Chuỗi điều hòa

Trong toán học, chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn nghịch đảo của các số nguyên dương:

$s=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .$

Chuỗi này được biết là phân kỳ, với $S_{n}$ là tổng $n$ số hạng đầu hay tổng riêng thứ $n$:

$s=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\infty .$

Khi càng thêm nhiều số hạng thì tổng riêng của chuỗi sẽ tăng tiến không giới hạn, đây là đặc điểm thú vị bởi nếu nhìn vào các số hạng thì chúng ngày càng nhỏ dần đến 0, gợi suy nghĩ rằng chuỗi hội tụ. Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ, bởi nếu chuỗi không tiến đến một giá trị hữu hạn khi không ngừng tiếp nhận thêm số hạng, nó sẽ phân kỳ. Tính phân kỳ của chuỗi điều hòa được Nicole Oresme chứng minh vào thế kỷ 14 bằng một kiểu phép thử rút gọn Cauchy cho trường hợp đặc biệt. Cách chứng minh phổ biến khác là so sánh tổng với một tích phân suy rộng.

Chuỗi điều hòa có dạng tổng quát là hàm zeta Riemann, đạt được khi $x=1$:

$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots .$

Chứng minh sự phân kỳ

Có nhiều cách để chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ, dưới đây là hai phương pháp phổ biến nhất.

Thử so sánh

Chứng minh sau là của Nicole Oresme có từ khoảng năm 1350. Gọi $S_{n}$ là tổng $n$ số hạng đầu, để ý thấy:

${\begin{aligned}S_{2}&=1+{\frac {1}{2}}>{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1\\S_{4}&=S_{2}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}>1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}\\S_{8}&=S_{4}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}>{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}=2.\\\end{aligned}}$

Cứ tiếp tục như vậy ta thấy rằng $S_{2^{n}}>{\frac {n+1}{2}}$. Vì vế phải của bất đẳng thức này tiến đến vô cùng, do đó chuỗi điều hòa phân kỳ. Cách trình bày khác dễ hiểu hơn:

${\begin{aligned}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\{}>{}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{4}}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{8}}}+{\frac {1}{\color {red}{8}}}+{\frac {1}{\color {red}{8}}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{16}}}+\cdots \\{}={}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}$

Chuỗi được đem so sánh phân kỳ, và vì mỗi số hạng của chuỗi điều hòa đều lớn hơn hoặc bằng số hạng tương ứng của chuỗi này, do đó chuỗi điều hòa cũng phân kỳ.

Thử tích phân

Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol $y=1/x$ đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.

Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao $1/n$ đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong $y=1/x$ hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi $x$ từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .$

Vì tích phân này không hội tụ, do đó chuỗi điều hòa phân kỳ. Đây là phép thử hội tụ bằng tích phân; hàm lấy tích phân thỏa mãn điều kiện dương, liên tục, đơn điệu giảm dần.

Tổng riêng và số điều hòa

Cộng $n$ số hạng đầu của chuỗi điều hòa cho ra tổng riêng, được gọi số điều hòa và ký hiệu là $H_{n}$:

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.$

Giá trị của $H_{n}$ xấp xỉ $\ln n+\gamma$, hay $H_{n}-\ln n$ hội tụ về hằng số Euler–Mascheroni $\gamma \approx 0,577$. Giới hạn cho $H_{n}$:

$\ln n+\gamma \leq H_{n}\leq \ln n+\gamma +{\frac {1}{n}}.$

Ví dụ với $H_{100}$, hai biên (được làm tròn) là 5,18238 và 5,19239. Vận dụng tính lồi của $1/x$, khoảng biên có thể được thắt chặt hơn:

$\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n+1}}\leq H_{n}\leq \ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}.$

Chênh lệch giữa cận trên và dưới giờ là $1/[2n(2n+1)]$, cặp biên cho $H_{100}$ là 5,187361 và 5,187386. Phép xấp xỉ sau cho kết quả chính xác hơn nhiều:

$H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+r_{n}$ với $0\leq r_{n}\leq {\frac {1}{120n^{4}}},$

nó cho $H_{100}$ đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.

Một số ví dụ về đồng nhất thức chứa $H_{n}$:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}$ (Euler tìm ra năm 1775)

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{H_{n}}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{4}}\zeta (4)={\frac {17\pi ^{4}}{360}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{H_{n}}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{4}}\zeta (4)={\frac {11\pi ^{4}}{360}}$

Tham khảo

Tài liệu tham khảo

• Weisstein, Eric W. (2003), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (lxb. 2), Chapman and Hall/CRC, ISBN 1-58488-347-2
• Bonar, Daniel D.; Jr., Michael J. Khoury (2018), Real Infinite Series, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4782-3
• Mortimer, Robert G. (2013), "Mathematical Series", Mathematics for Physical Chemistry, Elsevier, ISBN 978-0-12-415809-2