Số pi là một số vô tỷ và đồng thời là một số siêu việt. Giá trị của số pi là tỷ lệ của chu vi đến đường kính của một đường tròn, thường được lấy gần đúng là 3,14.
Lịch sử
Khái niệm về số pi từ buổi đầu gắn liền với hình học và đặc biệt là với đường tròn. Đường tròn là một trong những đường kỷ hà thường được bắt gặp trong tự nhiên (hình dạng đóa hoa, bong bóng, mống mắt, v.v.) và các thiên thể thường có hình tròn như mặt trời, mặt trăng, cầu vồng, v.v. Các đối tượng này từ thuở sơ khai đã định hình sự đặc biệt của đường tròn đối với con người. Các nền văn minh, văn hóa trong lịch sử đã gắn liền đường tròn với thế giới siêu nhiên.
Thần Rê trong thần thoại Ai Cập cổ đại với biểu tượng mặt trời hình tròn
Hình ảnh mặt trời trong văn minh Lưỡng Hà
Các đường tròn đồng tâm trong hoa văn trên mặt trống đồng Đông Sơn từ văn hóa Đông Sơn
Với vai trò như vậy nên các đề cập về đường tròn trong các tài liệu cổ đã thể hiện sự hiểu biết nhất định về số pi.
Văn minh Lưỡng Hà
Một trong những đề cập đến số pi trong hình học sớm nhất là bài toán "Mở rộng một ngôi làng hình tròn", được ghi chép dưới dạng chữ Cunéiforme trên một tấm đất sét nung từ khu vực Lưỡng Hà vào khoảng năm 1600 TCN.
Bài toán được đặt ra như sau : "Một ngôi làng. Một đường tròn có chu vi mà tôi đo được là khoảng 60 đơn vị (cho bán kính r). Từ đường tròn này, tôi di chuyển ra xa với 5 đơn vị và tôi đào một cái hào chạy xung quanh (nghĩa là vẽ một đường tròn đồng tâm với bán kính r+5). Hào sâu 6 đơn vị. Rồi từ hào đó, tôi lại di chuyển ra xa thêm 5 đơn vị nữa, tôi xây một bức lũy (vẽ tiếp một đường tròn đồng tâm với bán kính r+10). Người ta hỏi độ cao, độ sâu của móng và chu vi của bức lũy".
Lời giải cho bài toán được ghi chép như sau : "Khi mà chu vi là một bộ 60 đơn vị (1 shush, người Lưỡng Hà dùng hệ lục thập phân), khoảng vượt (cg. đường kính) là bao nhiêu ? Một phần ba của 60, chu vi, giảm đi, ta thấy 20, 20 là khoảng vượt. 2 lần vòng tròn rộng thêm 5, ta thấy 10. 10 đến 20, khoảng vượt cộng thêm, ta thấy 30, đó là khoảng vượt. Gấp ba lần, ta thấy 1*30 (1 shush và 30 đơn vị, tức là 90 đơn vị), 1*30 là chu vi của lũy".
Cách đặt vấn đề và lời giải này là từ ghi chép rất cổ xưa, khi đó, văn phong và ngôn ngữ là còn chân phương dưới nhận thức hiện đại; tuy nhiên, điểm đặc biệt đáng chú ý là, khi chu vi là 60 thì đường kính sẽ là 1/3 của chu vi, là 20, rồi cộng 2 lần 5 đơn vị cho đường kính 20, được đường kính 30, sau đó lại nhân 3 lần để được chu vi của đường tròn lớn nhất. Điều này có thể được hiểu là, cư dân Lưỡng Hà có thể đã cho rằng tỷ lệ của chu vi đến đường kính của đường tròn là 3, trường hợp này đã được gặp trong nhiều ghi ghép khác. Nói thêm, 3 là tỷ lệ chính xác của chu vi đến đường kính trong trường hợp lục giác đều, người Lưỡng Hà có thể đã cho rằng diện tích hình tròn không lớn hơn diện tích lục giác đều nhiều, và một tấm đất sét nung được tìm thấy vào năm 1936 ở Suse, nước Iran, có niên đại vào khoảng năm 1680 TCN đã chỉ ra giá trị gần đúng hơn của tỷ lệ này là 3 cộng với 1/8 (3,125).
