Mục từ này cần được bình duyệt
Khác biệt giữa các bản “Đa thức”
(Tạo trang mới với nội dung “{{mới}} '''Đa thức''' là một biểu thức f có dạng f = a0 + a1x + ... + anxn, trong đó x là biến số và a0, a1, ..., an là những…”)
 
 
(Không hiển thị 2 phiên bản của cùng người dùng ở giữa)
Dòng 1: Dòng 1:
 
{{mới}}
 
{{mới}}
−
'''Đa thức''' là một biểu thức f có dạng
+
'''Đa thức''' là một biểu thức <math>f</math> có dạng
  
−
f = a0 + a1x + ... + anxn,  
+
:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>
  
−
trong đó x là biến số và a0, a1, ..., an là những số cho trước, là đa thức. Người ta hay dùng ký hiệu f(x) thay cho f để chỉ f là đa thức của biến x.
+
trong đó <math>x</math> là biến số và <math>a_0, a_1, ..., a_n</math> là những số cho trước, là ''đa thức''. Người ta hay dùng ký hiệu <math>f(x)</math> thay cho <math>f</math> để chỉ <math>f</math> là đa thức của biến <math>x</math>.
  
−
Các thành phần a0, a1x, ..., anxn được gọi là các hạng tử của f. Với mọi i = 0, 1, ..., n, số ai được gọi là hệ số của xi trong f. Nếu an 6= 0 thì n được gọi là bậc của f, ký hiệu là deg f. Khi đó, ta gọi an là hệ số đầu của f.
+
Các thành phần <math>a_0, a_1 x, ..., a_n x^n</math> được gọi là các hạng tử của <math>f</math>. Với mọi <math>i</math> = 0, 1, ..., <math>n</math>, số <math>a_i</math> được gọi là hệ số của <math>x^i</math> trong <math>f</math>. Nếu <math>a_n \ne 0</math> thì ''n'' được gọi là bậc của <math>f</math>, ký hiệu là <math>\text{deg }f</math>. Khi đó, ta gọi <math>a_n</math> là hệ số đầu của <math>f</math>.
  
−
Nếu a0 = a1 = · · · = an = 0 thì ta gọi f là đa thức không, ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định deg 0 = −∞ theo nghĩa deg 0 nhỏ hơn n với mọi n ≥ 0. Nếu deg f = 0 thì f = a0 6= 0 là một số. Nếu deg f = 1 thì f được gọi là một đa thức tuyến tính.
+
Nếu <math>a_0 = a_1 = ... = a_n = 0</math> thì ta gọi <math>f</math> là ''đa thức không'', ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định <math>\text{deg } 0 = \infty</math> theo nghĩa <math>\text{deg } 0</math> nhỏ hơn <math>n</math> với mọi <math>n \ge 0</math>. Nếu <math>\text{deg }f = 0</math> thì <math>f = a_0 \ne 0</math> là một số. Nếu <math>\text{deg }f = 1</math> thì <math>f</math> được gọi là một ''đa thức tuyến tính''.
  
−
Nếu ta coi x như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu
+
Nếu ta coi <math>x</math> như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu
  
−
g = b0 + b1x + ... + bmxm
+
:<math>g = b_0 + b_1x + ... + b_mx^m</math>
  
−
là một đa thức khác với m ≤ n thì
+
là một đa thức khác với <math>m \le n</math> thì
  
−
f + g = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · · + (an + bn)xn,
+
:<math> f + g = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + ... + (a_n + b_n)x^n,</math>
  
−
trong đó bi = 0 với mọi i > m. Ta cũng dễ dàng thấy
+
trong đó <math>b_i = 0</math> với mọi <math>i > m</math>. Ta cũng dễ dàng thấy
  
−
fg = (a0b0) + (a0b1 + a1b0)x + · · · + (anbm)xm+n.
+
:<math>fg = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0)x + ... + (a_nb_m)x^{m+n}.</math>
  
−
Ta không có phép chia hai đa thức f/g vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức h sao cho f = gh. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia h cho g theo nghĩa sau:
+
Ta không có phép chia hai đa thức <math>\frac{f}{g}</math> vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức <math>h</math> sao cho <math>f = gh</math>. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia <math>h</math> cho <math>g</math> theo nghĩa sau:
  
−
Bổ đề. Cho f và g là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức h và v sao cho
+
''Bổ đề.'' Cho <math>f</math> và <math>g</math> là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> sao cho
  
−
f = gh + v
+
:<math>f = gh + v</math>
  
−
với deg v < deg g. Các đa thức h và v được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.
+
với <math>\text{deg } v < \text{deg } g</math>. Các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.
  
