Mục từ này cần được bình duyệt
Khác biệt giữa các bản “Đa thức”
Dòng 22: Dòng 22:
 
:<math>fg = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0)x + ... + (a_nb_m)x^{m+n}.</math>
 
:<math>fg = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0)x + ... + (a_nb_m)x^{m+n}.</math>
  
Ta không có phép chia hai đa thức ''f''/''g'' vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức ''h'' sao cho ''f'' = ''gh''. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia ''h'' cho ''g'' theo nghĩa sau:
+
Ta không có phép chia hai đa thức <math>\frac{f}{g}</math> vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức <math>h</math> sao cho <math>f = gh</math>. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia <math>h</math> cho <math>g</math> theo nghĩa sau:
  
Bổ đề. Cho ''f'' ''g'' là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức ''h'' ''v'' sao cho
+
''Bổ đề.'' Cho <math>f</math> <math>g</math> là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức <math>h</math> <math>v</math> sao cho
  
 
:<math>f = gh + v</math>
 
:<math>f = gh + v</math>
  
với deg ''v'' < deg ''g''. Các đa thức ''h'' ''v'' được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.
+
với <math>\text{deg } v < \text{deg } g</math>. Các đa thức <math>h</math> <math>v</math> được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.
  
Ta gọi ''h'' thương ''v'' phần dư của phép chia ''f'' cho ''g''. Điều kiện deg ''v'' < deg ''g'' tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.
+
Ta gọi <math>h</math> là ''thương'' <math>v</math> là ''phần dư'' của phép chia <math>f</math> cho <math>g</math>. Điều kiện <math>\text{deg } v < \text{deg } g</math> tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.
  
Ta có thể xác định ''h'' ''v'' theo thuật toán sau. Đặt ''n'' = deg ''f'' và ''m'' = deg ''g''. Nếu ''n'' < ''m'' thì ta đặt ''h'' = 0 và ''v'' = ''f''. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu ''n'' ≥ ''m'' thì ta xét đa thức
+
Ta có thể xác định <math>h</math> <math>v</math> theo thuật toán sau. Đặt <math>n = \text{deg } f</math> = deg ''f'' và <math>m = \text{deg } g</math>. Nếu <math>n < m</math> thì ta đặt <math>h = 0</math> <math>v = f</math>. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu <math>n \ge m</math> thì ta xét đa thức
  
 
:<math>f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,</math>
 
:<math>f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,</math>
 
 
trong đó ''a'' ''b'' là hệ số đầu của ''f'' ''g''. Rõ ràng là ''f'' có thể viết dưới dạng ''gh'' + ''v'' nếu ''f''<sub>1</sub> có thể viết dưới dạng ''gh''<sub>1</sub> + ''v'' với deg ''v'' < deg ''g''. Ta tiếp tục quá trình trên với ''f''<sub>1</sub> và ''g''. Do deg ''f''<sub>1</sub> < ''m'' = deg ''g'' nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ ''i'' nào đó, có nghĩa là ''f<sub>i</sub>'' có thể viết dưới dạng ''gh<sub>i</sub>'' + ''v'' với deg ''v'' < deg ''g''. Từ đây suy ra ''f'' có thể viết dưới dạng ''gh'' + ''v'' với deg ''v'' < deg ''g''. Thuật toán trên đây được gọi là ''thuật toán Ơclit''.
+
trong đó <math>a</math> <math>b</math> là hệ số đầu của <math>f</math> <math>g</math>. Rõ ràng là <math>f</math> có thể viết dưới dạng <math>gh + v</math> nếu <math>f_1</math> có thể viết dưới dạng <math>gh_1 + v</math> với <math>\text{deg }v < \text{deg } g</math>. Ta tiếp tục quá trình trên với <math>f_1</math> và <math>g</math>. Do <math>\text{deg }f_1 < m = \text{deg }g</math> nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ <math>i</math> nào đó, có nghĩa là <math>f_i</math> có thể viết dưới dạng <math>gh_i + v</math> với <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Từ đây suy ra <math>f</math> có thể viết dưới dạng <math>gh + v</math>''gh'' + ''v'' với <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Thuật toán trên đây được gọi là ''thuật toán Ơclit''.
  
Nếu ''f'' = ''gh'' hay là ''v'' = 0 thì ta nói ''f'' chia hết cho ''g'' hay ''g'' ước của ''f''.
+
Nếu <math>f = gh</math> hay là <math>v = 0</math> thì ta nói <math>f</math> chia hết cho <math>g</math> hay <math>g</math> là ''ước'' của <math>f</math>.
  