Văn minh Ai Cập cổ đại
Nền văn minh Ai Cập cổ đại cùng thời với văn minh Lưỡng Hà (bắt đầu vào khoảng năm 3100 TCN), cũng đã có những ghi chép về các bài toán có liên quan đến đường tròn trong các cuộn giấy cói (papyrus), đặc biệt là cuộn giấy cói Rhind (khoảng năm 1650 TCN). Trong đó có ghi chép về bài toán "Cánh đồng tròn với đường kính 9 khet".
Bài toán yêu cầu tính diện tích của một cánh đồng hình tròn với đường kính là 9 khet. Người Ai Cập cổ đại đã đưa ra cách giải như sau : Lấy ra 1/9 của đường kính, là 1. Phần còn lại là 8. Nhân 8 với 8, được 64. Vậy diện tích cánh đồng là 64 setat.
Thực chất, đây là một giải thuật (algorithme) tìm diện tích hơn là công thức bình phương bán kính nhân với một hằng số. Nhìn nhận giải thuật này dưới nhận thức toán học hiện đại, thấy rằng, nó tương đương với việc nhân bình phương của đường kính (D2) với bình phương của 8/9, hay còn là bình phương của bán kính (R2) với 256/81 (3,1604938272).
- Diện tích = 8×8 = 82 = 82×(9/9)2 = (8/9)2×D2 = (64/81)×D2 = (64/81)×(2×R)2 = (256/81)×R2 ≈ π×R2
Có thể hiểu, đằng sau giải thuật tìm diện tích hình tròn, người Ai Cập cổ đại đã có thể có ý thức về một hằng số. Có nhiều giả thuyết lý giải cho việc người Ai Cập cổ đại tìm ra tỷ lệ 256/81. Tỷ lệ này là một trong những cố gắng đầu tiên trong việc khám phá bản chất của số pi.
Văn minh lưu vực sông Ấn
Nền Văn minh lưu vực sông Ấn (khoảng năm 2600 TCN) cũng đã để lại những ghi chép có liên quan đến số pi, trong đó có tập hướng dẫn Śulba-Sūtras vào khoảng năm 700 TCN. Śulba-Sūtras (Śulba : sợi dây, Sūtras : quy tắc) là một tập hướng dẫn những quy cách xây dựng bệ thờ trong tôn giáo Védisme thời Ấn Độ cổ đại. Do đây là một tập hướng dẫn trong xây dựng hơn là một công trình nghiên cứu toán học nên nó chú trọng về tính xấp xỉ hơn là giá trị đúng của số pi, do đó giá trị của số pi thay đổi từ phương thức xây dựng này sang phương thức khác và thậm chí thay đổi trong cùng một phương thức. Tuy vậy, tập hướng dẫn này cũng đã có những áp dụng rất chính xác trong trường hợp số √2 và trong một số giải pháp hình học khác.
Về số pi, vẫn như các tài liệu cổ của các nền văn minh cùng thời, được ẩn chứa trong các giải thuật để giải quyết các vấn đề về hình học và được thể hiện với văn phong cổ đại. Đầu tiên kể đến là hướng dẫn "Độ dài một sợi tóc" : "1/5 của đường kính được cộng thêm 3 lần đường kính cho ra chu vi của đường tròn. Không còn thừa lại cho dù là độ dài một sợi tóc". Với hướng dẫn này, số pi đạt giá trị : 3 + 1/5 = 3,2, tuy vẫn còn khá xa giá trị thực của số pi nhưng khá hữu dụng trong công tác xây dựng. Một vài hướng dẫn khác có mang tính chất nghiên cứu như cách để chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn và cách ngược lại, tức là chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, phương pháp nhắc sau là một phiên bản của vấn đề "Cầu phương đường tròn" (tiếng Pháp : Quadrature du cercle).
- Chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn : văn bản ghi chép như sau "Nếu người ta muốn chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn, một sợi dây có độ dài là phân nửa của đường xiên đa giác hình vuông, dây được căn từ tâm sang bên phải. Cộng thêm 1/3 độ dài còn lại nằm ngoài đa giác hình vuông; đường tròn mong muốn đã có". Phương pháp được lý giải như sau : đa giác hình vuông ở đây có độ dài cạnh là 2, phân nửa đường xiên có giá trị là √2, bán kính của đường tròn cần tìm để cho diện tích của nó đạt 4 là 1 cộng với 1/3 của kết quả lấy căn 2 trừ 1. Số pi đạt được theo phương pháp này là xấp xỉ 3,0883. Thực tế, với giá trị đúng của π, diện tích hình tròn đạt gần 4.069.
- Chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông : phương pháp như sau "Để chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, đường kính được chia làm 8 phần bằng nhau; một phần trong số đó, sau khi được chia là 29 phần bằng nhau, được giảm đi 28 phần và sau đó, phần còn lại được tiếp tục giảm 1/6, đem trừ đi 1/8 của 1/6 đó". Phương pháp được hiểu như sau, gọi d là đường kính của đường tròn cho trước, cạnh của đa giác hình vuông với độ dài a sẽ theo công thức sau : a = d - d/8 + d/(8x29) - (d/(8x29))(1/6 - 1/(6x8)) = d x 9785/11136. Với phương pháp này số pi đạt xấp xỉ 3,0883. Thực tế, diện tích hình vuông chỉ đạt khoảng 98,3% của hình tròn. Cách dựng đa giác hình vuông có độ dài cạnh là độ dài AB bằng các đường tròn trong hình minh họa cũng chính là phương pháp được miêu tả trong Śulba-Sūtras.
Giá trị của số pi thể hiện sự đồng nhất đáng chú ý về mặt toán học của 2 phương pháp này, tuy rằng giá trị của số pi vẫn còn chưa thực sự chính xác.
Văn minh Hy Lạp cổ đại
Trước Archimède (khoảng thế kỷ thứ 3 TCN), tại thời điểm của Pythagore (khoảng thế kỷ thứ 6 TCN), các nghiên cứu về đường tròn xoay quanh tính chất hình học hơn là số học, đặc biệt là cách để chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông (cầu phương) . Một trong những tiếp cận sớm nhất đến nghiên cứu đường tròn theo hướng số học là "Phương pháp truy đến cùng" (tiếng Pháp : Méthode d'exhaustion) được cho là của Eudoxe de Cnide (khoảng thế kỷ thứ 4 TCN). Phương pháp này dùng các đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp một đường tròn, sau đó tăng dần số cạnh của đa giác đều. Tuy rằng, phương pháp này khá cồng kềnh nhưng vẫn tồn tại như là một phương pháp minh họa cách tiếp cận các đường cong cho đến khi bộ môn Vi tích phân ra đời (được ghi nhận vào khoảng thế kỷ 17). Những ứng dụng đầu tiên của "Phương pháp truy đến cùng" đã được sử dụng trong tác phẩm Cơ sở (tiếng Pháp : Éléments) của Euclide (khoảng thế kỷ thứ 4 - thứ 3 TCN), đặt biệt là trong việc chứng minh các tính chất số học của đường tròn.
Chỉ khi đến Archimède, với việc sử dụng phương pháp truy đến cùng với đa giác đều lên đến 96 cạnh, số pi mới thực sự được ghi nhận như là một hằng số toán học với mệnh đề thứ 3 trong tác phẩm "Đo lường đường tròn". Mệnh đề phát biểu : "Chu vi của một đường tròn bất kì thì bằng với ba lần đường kính cộng với một phần nhỏ của đường kính, phần này thì nhỏ hơn 1/7 của đường kính và lớn hơn 10/71 của đường kính đó", tức là :
3,1408 < 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 < 3,1429
Đến đây, tuy rằng giá trị số pi vẫn chưa được chỉ ra một cách chính xác, nhưng số pi đã được nhìn nhận như là một hằng số toán học. Với phát biểu này, Archimède được ghi nhận như là người đầu tiên định nghĩa số pi, và do đó, số pi còn được gọi là " hằng số Archimède".