−
Ta gọi h là thương v là phần dư của phép chia f cho g. Điều kiện deg v < deg g tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.
+
Ta gọi <math>h</math> là ''thương'' <math>v</math> là ''phần dư'' của phép chia <math>f</math> cho <math>g</math>. Điều kiện <math>\text{deg } v < \text{deg } g</math> tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.
  
−
Ta có thể xác định h và v theo thuật toán sau. Đặt n = deg f và m = deg g. Nếu n < m thì ta đặt h = 0 và v = f. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu n ≥ m thì ta xét đa thức
+
Ta có thể xác định <math>h</math> và <math>v</math> theo thuật toán sau. Đặt <math>n = \text{deg } f</math> = deg ''f'' và <math>m = \text{deg } g</math>. Nếu <math>n < m</math> thì ta đặt <math>h = 0</math> và <math>v = f</math>. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu <math>n \ge m</math> thì ta xét đa thức
  
−
f1 := f − a / b x n−mg,
+
:<math>f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,</math>
 
 
−
trong đó a và b là hệ số đầu của f và g. Rõ ràng là f có thể viết dưới dạng gh + v nếu f1 có thể viết dưới dạng gh1 + v với deg v < deg g. Ta tiếp tục quá trình trên với f1 và g. Do deg f1 < m = deg g nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ i nào đó, có nghĩa là fi có thể viết dưới dạng ghi + v với deg v < deg g. Từ đây suy ra f có thể viết dưới dạng gh + v với deg v < deg g. Thuật toán trên đây được gọi là thuật toán Ơclit.
+
trong đó <math>a</math> và <math>b</math> là hệ số đầu của <math>f</math> và <math>g</math>. Rõ ràng là <math>f</math> có thể viết dưới dạng <math>gh + v</math> nếu <math>f_1</math> có thể viết dưới dạng <math>gh_1 + v</math> với <math>\text{deg }v < \text{deg } g</math>. Ta tiếp tục quá trình trên với <math>f_1</math> và <math>g</math>. Do <math>\text{deg }f_1 < m = \text{deg }g</math> nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ <math>i</math> nào đó, có nghĩa là <math>f_i</math> có thể viết dưới dạng <math>gh_i + v</math> với <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Từ đây suy ra <math>f</math> có thể viết dưới dạng <math>gh + v</math>''gh'' + ''v'' với <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Thuật toán trên đây được gọi là ''thuật toán Ơclit''.
  
−
Nếu f = gh hay là v = 0 thì ta nói f chia hết cho g hay g là ước của f.
+
Nếu <math>f = gh</math> hay là <math>v = 0</math> thì ta nói <math>f</math> chia hết cho <math>g</math> hay <math>g</math> là ''ước'' của <math>f</math>.
  
−
Trong trường hợp g = x − c với c là một số nào đó thì deg v < deg g = 1. Nếu deg v = 0 thì v là một số khác không. Nếu deg v < 0 thì v chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết
+
Trong trường hợp <math>g = x - c</math> với <math>c</math> là một số nào đó thì <math>\text{deg }v < \text{deg }g = 1</math>. Nếu <math>\text{deg }v = 0</math> thì <math>v</math> là một số khác không. Nếu <math>\text{deg }v < 0</math> thì <math>v</math> chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết
  
−
f = (x − c)h + v
+
:<math>f = (x - c)h + v</math>
  
−
với v là một số nào đó.
+
với <math>v</math> là một số nào đó.
  
−
Ta có thể coi mỗi đa thức f như một hàm số với
+
Ta có thể coi mỗi đa thức <math>f</math> như một hàm số với
  
−
f(c) = a0 + a1c + ... + ancn.
+
:<math>f(c) = a_0 + a_1c + ... + a_nc^n.</math>
  
−
Số c được gọi là nghiệm của f nếu f(c) = 0. Từ công thức f = (x − c)h + v ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của f.
+
Số <math>c</math> được gọi là nghiệm của <math>f</math> nếu <math>f(c) = 0</math>. Từ công thức <math>f = (x - c)h + v</math> ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của <math>f</math>.
  
−
Bổ đề. f(c) = 0 khi và chỉ khi f chia hết cho x − c.
+
'''Bổ đề.''' <math>f(c) = 0</math> khi và chỉ khi <math>f</math> chia hết cho <math>x - c</math>.
  
