Chuỗi điều hòa

Trong toán học, chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn nghịch đảo của các số nguyên dương:

$s=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .$

Chuỗi này được biết là phân kỳ, với $S_{n}$ là tổng n số hạng đầu hay tổng riêng thứ n:

$s=\lim _{n\to \infty }S_{n}=\infty .$

Khi càng thêm nhiều số hạng thì tổng riêng của chuỗi sẽ tăng tiến không giới hạn, đây là đặc điểm thú vị bởi nếu nhìn vào các số hạng thì chúng ngày càng nhỏ dần đến 0, gợi suy nghĩ rằng chuỗi hội tụ. Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ, bởi nếu chuỗi không tiến đến một giá trị hữu hạn khi không ngừng tiếp nhận thêm số hạng, nó sẽ phân kỳ. Tính phân kỳ của chuỗi điều hòa được Nicole Oresme chứng minh vào thế kỷ 14 bằng một kiểu phép thử rút gọn Cauchy cho trường hợp đặc biệt. Cách chứng minh phổ biến khác là so sánh tổng với một tích phân suy rộng.

Chuỗi điều hòa có dạng tổng quát là hàm zeta Riemann, đạt được khi $x=1$:

$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots .$

Chứng minh sự phân kỳ

Thử so sánh

Chứng minh dưới đây là của Nicole Oresme có từ khoảng năm 1350. Gọi $S_{n}$ là tổng n số hạng đầu, để ý thấy:

${\begin{aligned}S_{2}&=1+{\frac {1}{2}}>{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1\\S_{4}&=S_{2}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}>1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}\\S_{8}&=S_{4}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}>{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}=2.\\\end{aligned}}$

Cứ tiếp tục như vậy ta thấy rằng $S_{2^{n}}>{\frac {n+1}{2}}$. Vì vế phải của bất đẳng thức này tiến đến vô cùng, do đó chuỗi điều hòa phân kỳ. Cách trình bày khác dễ hiểu hơn:

${\begin{aligned}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\{}>{}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{4}}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{8}}}+{\frac {1}{\color {red}{8}}}+{\frac {1}{\color {red}{8}}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{16}}}+\cdots \\{}={}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}$

Chuỗi trên phân kỳ, và vì mỗi số hạng của chuỗi điều hòa đều lớn hơn hoặc bằng số hạng tương ứng của chuỗi này, do đó chuỗi điều hòa cũng phân kỳ.

Thử tích phân

Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol $y=1/x$ đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.

Tham khảo

Tài liệu tham khảo

• Weisstein, Eric W. (2003), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (lxb. 2), Chapman and Hall/CRC, ISBN 1-58488-347-2
• Bonar, Daniel D.; Jr., Michael J. Khoury (2018), Real Infinite Series, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4782-3
• Mortimer, Robert G. (2013), "Mathematical Series", Mathematics for Physical Chemistry, Elsevier, ISBN 978-0-12-415809-2