Quá trình chinh phục số pi
Từ sau khi Archimède đưa ra định nghĩa về số pi, các thế hệ các nhà toán học trên khắp thế giới bắt đầu con đường chinh phục hằng số này, và quá trình vẫn còn tiếp diễn sau hơn 23 thế kỷ.
Các ứng dụng của phương pháp truy đến cùng
Phương pháp truy đến cùng trong một thời gian dài gần như là phương pháp duy nhất để tiếp cận số pi, và gần như được dùng trên khắp thế giới. Archimède đã đưa ra ước tính đầu tiên với đa giác đều lên đến 96 cạnh, sau khi nhân đôi số cạnh 4 lần liên tiếp từ một lục giác đều. Và từ đây, các chữ số thập phân của số pi tiếp tục được tìm ra chỉ với việc tăng số cạnh của đa giác đều : Vào năm 263, nhà toán học Lưu Huy của Trung Quốc đã đạt đến 4 chữ số thập phân của số pi với đa giác 3072 cạnh, π = 3,1416 = 3927/1250; hai thế kỷ sau, nhà toán học Trung Quốc Tổ Xung Chi đã tìm ra đến 7 chữ số thập phân chính xác của số pi, 3,1415926 < π < 3,1415927, để đạt đến độ chính xác này, tác giả có thể đã sử dụng phương pháp truy đến cùng cho đa giác lên đến 24.576 cạnh, và kết quả này đã giữ kỷ lục hơn 900 năm; năm 1424, Al Kashi, nhà toán học người Ba Tư đã tính toán đến chính xác 16 chữ số thập phân với đa giác khoảng 800.000 cạnh; vào năm 1593, tại Hà Lan, nhà toán học Adriaan van Roomen đạt được 15 chữ số thập phân (ứng với đa giác gần 1 triệu cạnh); năm 1609, nhà toán học Đức Ludolph van Ceulen đạt được 34 chữ số thập phân (ứng với đa giác hơn 500 tỷ cạnh). Những ví dụ này cho thấy việc dùng phương pháp truy đến cùng để tìm các chữ số thập phân của số pi thực sự không hiệu quả để tìm một số lượng lớn các chữ số thập phân của số pi.
Các công thức giải tích
Đến thế kỷ 17 - 18 với bộ môn vi tích phân, việc tính toán số pi đã chấm dứt với các phương pháp hình học và thay vào đó là sử dụng các công thức giải tích. Trong các công thức đó, kể đến là công thức cho số pi của Gottfried Wilhelm Leibniz :
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + ... + (-1)n/(2xn + 1) + ... (n là số tự nhiên) (1)
Công thức (1) được thấy là việc cộng dồn 4 vào mẫu số bắt đầu từ 1/1 (1/5, 1/9, 1/13,...) và tương tự cho -1/3 (-1/7, -1/11, -1/15,...). Và rằng, công thức này có thừa hưởng từ nhiều nghiên cứu toán học trước đó về các hàm lượng giác ngược.
Công thức số pi của Leibniz là một bước tiến toán học của thời kỳ với gợi ý về sự vô tận của các chữ số thập phân của số pi; và rằng, chúng vẫn có thể được lặp lại theo một quy luật nào đó và trở thành một số hữu tỷ vô hạn tuần hoàn, và sẽ biểu diễn được dưới dạng a/b (a,b là số nguyên, b khác 0). Tuy nhiên, vào năm 1761, nhà toán học Johann Lambert, người Thụy Sỹ, đã chứng minh rằng số pi là một số vô tỷ.
