Khác biệt giữa các bản “Chuỗi điều hòa”
| Dòng 8: | Dòng 8: | ||
<math>s = \lim_{n \to \infty}S_n = \infty.</math> | <math>s = \lim_{n \to \infty}S_n = \infty.</math> | ||
| − | Khi càng thêm nhiều số hạng thì tổng riêng của chuỗi sẽ tăng tiến không giới hạn, đây là đặc điểm thú vị bởi nếu nhìn vào các số hạng thì chúng ngày càng nhỏ dần đến 0, tức chuỗi dường như hội tụ.{{sfn|Mortimer|2013|p=121}} Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ, bởi nếu chuỗi không tiến đến một giá trị hữu hạn khi không ngừng tiếp nhận thêm số hạng, nó sẽ phân kỳ.{{sfn|Mortimer|2013|p=121}} Tính phân kỳ của chuỗi điều hòa được [[Nicole Oresme]] chứng minh vào thế kỷ 14 bằng một kiểu phép thử rút gọn Cauchy cho trường hợp đặc biệt.<ref name="Kullman">{{cite journal | last1 = Kullman | first1 = David E. | title = What's Harmonic about the Harmonic Series? | journal = The College Mathematics Journal | date = May 2001 | volume = 32 | issue = 3 | page = 201 | doi = 10.2307/2687471 | jstor = 2687471}}</ref>{{sfn|Bonar|Jr.|2018|p=66}} Cách chứng minh phổ biến khác là so sánh tổng với một tích phân suy rộng.<ref name="Kifowit">{{cite journal | journal = AMATYC Review | title = The Harmonic Series Diverges Again and Again | volume = 27 | issue = 2 | pages = 31–43 | last = Kifowit | first = Steven J. | last2 = Stamps | first2 = Terra A. | date = 2006 | publisher = American Mathematical Association of Two-Year Colleges | url = https://scipp.ucsc.edu/~haber/archives/physics116A10/harmapa.pdf | s2cid = 14395677}}</ref> | + | Khi càng thêm nhiều số hạng thì tổng riêng của chuỗi sẽ tăng tiến không giới hạn, đây là đặc điểm thú vị bởi nếu nhìn vào các số hạng thì chúng ngày càng nhỏ dần đến 0, tức chuỗi dường như hội tụ.{{sfn|Mortimer|2013|p=121}} Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ, bởi nếu chuỗi không tiến đến một giá trị hữu hạn khi không ngừng tiếp nhận thêm số hạng, nó sẽ phân kỳ.{{sfn|Mortimer|2013|p=121}} Tính phân kỳ của chuỗi điều hòa được [[Nicole Oresme]] chứng minh vào thế kỷ 14 bằng một kiểu phép thử rút gọn Cauchy cho trường hợp đặc biệt.<ref name="Kullman">{{cite journal | last1 = Kullman | first1 = David E. | title = What's Harmonic about the Harmonic Series? | journal = The College Mathematics Journal | date = May 2001 | volume = 32 | issue = 3 | page = 201 | doi = 10.2307/2687471 | jstor = 2687471}}</ref>{{sfn|Bonar|Jr.|2018|p=66}} Cách chứng minh phổ biến khác là so sánh tổng với một [[tích phân suy rộng]].<ref name="Kifowit">{{cite journal | journal = AMATYC Review | title = The Harmonic Series Diverges Again and Again | volume = 27 | issue = 2 | pages = 31–43 | last = Kifowit | first = Steven J. | last2 = Stamps | first2 = Terra A. | date = 2006 | publisher = American Mathematical Association of Two-Year Colleges | url = https://scipp.ucsc.edu/~haber/archives/physics116A10/harmapa.pdf | s2cid = 14395677}}</ref> |
| + | |||
| + | Với dạng tổng quát là [[hàm zeta Riemann]], ta được chuỗi điều hòa khi <math>x=1</math>:{{sfn|Weisstein|2003|p=1308}} | ||
| + | |||
| + | <math>\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}=\frac1{1^x}+\frac1{2^x}+\frac1{3^x}+\cdots.</math> | ||
== Tham khảo == | == Tham khảo == | ||