Trong trường hợp ''g'' = ''x'' − ''c'' với ''c'' là một số nào đó thì deg ''v'' < deg ''g'' = 1. Nếu deg ''v'' = 0 thì ''v'' là một số khác không. Nếu deg ''v'' < 0 thì ''v'' chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết
+
Trong trường hợp <math>g = x - c</math> với <math>c</math> là một số nào đó thì <math>\text{deg }v < \text{deg }g = 1</math>. Nếu <math>\text{deg }v = 0</math> thì <math>v</math> là một số khác không. Nếu <math>\text{deg }v < 0</math> thì <math>v</math> chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết
  
 
:<math>f = (x - c)h + v</math>
 
:<math>f = (x - c)h + v</math>
  
với ''v'' là một số nào đó.
+
với <math>v</math> là một số nào đó.
  
Ta có thể coi mỗi đa thức ''f'' như một hàm số với
+
Ta có thể coi mỗi đa thức <math>f</math> như một hàm số với
  
 
:<math>f(c) = a_0 + a_1c + ... + a_nc^n.</math>
 
:<math>f(c) = a_0 + a_1c + ... + a_nc^n.</math>
  
Số ''c'' được gọi là nghiệm của ''f'' nếu ''f(c)'' = 0. Từ công thức <math>f = (x - c)h + v</math> ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của ''f''.
+
Số <math>c</math> được gọi là nghiệm của <math>f</math> nếu <math>f(c) = 0</math>. Từ công thức <math>f = (x - c)h + v</math> ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của <math>f</math>.
  
'''Bổ đề.''' ''f''(''c'') = 0 khi và chỉ khi ''f'' chia hết cho ''x'' − ''c''.
+
'''Bổ đề.''' <math>f(c) = 0</math> khi và chỉ khi <math>f</math> chia hết cho <math>x - c</math>.
  
Nếu ''c'' là nghiệm của ''f'' thì ta có ''f'' = (''x'' − ''c'')''h'' với deg ''h'' = deg ''f'' − 1. Người ta gọi số mũ ''s'' lớn nhất sao cho ''f'' chia hết cho (''x'' − ''c'')''s'' là bội của nghiệm ''c'', có nghĩa là ''f'' = (''x'' − ''c'')''sh'' với ''h''(''c'') &ne; 0. Khi đó ta có thể coi ''f'' ''s'' nghiệm ''c''.
+
Nếu <math>c</math> là nghiệm của <math>f</math> thì ta có <math>f = (x - c)h</math> với <math>\text{deg }h = \text{deg }f - 1</math>. Người ta gọi số mũ <math>s</math> lớn nhất sao cho <math>f</math> chia hết cho <math>(x - c)s</math> là bội của nghiệm <math>c</math>, có nghĩa là <math>f = (x - c)sh</math> với <math>h(c) \ne 0</math>. Khi đó ta có thể coi <math>f</math> <math>s</math> nghiệm <math>c</math>.
  
 
Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.
 
Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.
  
'''Định lý.''' Nếu deg ''f'' = ''n'' thì ''f'' có nhiều nhất ''n'' nghiệm.
+
'''Định lý.''' Nếu <math>\text{deg }f = n</math> thì <math>f</math> có nhiều nhất <math>f</math> nghiệm.
  
Ta gọi đa thức ''f'' là bất khả quy nếu ''f'' không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn deg ''f''. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.
+
Ta gọi đa thức <math>f</math> là bất khả quy nếu <math>f</math> không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn <math>\text{deg }f</math>. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.
  
Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức ''x''<sup>2</sup> − 2 là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì ''x''<sup>2</sup> − 2 chia hết cho ''x'' −&radic;2.
+
Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức <math>x^2 - 2</math> là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì <math>x^2 - 2</math> chia hết cho <math>x - \sqrt{2}</math>.
  
Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành ''A'' có đơn vị. Khi đó, đa thức trên ''A'' là một biểu thức ''f'' có dạng
+
Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành <math>A</math> có đơn vị. Khi đó, đa thức trên <math>A</math> là một biểu thức <math>f</math> có dạng
  
 
:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>
 
:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>
  
trong đó ''x'' là biến số và ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>'' ∈ A. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.
+
trong đó <math>x</math> là biến số và <math>a_0, a_1, ..., a_n \in A</math>. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.
  
Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên ''A'' với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên ''A'' lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên ''A'', ký hiệu là ''A''[''x''].
+
Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên <math>A</math> với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên <math>A</math> lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên <math>A</math>, ký hiệu là <math>A[x]</math>.
  