Một trong những vấn đề toán học nhận được nhiều quan tâm trong thời kì của Lambert là việc cầu phương đường tròn (tiếng Pháp : quadrature du cercle). Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã cố gắng tìm ra cách giải cho vấn đề này, sau đó họ sẽ gửi về các viện hàn lâm có uy tín trên thế giới để chứng nhận; nhiều đến mức viện Hàn lâm Khoa học Paris đã công bố không nhận kiểm chứng thêm bất cứ lời giải nào. Lambert, lúc này đang là thành viên của viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Phổ, đã công bố tác phẩm "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques" (1767) như là một minh họa để hạn chế các nhà toán học cầu phương, và việc chứng minh được số pi là một số vô tỷ chỉ vô tình là một trường hợp đặc biệt của kết quả mà Lambert công bố trong tác phẩm. Trên thực tế, Lambert chứng minh rằng để một cung tròn có tỷ lệ hữu tỷ với bán kính, khi và chỉ khi giá trị lượng giác tang của góc tạo bởi cung tròn đó là một số vô tỷ. Vậy là, một cách ngược lại, do giá trị lượng giác tang của góc π/4 là 1, π/4 sẽ là một số vô tỷ, kéo theo sự vô tỷ của số pi.
Tỷ lệ tiếp tục của giá trị lượng giác tang trong tác phẩm của Lambert
Minh họa kết quả của Lambert
Số pi, một số vô tỷ
Với việc ý thức được rằng số pi là một số vô tỷ, suy nghĩ về số pi đã có sự thay đổi, thay vì cố gắng tìm giá trị chính xác của số pi, thì từ đây, một cuộc đua cho việc tìm ra được nhiều chữ số thập phân của số pi đã bắt đầu. Cùng với việc xuất hiện thêm nhiều công thức, phương pháp để tìm số pi; các công cụ, máy móc cũng được huy động và phát triển cho cuộc đua này. Và hiện nay, nhờ vào các tiến bộ vượt bậc về công nghệ, chúng ta đã có thể đạt đến hàng tỷ chữ số thập phân của số pi.
Trước chiến tranh thế giới lần thứ 2, các tính toán được thực hiện một cách thủ công. William Shanks, một nhà toán học nghiệp dư người Anh, đã bỏ ra gần 20 năm để tính toán và công bố vào năm 1874, 707 chữ số thập phân đầu tiên của số pi; nhờ vào lượng lớn các chữ số thập phân này, các tìm hiểu về sự điều phối đã được thực hiện, người ta nhận thấy rằng, các số tự nhiên từ 0 đến 9 được xuất hiện với tần suất khoảng 1/10, trừ số 7 ít được xuất hiện hơn, và từ đó sự nghi ngờ không cần thiết về việc hiếm có của số 7 đã kéo dài hơn 70 năm, cho đến khi D. F. Ferguson, với sự hỗ trợ của máy tính, vào năm 1946, đã tìm ra được 710 số thập phân đầu tiên của số pi, và kết quả này chỉ ra rằng, tính toán thủ công của William Shanks đã sai ngay từ số thập phân thứ 528 trở đi.
Kể từ năm 1946, các tính toán đã được thực hiện bởi máy móc. Các máy tính cơ học tìm được 1120 chữ số thập phân vào năm 1948, rồi đến máy tính điện tử là 2037 số vào năm 1949. Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, quá trình chinh phục số pi được tăng tốc : 1973, Jean Guilloud và Martine Bouyer công bố 1 triệu số; 1989, anh em David và Gregory Chudnovsky với 1 tỷ số; năm 2002, Yasumada Kanada, 1200 tỷ số; tháng 4 năm 2009, Daisuke Takahashi, 2600 tỷ số; tháng 12 năm 2009, Fabrice Bellard, 2700 tỷ số, ...
Việc chạy đua tìm ra càng nhiều chữ số thập phân của số pi không hẳn là vô nghĩa, kể từ khi trong các công tác của đời sống, chúng ta không cần thiết một mức độ chính xác đến vậy. Tuy nhiên, mức độ chính xác này là cần thiết cho các tính toán vĩ mô như trong thiên văn, sóng hấp dẫn, định vị toàn cầu (GPS)...; hay như ở cấp độ vi mô của nguyên tử, nghiên cứu vật lý lượng tử,... Thêm nữa, số lượng lớn các số thập phân của số pi thúc đẩy chúng ta nghiên cứu về mẫu lặp của số pi. Phần lớn các nhà toán học tin rằng các số thập phân của số pi xuất hiện một cách ngẫu nhiên, tuy vậy, có thể không phải là sự ngẫu nhiên tuyệt đối, kể từ khi số pi là một định nghĩa rất chính xác; các tiến hành tính toán tần suất xuất hiện của các số tự nhiên cho thấy mỗi số tự nhiên có tần suất gần 1/10, và cặp 2 số có tần suất gần 1/100,... tuy nhiên, cho dù chúng ta đã có hàng tỷ chữ số thập phân của số pi, nhưng vẫn gần như là 0% của một chuỗi vô tận của các con số.