| Dòng 14: | Dòng 18: | ||
=== Tài liệu tham khảo === | === Tài liệu tham khảo === | ||
| − | *{{cite book | last = Weisstein | first = Eric W. | title = CRC Concise Encyclopedia of Mathematics | edition = 2 | publisher = Chapman and Hall/CRC | date = | + | *{{cite book | last = Weisstein | first = Eric W. | title = CRC Concise Encyclopedia of Mathematics | edition = 2 | publisher = Chapman and Hall/CRC | date = 2002 | isbn = 1-58488-347-2}} |
*{{cite book | last = Bonar | first = Daniel D. | last2 = Jr. | first2 = Michael J. Khoury | title = Real Infinite Series | publisher = American Mathematical Society | date = 2018 | isbn = 978-1-4704-4782-3}} | *{{cite book | last = Bonar | first = Daniel D. | last2 = Jr. | first2 = Michael J. Khoury | title = Real Infinite Series | publisher = American Mathematical Society | date = 2018 | isbn = 978-1-4704-4782-3}} | ||
*{{cite book | last = Mortimer | first = Robert G. | title = Mathematics for Physical Chemistry | chapter = Mathematical Series | publisher = Elsevier | date = 2013 | chapter-url = https://doi.org/10.1016/B978-0-12-415809-2.00010-0 | isbn = 978-0-12-415809-2}} | *{{cite book | last = Mortimer | first = Robert G. | title = Mathematics for Physical Chemistry | chapter = Mathematical Series | publisher = Elsevier | date = 2013 | chapter-url = https://doi.org/10.1016/B978-0-12-415809-2.00010-0 | isbn = 978-0-12-415809-2}} | ||
Phiên bản lúc 10:49, ngày 3 tháng 11 năm 2023
Trong toán học, chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn nghịch đảo của các số nguyên dương:[1]
Chuỗi này được biết là phân kỳ, với là tổng n số hạng đầu hay tổng riêng thứ n:[2]
Khi càng thêm nhiều số hạng thì tổng riêng của chuỗi sẽ tăng tiến không giới hạn, đây là đặc điểm thú vị bởi nếu nhìn vào các số hạng thì chúng ngày càng nhỏ dần đến 0, tức chuỗi dường như hội tụ.[2] Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ, bởi nếu chuỗi không tiến đến một giá trị hữu hạn khi không ngừng tiếp nhận thêm số hạng, nó sẽ phân kỳ.[2] Tính phân kỳ của chuỗi điều hòa được Nicole Oresme chứng minh vào thế kỷ 14 bằng một kiểu phép thử rút gọn Cauchy cho trường hợp đặc biệt.[3][4] Cách chứng minh phổ biến khác là so sánh tổng với một tích phân suy rộng.[5]
Với dạng tổng quát là hàm zeta Riemann, ta được chuỗi điều hòa khi :[6]
Tham khảo
- ↑ Bonar & Jr. 2018, tr. 65.
- ↑ a b c Mortimer 2013, tr. 121.
- ↑ Kullman, David E. (tháng 5 năm 2001), "What's Harmonic about the Harmonic Series?", The College Mathematics Journal, 32 (3): 201, doi:10.2307/2687471, JSTOR 2687471
- ↑ Bonar & Jr. 2018, tr. 66.
- ↑ Kifowit, Steven J.; Stamps, Terra A. (2006), "The Harmonic Series Diverges Again and Again" (PDF), AMATYC Review, American Mathematical Association of Two-Year Colleges, 27 (2): 31–43, S2CID 14395677
- ↑ Weisstein 2003, tr. 1308.
Tài liệu tham khảo
- Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (lxb. 2), Chapman and Hall/CRC, ISBN 1-58488-347-2
- Bonar, Daniel D.; Jr., Michael J. Khoury (2018), Real Infinite Series, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4782-3
- Mortimer, Robert G. (2013), "Mathematical Series", Mathematics for Physical Chemistry, Elsevier, ISBN 978-0-12-415809-2