−
Nếu c là nghiệm của f thì ta có f = (x − c)h với deg h = deg f − 1. Người ta gọi số mũ s lớn nhất sao cho f chia hết cho (x − c)s là bội của nghiệm c, có nghĩa là f = (x − c)sh với h(c) 6= 0. Khi đó ta có thể coi f có s nghiệm c.
+
Nếu <math>c</math> là nghiệm của <math>f</math> thì ta có <math>f = (x - c)h</math> với <math>\text{deg }h = \text{deg }f - 1</math>. Người ta gọi số mũ <math>s</math> lớn nhất sao cho <math>f</math> chia hết cho <math>(x - c)s</math> là bội của nghiệm <math>c</math>, có nghĩa là <math>f = (x - c)sh</math> với <math>h(c) \ne 0</math>. Khi đó ta có thể coi <math>f</math> có <math>s</math> nghiệm <math>c</math>.
  
 
Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.
 
Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.
  
−
Định lý. Nếu deg f = n thì f có nhiều nhất n nghiệm.
+
'''Định lý.''' Nếu <math>\text{deg }f = n</math> thì <math>f</math> có nhiều nhất <math>f</math> nghiệm.
  
−
Ta gọi đa thức f là bất khả quy nếu f không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn deg f. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.
+
Ta gọi đa thức <math>f</math> là bất khả quy nếu <math>f</math> không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn <math>\text{deg }f</math>. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.
  
−
Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức x 2 − 2 là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì x2 − 2 chia hết cho x −√2.
+
Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức <math>x^2 - 2</math> là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì <math>x^2 - 2</math> chia hết cho <math>x - \sqrt{2}</math>.
  
−
Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành A có đơn vị. Khi đó, đa thức trên A là một biểu thức f có dạng
+
Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành <math>A</math> có đơn vị. Khi đó, đa thức trên <math>A</math> là một biểu thức <math>f</math> có dạng
  
−
f = a0 + a1x + ... + anxn,
+
:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>
  
−
trong đó x là biến số và a0, a1, ..., an ∈ A. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.
+
trong đó <math>x</math> là biến số và <math>a_0, a_1, ..., a_n \in A</math>. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.
  
−
Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên A với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên A lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên A, ký hiệu là A[x].
+
Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên <math>A</math> với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên <math>A</math> lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên <math>A</math>, ký hiệu là <math>A[x]</math>.
  
−
Ta gọi đa thức f là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của f là phần tử nghịch đảo trong A. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:
+
Ta gọi đa thức <math>f</math> là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của <math>f</math> là phần tử nghịch đảo trong <math>A</math>. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:
  
−
Bổ đề. Cho g ∈ A[x] là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức f ∈ A[x] dưới dạng
+
'''Bổ đề.''' Cho <math>g \in A[x]</math> là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức <math>f \in A[x]</math> dưới dạng
  
−
f = gh + v
+
:<math>f = gh + v</math>
  
−
với h, v ∈ A[x] và deg v < deg g. Các đa thức h và v được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.
+
với <math>h, v \in A[x]</math> và <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.
  
−
Chú ý rằng nếu A là một trường thì mọi đa thức g ∈ A[x] đều có thể viết dưới dạng g = ag1, trong đó a là hệ số đầu của g và g1 là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi g1 là đa thức chuẩn hoá của g. Ta có thể chia f cho g bằng cách chia f cho g1. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức g 6= 0 nếu A là một trường.
+
Chú ý rằng nếu <math>A</math> là một trường thì mọi đa thức <math>g \in A[x]</math> đều có thể viết dưới dạng <math>g = ag_1</math>, trong đó <math>a</math> là hệ số đầu của <math>g</math> và <math>g_1</math> là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi <math>g_1</math> là đa thức chuẩn hoá của <math>g</math>. Ta có thể chia <math>f</math> cho <math>g</math> bằng cách chia <math>f</math> cho <math>g_1</math>. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức <math>g \ne 0</math> nếu <math>A</math> là một trường.
  
−
Ta gọi đa thức f là bất khả quy trong A[x] nếu f không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn deg f trong A[x]. Nếu A là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức f ∈ A[x] thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.
+
Ta gọi đa thức <math>f</math> là ''bất khả quy'' trong <math>A[x]</math> nếu <math>f</math> không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn <math>\text{deg }f</math> trong <math>A[x]</math>. Nếu <math>A</math> là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức <math>f \in A[x]</math> thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.
  
