Đa thức là một biểu thức f có dạng

f = a0 + a1x + ... + anxn,

trong đó x là biến số và a0, a1, ..., an là những số cho trước, là đa thức. Người ta hay dùng ký hiệu f(x) thay cho f để chỉ f là đa thức của biến x.

Các thành phần a0, a1x, ..., anxn được gọi là các hạng tử của f. Với mọi i = 0, 1, ..., n, số ai được gọi là hệ số của xi trong f. Nếu an 6= 0 thì n được gọi là bậc của f, ký hiệu là deg f. Khi đó, ta gọi an là hệ số đầu của f.

Nếu a0 = a1 = · · · = an = 0 thì ta gọi f là đa thức không, ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định deg 0 = −∞ theo nghĩa deg 0 nhỏ hơn n với mọi n ≥ 0. Nếu deg f = 0 thì f = a0 6= 0 là một số. Nếu deg f = 1 thì f được gọi là một đa thức tuyến tính.

Nếu ta coi x như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

g = b0 + b1x + ... + bmxm

là một đa thức khác với m ≤ n thì

f + g = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · · + (an + bn)xn,

trong đó bi = 0 với mọi i > m. Ta cũng dễ dàng thấy

fg = (a0b0) + (a0b1 + a1b0)x + · · · + (anbm)xm+n.

Ta không có phép chia hai đa thức f/g vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức h sao cho f = gh. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia h cho g theo nghĩa sau:

Bổ đề. Cho f và g là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức h và v sao cho

f = gh + v

với deg v < deg g. Các đa thức h và v được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.

Ta gọi h là thương v là phần dư của phép chia f cho g. Điều kiện deg v < deg g tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.

Ta có thể xác định h và v theo thuật toán sau. Đặt n = deg f và m = deg g. Nếu n < m thì ta đặt h = 0 và v = f. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu n ≥ m thì ta xét đa thức

f1 := f − a / b x n−mg,

trong đó a và b là hệ số đầu của f và g. Rõ ràng là f có thể viết dưới dạng gh + v nếu f1 có thể viết dưới dạng gh1 + v với deg v < deg g. Ta tiếp tục quá trình trên với f1 và g. Do deg f1 < m = deg g nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ i nào đó, có nghĩa là fi có thể viết dưới dạng ghi + v với deg v < deg g. Từ đây suy ra f có thể viết dưới dạng gh + v với deg v < deg g. Thuật toán trên đây được gọi là thuật toán Ơclit.

Nếu f = gh hay là v = 0 thì ta nói f chia hết cho g hay g là ước của f.

Trong trường hợp g = x − c với c là một số nào đó thì deg v < deg g = 1. Nếu deg v = 0 thì v là một số khác không. Nếu deg v < 0 thì v chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

f = (x − c)h + v

với v là một số nào đó.

Ta có thể coi mỗi đa thức f như một hàm số với

f(c) = a0 + a1c + ... + ancn.

Số c được gọi là nghiệm của f nếu f(c) = 0. Từ công thức f = (x − c)h + v ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của f.

Bổ đề. f(c) = 0 khi và chỉ khi f chia hết cho x − c.

Nếu c là nghiệm của f thì ta có f = (x − c)h với deg h = deg f − 1. Người ta gọi số mũ s lớn nhất sao cho f chia hết cho (x − c)s là bội của nghiệm c, có nghĩa là f = (x − c)sh với h(c) 6= 0. Khi đó ta có thể coi f có s nghiệm c.

Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.

Định lý. Nếu deg f = n thì f có nhiều nhất n nghiệm.

Ta gọi đa thức f là bất khả quy nếu f không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn deg f. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.

Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức x 2 − 2 là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì x2 − 2 chia hết cho x −√2.

Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành A có đơn vị. Khi đó, đa thức trên A là một biểu thức f có dạng

f = a0 + a1x + ... + anxn,

trong đó x là biến số và a0, a1, ..., an ∈ A. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.

Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên A với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên A lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên A, ký hiệu là A[x].

Ta gọi đa thức f là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của f là phần tử nghịch đảo trong A. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:

Bổ đề. Cho g ∈ A[x] là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức f ∈ A[x] dưới dạng

f = gh + v

với h, v ∈ A[x] và deg v < deg g. Các đa thức h và v được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.

Chú ý rằng nếu A là một trường thì mọi đa thức g ∈ A[x] đều có thể viết dưới dạng g = ag1, trong đó a là hệ số đầu của g và g1 là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi g1 là đa thức chuẩn hoá của g. Ta có thể chia f cho g bằng cách chia f cho g1. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức g 6= 0 nếu A là một trường.

Ta gọi đa thức f là bất khả quy trong A[x] nếu f không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn deg f trong A[x]. Nếu A là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức f ∈ A[x] thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

Đa thức n biến trên A là một biểu thức f có dạng

f = Xr1+···+rn≤rcr1,...,rn xr11· · · xrnn,

trong đó x1, ..., xn là các biến số và cr1,...,rn ∈ A với mọi bộ số nguyên r1, ..., rn ≥ 0 thoả mãn r1 + · · · + rn ≤ r với r ≥ 0 là một số nguyên cho trước. Các phần tử cr1,...,rn được gọi là hệ số của f. Các thành phần cr1,...,rn x r1 1 · · · x rn n được gọi là các hạng tử của f. Người ta hay dùng ký hiệu f(x1, ..., xn) thay cho f để chỉ f là đa thức của các biến x1, ..., xn. Các biểu thức x r1 1 · · · x rn n được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức x r1 1 · · · x rn n là tổng r1 + · · · + rn của các số mũ. Nếu r1 = · · · = rn = 0 thì x r1 1 · · · x rn n = 1. Ta quy định bậc của 1 là −∞. Bậc của đa thức f 6= 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của f. Ta ký hiệu bậc của f với deg f. Chú ý rằng deg f ≤ 0 khi và chỉ khi f ∈ A.

Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng

f = c0,0 + c10x1 + c01x2 + · · · + c1,r−1x1xr−12 + c0,rxr2.

Nếu ta coi x1, ..., xn như các phần tử trong A thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức n biến trên A. Tập các đa thức n biến trên A được gọi vành đa thức n biến trên A, ký hiệu là A[x1, ..., xn]. Ta có thể coi A[x1, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành đa thức (n − 1) biến A[x1, ..., xn−1], có nghĩa là

A[x1, ..., xn] := A[x1, ..., xn−1][xn].

Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.

Với mọi a = (α1, ..., αn) ∈ An ta ứng với đa thức f ở trên một phần tử f(a) ∈ A như sau:

f(a) = X r1+···+rn≤r cr1,...,rn α r1 1 · · · α rn n.

Nếu f(a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f. Ta có thể coi f là một hàm từ An vào A và tập nghiệm của f như là một hình hình học trong An. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.

Đa thức f được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của f đều có cùng bậc. Ví dụ như a1x1+· · ·+anxn là đa thức thuần nhất. Nếu a = (α1, ..., αn) là nghiệm của đa thức thuần nhất f thì λa = (λα1, ..., λαn) cũng là nghiệm của f. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc (0, ..., 0) của An.

Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.