Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số cần tìm, đạo hàm các cấp của nó và các biến số độc lập. Lý thuyết phương trình vi phân xuất hiện vào cuối thế kỷ 17 do những đòi hỏi của cơ học, hình học và một số ngành khoa học tự nhiên. Thuật ngữ "phương trình vi phân" do Gottfried Leibniz đề xuất vào năm 1676 (xuất bản năm 1684). Các phương trình vi phân đơn giản nhất xuất hiện trong các công trình của Isaac Newton và Gottfried Leibniz. Newton khi sáng tạo ra phép tính vi phân và tích phân đã đề ra hai bài toán: từ mối liên hệ giữa các hàm số, hãy xác định mối liên hệ giữa các đạo hàm; từ phương trình chứa đạo hàm tìm mối liên hệ giữa hàm số. Đây chính là bài toán tìm đạo hàm của hàm số và bài toán giải phương trình vi phân. Phương trình vi phân có hai loại: phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng (hai phương trình đạo hàm riêng). Phương trình vi phân thường là phương trình chứa đạo hàm của một hay nhiều hàm số cùng một biến số. Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình chứa các đạo hàm riêng của các hàm số nhiều biến số. Nhiều bài toán của khoa học tự nhiên và công nghệ, cơ học, thiên văn, vật lý, cũng như của kinh tế, hóa học và sinh học dẫn đến nghiên cứu các phương trình vi phân. Phương trình vi phân mô tả các quy luật của quá trình mà ta đang xem xét. Một ví dụ đơn giản đó là Định luật 2 Newton của chuyển động về mối liên hệ giữa dịch chuyển x theo thời gian t của một vật thể có khối lượng m dưới tác động của lực F có thể mô tả bằng phương trình vi phân thường

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=F.$

(1)

Các tính toán của mạch phát quang, quỹ đạo của vệ tinh, chuyển động của các hành tinh, một số phản ứng hóa học, hay lý thuyết giao động ... đều dẫn đến phương trình vi phân thường.

Ta ký hiệu tham số không phụ thuộc là t, các hàm số của biến t chưa biết là x, y, z... và các đạo hàm theo t là x0, x00, ....x(n), ... Để ý rằng, ta cũng thường dùng các ký hiệu khác đề thay thế, ví dụ như ký hiệu theo Leibniz dx/dt, d²x/dt², ..., dⁿx/dtⁿ, ...,hoặc x, x, x cho các đạo hàm bậc thấp theo kiểu Newton.

Giả sử biến thời gian t thay đổi trên đoạn I ∈ R, hàm số f xác định trên một tập con D của Rⁿ⁺¹, khi đó phương trình dạng

$x^{(n)}=f(t,x,x',...,x^{(n-1)}$

(2)

với x(t) là ẩn số được gọi là phương trình vi phân thường dạng hiển bậc n. Bài toán Cauchy cho phương trình (2) là bài toán tìm lời giải thỏa mãn điều kiện ban đầu

$x(t_{0})=x_{0},x'(t_{0})=x_{1},...,x^{(n-1)}=x_{n},$

(3)

với (x0, x1, . . . , xn) ∈ Rn+1. Một trong những trường hợp riêng quan trọng của (2) là phương trình vi phân tuyến tính bậc n:

$x^{(n)}+a_{1}(t)x^{(n-1)}+...+a_{n-1}{\dot {x}}+a_{n}(t)x=f(t)$

(4)

Câu hỏi là khi nào bài toán Cauchy (2)–(3) có nghiệm, hay khi nào tồn tại hàm số x(t) khả vi liên tục n lần thỏa mãn phương trình (2) và điều kiện ban đầu (3). Bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất, nếu hàm f(t, u1, . . . , un) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo các biến u1, . . . , unvà (t0, x0, . . . , xn) ∈ D.

Tổng quát hơn, phương trình vi phân thường dạng ẩn bậc n có dạng:

$f(t,x,x',...,x^{(n)},x^{(n)})=0$

(5)

Các bài toán trong thực tế nhiều khi dẫn đến hệ phương trình vi phân thường chứa một số ẩn hàm của biến thời gian và các đạo hàm của chúng theo thời gian. Mở rộng trực tiếp của phương trình (2) là hệ phương trình

x˙i = fi(t, x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n, (6) ${\dot {x}}^{i}=f^{i}$

$f(t,x,x',...,x^{(n)},x^{(n)})=0$

(6)

ở đây x1, . . . , xnlà các ẩn hàm của biến thời gian t, còn fi, i = 1, . . . , n là cáchàm đã cho của các biến t, x1, . . . , xn. Bằng cách đặt

x = (x1, . . . , xn),f(x, x) = (f1(t, x), . . . , f n(t, x)),

ta có thể biểu diễn hệ phương trình trên qua dạng vector như sau

x˙ = f(t, x). (7)

Hàm vector

x = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), t ∈ I

là nghiệm của hệ phương trình (6) hay phương trình vector (7). Bài toán Cauchy cho hệ (7) là bài toán tìm lời giải của nó thỏa mãn điều kiện ban đầu

x1(t0) = x10, . . . , xn(t0) = xn0,

hay

x(t0) = x0. (8)

Một trong những trường hợp quan trọng nhất của hệ (7) là hê phương trình tuyến tính

x˙ = A(t)x + F(t), (9)

với A(t) là ma trận n × n.

