Chuỗi điều hòa
Phiên bản vào lúc 20:22, ngày 24 tháng 11 năm 2023 của Marrella (Thảo luận | đóng góp)

Trong toán học, chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn nghịch đảo của các số nguyên dương:[1]

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.}

Chuỗi này được biết là phân kỳ, với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle S_n} là tổng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} số hạng đầu hay tổng riêng thứ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} :[2]

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s = \lim_{n \to \infty}S_n = \infty.}

Khi càng thêm nhiều số hạng thì tổng riêng của chuỗi sẽ tăng tiến không giới hạn, đây là đặc điểm thú vị bởi nếu nhìn vào các số hạng thì chúng ngày càng nhỏ dần đến 0, gợi suy nghĩ rằng chuỗi hội tụ.[2] Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ, bởi nếu chuỗi không tiến đến một giá trị hữu hạn khi không ngừng tiếp nhận thêm số hạng, nó sẽ phân kỳ.[2] Tính phân kỳ của chuỗi điều hòa được Nicole Oresme chứng minh vào thế kỷ 14 bằng một kiểu phép thử rút gọn Cauchy cho trường hợp đặc biệt.[3][4] Cách chứng minh phổ biến khác là so sánh tổng với một tích phân suy rộng.[5]

Chuỗi điều hòa có dạng tổng quát là hàm zeta Riemann, đạt được khi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x=1} :[6]

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}=\frac1{1^x}+\frac1{2^x}+\frac1{3^x}+\cdots.}

Chứng minh sự phân kỳ

Có nhiều cách để chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ, dưới đây là hai phương pháp phổ biến nhất.[5][7]

Thử so sánh

Chứng minh sau là của Nicole Oresme có từ khoảng năm 1350.[5] Gọi là tổng số hạng đầu, để ý thấy:[8]

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} S_2 &= 1 + \frac{1}{2} > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \\ S_4 &= S_2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\\ S_8 &= S_4 + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{3}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2. \\ \end{align}}

Cứ tiếp tục như vậy ta thấy rằng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle S_{2^n} > \frac{n+1}{2}} . Vì vế phải của bất đẳng thức này tiến đến vô cùng, do đó chuỗi điều hòa phân kỳ. Cách trình bày khác dễ hiểu hơn:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \begin{align} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots \\ {} > {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{\color{red}{4}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{\color{red}{8}} + \frac{1}{\color{red}{8}} + \frac{1}{\color{red}{8}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{\color{red}{16}} + \cdots \\ {} = {} & 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16}\right) + \cdots \\ {} = {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots. \end{align}}

Chuỗi được đem so sánh phân kỳ, và vì mỗi số hạng của chuỗi điều hòa đều lớn hơn hoặc bằng số hạng tương ứng của chuỗi này, do đó chuỗi điều hòa cũng phân kỳ.

Thử tích phân

Tập tin:Integral Test.svg
Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle y=1/x} đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.

Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 1/n} đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle y=1/x} hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.}

Vì tích phân này không hội tụ, do đó chuỗi điều hòa phân kỳ. Đây là phép thử hội tụ bằng tích phân; hàm lấy tích phân thỏa mãn điều kiện dương, liên tục, đơn điệu giảm dần.[9]

Tổng riêng và số điều hòa

Cộng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} số hạng đầu của chuỗi điều hòa cho ra tổng riêng, được gọi số điều hòa và ký hiệu là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_n} :[10]

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.}

Giá trị của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_n} xấp xỉ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \ln n + \gamma} , hay Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_n - \ln n} hội tụ về hằng số Euler–Mascheroni Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \gamma\approx0,577} . Giới hạn cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_n} :[11]

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \ln n + \gamma \leq H_n \leq \ln n + \gamma + \frac{1}{n}.}

Ví dụ với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_{100}} , hai biên (được làm tròn) là 5,18238 và 5,19239. Vận dụng tính lồi của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 1/x} , khoảng biên có thể được thắt chặt hơn:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \ln n + \gamma + \frac{1}{2n+1} \leq H_n \leq \ln n + \gamma + \frac{1}{2n}.}

Chênh lệch giữa cận trên và dưới giờ là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 1/[2n(2n+1)]} , cặp biên cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_{100}} là 5,187361 và 5,187386. Phép xấp xỉ sau cho kết quả chính xác hơn nhiều:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + r_n} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle 0 \leq r_n \leq \frac{1}{120n^4},}

nó cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_{100}} đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.[11]

Ví dụ về chuỗi có chứa Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle H_n} và biểu thức liên quan:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3} = \frac{\pi^4}{72}} (Euler tìm ra vào năm 1775), và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{{H_n}^2}{n^2} = \frac{17\pi^4}{360}.}

Tham khảo

  1. ↑ Bonar & Jr. 2018, tr. 65.
  2. ↑ a b c Mortimer 2013, tr. 121.
  3. ↑ Kullman, David E. (tháng 5 năm 2001), "What's Harmonic about the Harmonic Series?", The College Mathematics Journal, 32 (3): 201, doi:10.2307/2687471, JSTOR 2687471
  4. ↑ Bonar & Jr. 2018, tr. 66.
  5. ↑ a b c Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (2006), "The Harmonic Series Diverges Again and Again" (PDF), AMATYC Review, American Mathematical Association of Two-Year Colleges, 27 (2): 31–43, S2CID 14395677
  6. ↑ Weisstein 2003, tr. 1308.
  7. ↑ Bonar & Jr. 2018, tr. 66–72.
  8. ↑ Bonar & Jr. 2018, tr. 66–67.
  9. ↑ Bonar & Jr. 2018, tr. 67.
  10. ↑ Weisstein 2003, tr. 1306.
  11. ↑ a b Jameson, G. J. O. (tháng 3 năm 2015), "Euler-Maclaurin, harmonic sums and Stirling's formula", The Mathematical Gazette, 99 (544): 75–89, doi:10.1017/mag.2014.10, S2CID 123403893

Tài liệu tham khảo

Lấy từ “https://bktt.vn/index.php?title=Chuỗi_điều_hòa&oldid=23888”