Ta gọi đa thức ''f'' là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của ''f'' là phần tử nghịch đảo trong ''A''. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:
+
Ta gọi đa thức <math>f</math> là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của <math>f</math> là phần tử nghịch đảo trong <math>A</math>. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:
  
'''Bổ đề.''' Cho ''g'' &isin; ''A''[''x''] là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức ''f'' &isin; ''A''[''x''] dưới dạng
+
'''Bổ đề.''' Cho <math>g \in A[x]</math> là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức <math>f \in A[x]</math> dưới dạng
  
 
:<math>f = gh + v</math>
 
:<math>f = gh + v</math>
  
với ''h'', ''v'' &isin; ''A''[''x''] và deg ''v'' < deg ''g''. Các đa thức ''h'' ''v'' được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.
+
với <math>h, v \in A[x]</math> <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Các đa thức <math>h</math> <math>v</math> được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.
  
Chú ý rằng nếu ''A'' là một trường thì mọi đa thức ''g'' &isin; ''A''[''x''] đều có thể viết dưới dạng ''g'' = ''ag''<sub>1</sub>, trong đó ''a'' là hệ số đầu của ''g'' ''g''<sub>1</sub> là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi ''g''<sub>1</sub> là đa thức chuẩn hoá của ''g''. Ta có thể chia ''f'' cho ''g'' bằng cách chia ''f'' cho ''g''<sub>1</sub>. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức ''g'' &ne; 0 nếu ''A'' là một trường.
+
Chú ý rằng nếu <math>A</math> là một trường thì mọi đa thức <math>g \in A[x]</math> đều có thể viết dưới dạng <math>g = ag_1</math>, trong đó <math>a</math> là hệ số đầu của <math>g</math> và <math>g_1</math> là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi <math>g_1</math> là đa thức chuẩn hoá của <math>g</math>. Ta có thể chia <math>f</math> cho <math>g</math> bằng cách chia <math>f</math> cho <math>g_1</math>. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức <math>g \ne 0</math> nếu <math>A</math> là một trường.
  
Ta gọi đa thức ''f'' bất khả quy trong ''A''[''x''] nếu f không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn deg ''f'' trong ''A''[''x'']. Nếu A là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức ''f'' &isin; ''A''[''x''] thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.
+
Ta gọi đa thức <math>f</math> là ''bất khả quy'' trong <math>A[x]</math> nếu <math>f</math> không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn <math>\text{deg }f</math> trong <math>A[x]</math>. Nếu <math>A</math> là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức <math>f \in A[x]</math> thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.
  
Đa thức ''n'' biến trên ''A'' là một biểu thức ''f'' có dạng
+
Đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math> là một biểu thức <math>f</math> có dạng
  
 
:<math>f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},</math>
 
:<math>f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},</math>
  
trong đó ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>n</sub> là các biến số và ''c''<sub>''r''<sub>1</sub>,...,''r''<sub>''n''</sub></sub> &isin; ''A'' với mọi bộ số nguyên ''r''<sub>1</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub> &ge; 0 thoả mãn ''r''<sub>1</sub> + ... + ''r''<sub>''n''</sub> &le; ''r'' với ''r'' &ge; 0 là một số nguyên cho trước. Các phần tử ''c''<sub>''r''<sub>1</sub>,...,''r''<sub>''n''</sub></sub> được gọi là hệ số của ''f''. Các thành phần ''c''<sub>''r''<sub>1</sub>,...,''r''<sub>''n''</sub></sub> ''x''<sub>1</sub><sup>''r''<sup>1</sup></sup> ... ''x''<sub>n</sub><sup>''r''<sup>n</sup></sup> ''x'' được gọi là các ''hạng tử'' của f. Người ta hay dùng ký hiệu ''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>n</sub>) thay cho ''f'' để chỉ ''f'' là đa thức của các biến ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>n</sub>.  
+
trong đó <math>x_1, ..., x_n</math> là các biến số và <math>c_{r_1, ..., r_n} \in A</math> với mọi bộ số nguyên <math>r_1, ..., r_n \ge 0</math> thoả mãn <math>r_1 + ... + r_n \le r</math> với <math>r \ge 0</math> là một số nguyên cho trước. Các phần tử <math>c_{r_1, ..., r_n}</math> được gọi là hệ số của <math>f</math>. Các thành phần <math>c_{r_1, ..., r_n}x_1^{r_1} ... x_n^{r_n}</math> được gọi là các ''hạng tử'' của <math>f</math>. Người ta hay dùng ký hiệu <math>f(x_1, ..., x_n)</math> thay cho <math>f</math> để chỉ <math>f</math> là đa thức của các biến <math>x_1, ..., x_n</math>.  
  