−
Đa thức n biến trên A là một biểu thức f có dạng
+
Đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math> là một biểu thức <math>f</math> có dạng
  
−
f = Xr1+···+rn≤rcr1,...,rn xr11· · · xrnn,
+
:<math>f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},</math>
  
−
trong đó x1, ..., xn là các biến số và cr1,...,rn ∈ A với mọi bộ số nguyên r1, ..., rn ≥ 0 thoả mãn r1 + · · · + rn ≤ r với r ≥ 0 là một số nguyên cho trước. Các phần tử cr1,...,rn được gọi là hệ số của f. Các thành phần cr1,...,rn x r1 1 · · · x rn n được gọi là các hạng tử của f. Người ta hay dùng ký hiệu f(x1, ..., xn) thay cho f để chỉ f là đa thức của các biến x1, ..., xn. Các biểu thức x r1 1 · · · x rn n được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức x r1 1 · · · x rn n là tổng r1 + · · · + rn của các số mũ. Nếu r1 = · · · = rn = 0 thì x r1 1 · · · x rn n = 1. Ta quy định bậc của 1 là −∞. Bậc của đa thức f 6= 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của f. Ta ký hiệu bậc của f với deg f. Chú ý rằng deg f ≤ 0 khi và chỉ khi f ∈ A.
+
trong đó <math>x_1, ..., x_n</math> là các biến số và <math>c_{r_1, ..., r_n} \in A</math> với mọi bộ số nguyên <math>r_1, ..., r_n \ge 0</math> thoả mãn <math>r_1 + ... + r_n \le r</math> với <math>r \ge 0</math> là một số nguyên cho trước. Các phần tử <math>c_{r_1, ..., r_n}</math> được gọi là hệ số của <math>f</math>. Các thành phần <math>c_{r_1, ..., r_n}x_1^{r_1} ... x_n^{r_n}</math> được gọi là các ''hạng tử'' của <math>f</math>. Người ta hay dùng ký hiệu <math>f(x_1, ..., x_n)</math> thay cho <math>f</math> để chỉ <math>f</math> là đa thức của các biến <math>x_1, ..., x_n</math>.  
  
−
Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng
+
Các biểu thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> được gọi là ''đơn thức''. Bậc của đơn thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> là tổng <math>r_1 + ... + r_n</math> của các số mũ. Nếu <math>r_1 = ... = r_n = 0</math> thì <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n} = 1</math>. Ta quy định bậc của 1 là <math>-\infty</math>. Bậc của đa thức <math>f \ne 0</math> là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của <math>f</math>. Ta ký hiệu bậc của <math>f</math> với <math>\text{deg }f</math>. Chú ý rằng <math>\text{deg }f \le 0</math> khi và chỉ khi <math>f \in A</math>.
  
−
f = c0,0 + c10x1 + c01x2 + · · · + c1,r−1x1xr−12 + c0,rxr2.
+
Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là ''thứ tự từ điển'' coi <math>x_1, ..., x_n</math> như những chữ cái và đơn thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> như một chữ bao gồm <math>r_1</math> chữ cái <math>x_1, ..., r_n</math> chữ cái <math>x_n</math>. Như vậy, <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> sẽ đứng trước <math>x_1^{s_1}, ..., x_n^{s_n}</math> nếu <math>r_1 < s_1</math> hay <math>r_1 = s_1</math> nhưng <math>s_2 < r_2</math>, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi <math>1 < x_1 < x_2 < x^2_1 < x_1x_2 < x^2_2 < ... < x_1 x_2^{r-1} < x^r_2</math>. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc <math>r</math> dưới dạng
  
−
Nếu ta coi x1, ..., xn như các phần tử trong A thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức n biến trên A. Tập các đa thức n biến trên A được gọi vành đa thức n biến trên A, ký hiệu là A[x1, ..., xn]. Ta có thể coi A[x1, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành đa thức (n − 1) biến A[x1, ..., xn−1], có nghĩa là
+
:<math>f = c_{0,0} + c_{10}x_1 + c_{01}x_2 + ... + c_{1,r-1} x_1 x^{r-1}_2 + c_{0,r} x^r_2. </math>
 +
     
 +
Nếu ta coi <math>x_1, ..., x_n</math> như các phần tử trong <math>A</math> thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math>. Tập các đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math> được gọi vành đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math>, ký hiệu là <math>A[x_1, ..., x_n]</math>. Ta có thể coi <math>A[x_1, ..., x_n]</math> là vành đa thức của biến <math>x_n</math> trên vành đa thức <math>(n - 1)</math> biến <math>A[x_1, ..., x_{n-1}]</math>, có nghĩa là
  
−
A[x1, ..., xn] := A[x1, ..., xn−1][xn].
+
:<math>A[x_1, ..., x_n] := A[x_1, ..., x_{n-1}][x_n].</math>
  
 
Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.
 
Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.
  
−
Với mọi a = (α1, ..., αn) ∈ An ta ứng với đa thức f ở trên một phần tử f(a) ∈ A như sau:  
+
Với mọi <math>a = (\alpha_1, ..., \alpha_n) \in A^n</math> ta ứng với đa thức <math>f</math> ở trên một phần tử <math>f(a) \in A</math> như sau:  
  
−
f(a) = X r1+···+rn≤r cr1,...,rn α r1 1 · · · α rn n.
+
:<math>f(a) = \sum_{r_1 + ... + r_n \le r}  c_{r_1, ...,r_n} \alpha ^{r_1}_1 ... \alpha ^{r_n}_n.</math>
  
−
Nếu f(a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f. Ta có thể coi f là một hàm từ An vào A và tập nghiệm của f như là một hình hình học trong An. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.
+
Nếu <math>f(a) = 0</math> thì ta gọi <math>a</math> là nghiệm của <math>f</math>. Ta có thể coi <math>f</math> là một hàm từ <math>A^n</math> vào <math>A</math> và tập nghiệm của <math>f</math> như là một hình hình học trong <math>A^n</math>. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.
  
−
Đa thức f được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của f đều có cùng bậc. Ví dụ như a1x1+· · ·+anxn là đa thức thuần nhất. Nếu a = (α1, ..., αn) là nghiệm của đa thức thuần nhất f thì λa = (λα1, ..., λαn) cũng là nghiệm của f. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc (0, ..., 0) của An.  
+
Đa thức <math>f</math> được gọi là ''thuần nhất'' nếu mọi hạng tử khác không của <math>f</math> đều có cùng bậc. Ví dụ như <math>a_1x_1 + ... + a_nx_n</math> là đa thức thuần nhất. Nếu <math>a = (\alpha_1, ..., \alpha_n)</math> là nghiệm của đa thức thuần nhất <math>f</math> thì <math>\lambda a = \lambda \alpha_1, ..., \lambda \alpha_n</math> cũng là nghiệm của <math>f</math>. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc <math>(0, ..., 0)</math> của <math>A^n</math>.  
  
−
Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.
+
Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của ''hình học xạ ảnh'' coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.

Bản hiện tại lúc 14:19, ngày 20 tháng 4 năm 2021

Đa thức là một biểu thức có dạng

trong đó là biến số và là những số cho trước, là đa thức. Người ta hay dùng ký hiệu thay cho để chỉ là đa thức của biến .

Các thành phần được gọi là các hạng tử của . Với mọi = 0, 1, ..., , số được gọi là hệ số của trong . Nếu thì n được gọi là bậc của , ký hiệu là . Khi đó, ta gọi là hệ số đầu của .

Nếu thì ta gọi là đa thức không, ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định theo nghĩa nhỏ hơn với mọi . Nếu thì là một số. Nếu thì được gọi là một đa thức tuyến tính.

Nếu ta coi như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

là một đa thức khác với thì

trong đó với mọi . Ta cũng dễ dàng thấy

Ta không có phép chia hai đa thức vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức sao cho . Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia cho theo nghĩa sau:

Bổ đề. Cho và là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức và sao cho

với . Các đa thức và được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.

Ta gọi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h} là thương là phần dư của phép chia cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Điều kiện Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg } v < \text{deg } g} tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.

Ta có thể xác định và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} theo thuật toán sau. Đặt = deg f và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle m = \text{deg } g} . Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n < m} thì ta đặt Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h = 0} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v = f} . Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu thì ta xét đa thức

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,}

trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} và là hệ số đầu của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} và . Rõ ràng là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có thể viết dưới dạng nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_1} có thể viết dưới dạng với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg } g} . Ta tiếp tục quá trình trên với và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Do Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f_1 < m = \text{deg }g} nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle i} nào đó, có nghĩa là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_i} có thể viết dưới dạng với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g} . Từ đây suy ra có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle gh + v} gh + v với . Thuật toán trên đây được gọi là thuật toán Ơclit.

Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = gh} hay là thì ta nói chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} hay Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} là ước của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} .

Trong trường hợp Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g = x - c} với là một số nào đó thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g = 1} . Nếu thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} là một số khác không. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < 0} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)h + v}

với là một số nào đó.

Ta có thể coi mỗi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} như một hàm số với

Số Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} được gọi là nghiệm của nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(c) = 0} . Từ công thức ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} .

Bổ đề. Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(c) = 0} khi và chỉ khi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x - c} .

Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} là nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} thì ta có Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)h} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }h = \text{deg }f - 1} . Người ta gọi số mũ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s} lớn nhất sao cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (x - c)s} là bội của nghiệm Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} , có nghĩa là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)sh} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h(c) \ne 0} . Khi đó ta có thể coi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s} nghiệm Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} .

Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.

Định lý. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f = n} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có nhiều nhất Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} nghiệm.

Ta gọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là bất khả quy nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} . Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.

Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x^2 - 2} là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x^2 - 2} chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x - \sqrt{2}} .

Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} có đơn vị. Khi đó, đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một biểu thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,}

trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} là biến số và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_0, a_1, ..., a_n \in A} . Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.

Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} , ký hiệu là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} .

Ta gọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là phần tử nghịch đảo trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} . Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:

Bổ đề. Cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g \in A[x]} là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \in A[x]} dưới dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = gh + v}

với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h, v \in A[x]} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g} . Các đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.

Chú ý rằng nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một trường thì mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g \in A[x]} đều có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g = ag_1} , trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} là hệ số đầu của và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g_1} là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi là đa thức chuẩn hoá của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Ta có thể chia cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} bằng cách chia Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g_1} . Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g \ne 0} nếu là một trường.

Ta gọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là bất khả quy trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} . Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

Đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} biến trên là một biểu thức có dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},}

trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., x_n} là các biến số và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c_{r_1, ..., r_n} \in A} với mọi bộ số nguyên thoả mãn Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 + ... + r_n \le r} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r \ge 0} là một số nguyên cho trước. Các phần tử Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c_{r_1, ..., r_n}} được gọi là hệ số của . Các thành phần Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c_{r_1, ..., r_n}x_1^{r_1} ... x_n^{r_n}} được gọi là các hạng tử của . Người ta hay dùng ký hiệu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(x_1, ..., x_n)} thay cho để chỉ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là đa thức của các biến Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., x_n} .

Các biểu thức được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}} là tổng của các số mũ. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 = ... = r_n = 0} thì . Ta quy định bậc của 1 là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle -\infty} . Bậc của đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \ne 0} là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Ta ký hiệu bậc của với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} . Chú ý rằng khi và chỉ khi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \in A} .

Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., x_n} như những chữ cái và đơn thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}} như một chữ bao gồm Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1} chữ cái Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., r_n} chữ cái Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_n} . Như vậy, sẽ đứng trước Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{s_1}, ..., x_n^{s_n}} nếu hay Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 = s_1} nhưng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s_2 < r_2} , v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi . Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r} dưới dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = c_{0,0} + c_{10}x_1 + c_{01}x_2 + ... + c_{1,r-1} x_1 x^{r-1}_2 + c_{0,r} x^r_2. }

Nếu ta coi như các phần tử trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức biến trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} . Tập các đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} biến trên được gọi vành đa thức biến trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} , ký hiệu là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x_1, ..., x_n]} . Ta có thể coi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x_1, ..., x_n]} là vành đa thức của biến trên vành đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (n - 1)} biến Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x_1, ..., x_{n-1}]} , có nghĩa là

Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.

Với mọi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a = (\alpha_1, ..., \alpha_n) \in A^n} ta ứng với đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} ở trên một phần tử Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(a) \in A} như sau:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(a) = \sum_{r_1 + ... + r_n \le r} c_{r_1, ...,r_n} \alpha ^{r_1}_1 ... \alpha ^{r_n}_n.}

Nếu thì ta gọi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} là nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Ta có thể coi là một hàm từ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A^n} vào Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} và tập nghiệm của như là một hình hình học trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A^n} . Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.

Đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} đều có cùng bậc. Ví dụ như Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_1x_1 + ... + a_nx_n} là đa thức thuần nhất. Nếu là nghiệm của đa thức thuần nhất Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} thì cũng là nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (0, ..., 0)} của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A^n} .

Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.

Lấy từ “https://bktt.vn/index.php?title=Đa_thức&oldid=13531”