Một trường hợp quan trọng khác của hệ phương trình vi phân thường đó là hệ phương trình vi phân thường không ô-tô-nôm:

x˙ = f(x), (10)

tức là hệ với vế phải không phụ thuộc hiển vào biến t.

Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường bậc cao không bao quát hết các bài toán trong thực tế của phương trình này, mà ta còn phải xét đến các bài toán biên, bài toán nhiều điểm cho phương trình. Một trong những bài toán đặt trưng đó là bài toán biên cho phương trình Sturm-Louiville, các bài toán biên tương tự thường xuất hiện trong bài toán giá trị riêng, hàm riêng, lý thuyết phổ của toán tử vi phân.

Hướng nghiên cứu đầu tiên liên quan đến phương trình vi phân thường đó là tìm lời giải của chúng dưới dạng đóng. Tuy nhiên, từ thế kỷ 19 người ta đã chỉ ra những ví dụ mà lời giải của những phương trình này không biểu diễn được dưới dạng đóng, và chỉ trong một số ít trường hợp ta mới có thể chỉ ra công thức nghiệm ở dạng đóng, như cho phương trình Bernoulli, phương trình vi phân với vi phân toàn phần, phương trình vi phân với hệ số hằng ... Mặc dù vậy, do yêu cầu của thực tế một số nghiên cứu dành cho các phương trình không giải được ở dạng hiển (như phương trình Bessel), các hàm đặc biệt đã ra đời, các tính chất của chúng được nghiên cứu, cũng như giá trị của chúng ở dạng bảng cũng được thiết lập. Mặt khác, cũng do như cầu của thực tế, một số phương pháp xấp xỉ (phương pháp số) đã được thiết lập để giải các phương trình vi phân thường, như phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp Adams, phương pháp RungeKutta, phương pháp sai phân...Mặc dù các phương pháp số cho ta được nghiệm gần đúng của phương trình, nhưng chúng không cho ta thấy được dáng điệu của nghiệm khi thời gian tiến ra vô cùng, cũng như không cho ta thấy bức tranh toàn cục của lời giải, tính tuần hoàn, hay giao động ... của lời giải. Lý thuyết định tính của phương trình vi phân thường do vậy đã ra đời vào cuối thế kỷ 19 và đang phát triển mạnh trong hiện tại. Vấn đề nền tảng đầu tiên của lý thuyết định tính phương trình vi phân thường là tính ổn định của nghiệm: liệu khi điều kiện ban đầu thay đổi nhỏ, nghiệm của phương trình có thay đổi nhỏ không? Khi t thay đổi trên một tập compact J của I và vế phải f(t, x) của (7) thỏa mãn điều kiện Lischitz theo x thì ta có tính ổn định của nghiệm, nghĩa là với mọi δ > 0 và với t0 ∈ J, ta có thể tìm được � > 0 sao cho lời giải x(t, t0, x∗0) của phương trình (7) với điều kiện ban đầu tại t0 bằng x∗0 xác định với t ∈ J khi |x∗ 0 − x0| < � thỏa mãn |x(t, t0, x0)−x(t, t0, x∗0)| < �. Nói một cách khác, trong đoạn compact một thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu dẫn đến một thay đổi nhỏ trong lời giải. Tuy nhiên, trong nhiều vấn đề của thực tế, ví dụ như trong lý thuyết điều khiển, khoảng thời gian ta xét không là khoảng compact (tức hữu hạn) mà khoảng vô hạn [t0,∞). Một thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu dẫn đến thay đổi nhỏ trong lời giải trên cả đoạn vô hạn [t0,∞) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov.

Phương trình (7) liên kết đạo hàm của lời giải tại thời điểm t với giá trị của nó tại chính thời điểm đó, tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, ảnh hưởng của quá trình đến ràng buộc của hệ thống không phải tức thời mà chậm hơn, để mô tả các quá trình này ta phải sử dụng phương trình vi phân có trễ:

x˙ = f(t, x(t − τ )). (11)

Đây là một hướng nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân thường.

Tài liệu tham khảo

• E. A. Coddington, N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.
• A. F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Sides, Kluwer, 1988.