Hơn hết, một trong những động lực của việc tìm kiếm các số thập phân của số pi là để phát triển, kiểm tra tính chính xác, độ nhanh chóng của các thế hệ máy tính điện tử; phát triển các lý thuyết toán học và công nghệ thông tin,... để từ đó có những kết quả phục vụ cho các lĩnh vực khác.
Số pi, một số siêu việt
Trong lịch sử toán học, có nhiều bài toán được đặt ra mà không tìm được lời giải sau rất nhiều nỗ lực và thời gian đã bỏ ra. Trong số đó, có ba bài toán lớn thời cổ đại của các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đặt ra, đó là :
- Gấp đôi một khối lập phương : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể dựng được một khối lập phương mà gấp đôi thể tích khối lập phương đã cho ?
- Chia làm ba một góc phẳng : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể chia được một góc phẳng bất kì thành 3 góc trong bằng nhau ?
- Cầu phương đường tròn : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể dựng được một hình vuông mà có diện tích bằng với diện tích một hình tròn cho trước ?
Vấn đề cầu phương đường tròn nhận được rất nhiều quan tâm của rất nhiều các nhà toán học và cả nghiệp dư trên khắp thế giới. Vấn đề nổi tiếng với mức độ đơn giản của nó nhưng lại là một thách thức cho rất nhiều nhà toán học hàng đầu trên thế giới trong một thời gian dài; nó tạo ra một sự ám ảnh tới mức đã có một thuật ngữ dành riêng cho nó "morbus cyclometricus" (tiếng Latin ; morbus : bệnh; cyclo : đường tròn, metricus : đo lường) nghĩa là "căn bệnh cầu phương đường tròn"; thuật ngữ "morbus cyclometricus" còn được mở rộng để chỉ những cá nhân hạn chế về kiến thức nhưng bị thúc đẩy bởi sự quan trọng của vấn đề và không ý thức được ý nghĩa của sự không thể.
Nhìn chung, "cách giải" của bài toán cầu phương rất đơn giản. Giả sử, đường tròn cho trước có bán kính là 1, khi đó diện tích hình tròn là π, do đó, diện tích hình vuông cần dựng sẽ là π và bằng với bình phương của cạnh đa giác hình vuông đó, vậy là, độ dài cạnh đa giác hình vuông sẽ là căn bậc 2 của số pi. Tuy vậy, số pi đã được chứng minh là không thể khai căn bậc hai, và tính chất này được gọi là tính siêu việt của số pi (nombre transcendant). Tính chất siêu việt của số pi đã được chứng minh bởi Ferdinand von Lindemann, một nhà toán học người Đức, vào năm 1982.
Tham khảo
- Bernard Ycart. La mesure du cercle, préhistoire de pi. Hist-math.fr
- Jean-Paul Delahaye. Le fascinant nombre pi. ISBN : 978-2-410-01445-7
- Sykorova. Charles University, Faculty of Mathematics and Physics, Prague, Czech Republic. ISBN 978-80-7378-139-2
- John F. Price. School of Mathematics University of New South Wales, Sydney, NSW 2052, Australia. Applied Geometry of the Śulba-Sūtras.
- François Gramain. Les décimales de pi. Images des Mathématiques, CNRS, 2021
- Jean Brette. Promenade mathématique en Mésopotamie. Images des Mathématiques, CNRS, 2013
- Bernard Ycart. La fin du suspense, démontrer une impossibilité. Hist-math.fr
- Joaquín Navarro. Les secrets du nombre pi. Images des Mathématiques, CNRS, 2019
