Đa thức là một biểu thức $f$ có dạng

$f=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n},$

trong đó $x$ là biến số và $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ là những số cho trước, là đa thức. Người ta hay dùng ký hiệu $f(x)$ thay cho $f$ để chỉ $f$ là đa thức của biến $x$.

Các thành phần $a_{0},a_{1}x,...,a_{n}x^{n}$ được gọi là các hạng tử của $f$. Với mọi $i$ = 0, 1, ..., $n$, số $a_{i}$ được gọi là hệ số của $x^{i}$ trong $f$. Nếu $a_{n}\neq 0$ thì n được gọi là bậc của $f$, ký hiệu là ${\text{deg }}f$. Khi đó, ta gọi $a_{n}$ là hệ số đầu của $f$.

Nếu $a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0$ thì ta gọi $f$ là đa thức không, ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định ${\text{deg }}0=\infty$ theo nghĩa ${\text{deg }}0$ nhỏ hơn $n$ với mọi $n\geq 0$. Nếu ${\text{deg }}f=0$ thì $f=a_{0}\neq 0$ là một số. Nếu ${\text{deg }}f=1$ thì $f$ được gọi là một đa thức tuyến tính.

Nếu ta coi $x$ như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

$g=b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}$

là một đa thức khác với $m\leq n$ thì

$f+g=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+...+(a_{n}+b_{n})x^{n},$

trong đó $b_{i}=0$ với mọi $i>m$. Ta cũng dễ dàng thấy

$fg=(a_{0}b_{0})+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+...+(a_{n}b_{m})x^{m+n}.$

Ta không có phép chia hai đa thức ${\frac {f}{g}}$ vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức $h$ sao cho $f=gh$. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia $h$ cho $g$ theo nghĩa sau:

Bổ đề. Cho $f$ và $g$ là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức $h$ và $v$ sao cho

$f=gh+v$

với ${\text{deg }}v<{\text{deg }}g$. Các đa thức $h$ và $v$ được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.

Ta gọi $h$ là thương Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} là phần dư của phép chia $f$ cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Điều kiện ${\text{deg }}v<{\text{deg }}g$ tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.

Ta có thể xác định Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h} và $v$ theo thuật toán sau. Đặt Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n = \text{deg } f} = deg f và $m={\text{deg }}g$. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n < m} thì ta đặt $h=0$ và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v = f} . Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu $n\geq m$ thì ta xét đa thức

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,}

trong đó $a$ và $b$ là hệ số đầu của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Rõ ràng là $f$ có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle gh + v} nếu Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f_{1}} có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle gh_1 + v} với ${\text{deg }}v<{\text{deg }}g$. Ta tiếp tục quá trình trên với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_1} và $g$. Do ${\text{deg }}f_{1}<m={\text{deg }}g$ nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle i} nào đó, có nghĩa là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f_i} có thể viết dưới dạng $gh_{i}+v$ với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g} . Từ đây suy ra $f$ có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle gh + v} gh + v với ${\text{deg }}v<{\text{deg }}g$. Thuật toán trên đây được gọi là thuật toán Ơclit.

Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = gh} hay là $v=0$ thì ta nói Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} chia hết cho $g$ hay Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} là ước của $f$.

Trong trường hợp Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g = x - c} với $c$ là một số nào đó thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < \text{deg }g = 1} . Nếu Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle {\text{deg }}v=0} thì $v$ là một số khác không. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }v < 0} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

$f=(x-c)h+v$

với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle v} là một số nào đó.

Ta có thể coi mỗi đa thức $f$ như một hàm số với

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(c) = a_0 + a_1c + ... + a_nc^n.}

Số $c$ được gọi là nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} nếu $f(c)=0$. Từ công thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)h + v} ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của $f$.

Bổ đề. Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(c) = 0} khi và chỉ khi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x - c} .

Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} là nghiệm của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} thì ta có Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)h} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }h = \text{deg }f - 1} . Người ta gọi số mũ $s$ lớn nhất sao cho $f$ chia hết cho $(x-c)s$ là bội của nghiệm Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c} , có nghĩa là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = (x - c)sh} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle h(c) \ne 0} . Khi đó ta có thể coi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle s} nghiệm $c$.

Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.

Định lý. Nếu Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle {\text{deg }}f=n} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có nhiều nhất Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} nghiệm.

Ta gọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là bất khả quy nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} . Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.

Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x^2 - 2} là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x^2 - 2} chia hết cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x - \sqrt{2}} .

Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} có đơn vị. Khi đó, đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một biểu thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,}

trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x} là biến số và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_0, a_1, ..., a_n \in A} . Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.

Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} , ký hiệu là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} .

Ta gọi đa thức $f$ là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của $f$ là phần tử nghịch đảo trong $A$. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:

Bổ đề. Cho $g\in A[x]$ là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức $f\in A[x]$ dưới dạng

$f=gh+v$

với $h,v\in A[x]$ và ${\text{deg }}v<{\text{deg }}g$. Các đa thức $h$ và $v$ được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.

Chú ý rằng nếu $A$ là một trường thì mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g \in A[x]} đều có thể viết dưới dạng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g = ag_1} , trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a} là hệ số đầu của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g_1} là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g_1} là đa thức chuẩn hoá của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} . Ta có thể chia Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g} bằng cách chia Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g_1} . Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle g \ne 0} nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một trường.

Ta gọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} là bất khả quy trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} trong Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A[x]} . Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \in A[x]} thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

Đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} biến trên Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle A} là một biểu thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} có dạng

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},}

trong đó Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., x_n} là các biến số và Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c_{r_1, ..., r_n} \in A} với mọi bộ số nguyên $r_{1},...,r_{n}\geq 0$ thoả mãn Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r_{1}+...+r_{n}\leq r} với Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle r\geq 0} là một số nguyên cho trước. Các phần tử Không thể phân tích cú pháp (Lỗi chuyển đổi. Máy chủ (“https://en.wikipedia.org/api/rest_”) phản hồi: “Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle c_{r_{1},...,r_{n}}} được gọi là hệ số của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Các thành phần Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle c_{r_1, ..., r_n}x_1^{r_1} ... x_n^{r_n}} được gọi là các hạng tử của $f$. Người ta hay dùng ký hiệu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f(x_1, ..., x_n)} thay cho Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} để chỉ $f$ là đa thức của các biến Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1, ..., x_n} .

Các biểu thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}} được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}} là tổng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 + ... + r_n} của các số mũ. Nếu Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle r_1 = ... = r_n = 0} thì Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n} = 1} . Ta quy định bậc của 1 là Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle -\infty} . Bậc của đa thức Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \ne 0} là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} . Ta ký hiệu bậc của Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f} với Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f} . Chú ý rằng Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \text{deg }f \le 0} khi và chỉ khi Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle f \in A} .

Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng

f = c0,0 + c10x1 + c01x2 + · · · + c1,r−1x1xr−12 + c0,rxr2.

Nếu ta coi x1, ..., xn như các phần tử trong A thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức n biến trên A. Tập các đa thức n biến trên A được gọi vành đa thức n biến trên A, ký hiệu là A[x1, ..., xn]. Ta có thể coi A[x1, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành đa thức (n − 1) biến A[x1, ..., xn−1], có nghĩa là

A[x1, ..., xn] := A[x1, ..., xn−1][xn].

Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.

Với mọi a = (α1, ..., αn) ∈ An ta ứng với đa thức f ở trên một phần tử f(a) ∈ A như sau:

f(a) = X r1+···+rn≤r cr1,...,rn α r1 1 · · · α rn n.

Nếu f(a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f. Ta có thể coi f là một hàm từ An vào A và tập nghiệm của f như là một hình hình học trong An. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.

Đa thức f được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của f đều có cùng bậc. Ví dụ như a1x1+· · ·+anxn là đa thức thuần nhất. Nếu a = (α1, ..., αn) là nghiệm của đa thức thuần nhất f thì λa = (λα1, ..., λαn) cũng là nghiệm của f. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc (0, ..., 0) của An.

Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.