \frac S4 = \tan \frac s2 \tan\frac{s-a}2 \tan\frac{s-b}2 \tan\frac{s-c}2,
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \tanh^2 \frac S4 = \tanh \frac s2 \tanh\frac{s-a}2 \tanh\frac{s-b}2 \tanh\frac{s-c}2,
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − | với {{mvar|s}} là nửa chu vi và {{mvar|S}} là diện tích tam giác.
| |
| − | {{clear}}
| |
| − |
| |
| − | == Tham khảo ==
| |
| − | {{reflist}}
| |