Các biểu thức ''x''<sub>1</sub>''r''<sup>1</sup> ... ''x''<sub>n</sub>''r''<sup>n</sup> được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức x r1 1 · · · x rn n là tổng r1 + · · · + rn của các số mũ. Nếu r1 = · · · = rn = 0 thì x r1 1 · · · x rn n = 1. Ta quy định bậc của 1 là −∞. Bậc của đa thức f 6= 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của f. Ta ký hiệu bậc của f với deg f. Chú ý rằng deg f 0 khi và chỉ khi f A.
+
Các biểu thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> được gọi là ''đơn thức''. Bậc của đơn thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> là tổng <math>r_1 + ... + r_n</math> của các số mũ. Nếu <math>r_1 = ... = r_n = 0</math> thì <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n} = 1</math>. Ta quy định bậc của 1 là <math>-\infty</math>. Bậc của đa thức <math>f \ne 0</math> là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của <math>f</math>. Ta ký hiệu bậc của <math>f</math> với <math>\text{deg }f</math>. Chú ý rằng <math>\text{deg }f \le 0</math> khi và chỉ khi <math>f \in A</math>.
  
 
Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng
 
Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng

Phiên bản lúc 11:57, ngày 20 tháng 4 năm 2021

Đa thức là một biểu thức có dạng

trong đó là biến số và là những số cho trước, là đa thức. Người ta hay dùng ký hiệu thay cho để chỉ là đa thức của biến .

Các thành phần được gọi là các hạng tử của . Với mọi = 0, 1, ..., , số được gọi là hệ số của trong . Nếu thì n được gọi là bậc của , ký hiệu là . Khi đó, ta gọi là hệ số đầu của .

Nếu thì ta gọi đa thức không, ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định theo nghĩa nhỏ hơn với mọi . Nếu thì là một số. Nếu thì được gọi là một đa thức tuyến tính.

Nếu ta coi như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

là một đa thức khác với thì

trong đó với mọi . Ta cũng dễ dàng thấy

Ta không có phép chia hai đa thức vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức sao cho . Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia cho theo nghĩa sau:

Bổ đề. Cho là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức sao cho

với . Các đa thức được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.

Ta gọi thương phần dư của phép chia cho . Điều kiện tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.

Ta có thể xác định theo thuật toán sau. Đặt = deg f. Nếu thì ta đặt . Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu thì ta xét đa thức

trong đó là hệ số đầu của . Rõ ràng là có thể viết dưới dạng nếu có thể viết dưới dạng với . Ta tiếp tục quá trình trên với . Do nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ nào đó, có nghĩa là có thể viết dưới dạng với . Từ đây suy ra có thể viết dưới dạng gh + v với . Thuật toán trên đây được gọi là thuật toán Ơclit.

Nếu hay là thì ta nói chia hết cho hay ước của .

Trong trường hợp với là một số nào đó thì . Nếu thì là một số khác không. Nếu thì chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

với là một số nào đó.

Ta có thể coi mỗi đa thức như một hàm số với

Số được gọi là nghiệm của nếu . Từ công thức ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của .

Bổ đề. khi và chỉ khi chia hết cho .

Nếu là nghiệm của thì ta có với . Người ta gọi số mũ lớn nhất sao cho chia hết cho là bội của nghiệm , có nghĩa là với . Khi đó ta có thể coi nghiệm .

Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.

Định lý. Nếu thì có nhiều nhất nghiệm.

Ta gọi đa thức là bất khả quy nếu không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn . Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.

Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì chia hết cho .

Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành có đơn vị. Khi đó, đa thức trên là một biểu thức có dạng

trong đó là biến số và . Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.

Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên , ký hiệu là .

Ta gọi đa thức là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của là phần tử nghịch đảo trong . Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:

Bổ đề. Cho là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức dưới dạng

với . Các đa thức được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.

Chú ý rằng nếu là một trường thì mọi đa thức đều có thể viết dưới dạng , trong đó là hệ số đầu của là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi là đa thức chuẩn hoá của . Ta có thể chia cho bằng cách chia cho . Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức nếu là một trường.

Ta gọi đa thức bất khả quy trong nếu không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn trong . Nếu là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

Đa thức biến trên là một biểu thức có dạng

trong đó là các biến số và với mọi bộ số nguyên thoả mãn với là một số nguyên cho trước. Các phần tử được gọi là hệ số của . Các thành phần được gọi là các hạng tử của . Người ta hay dùng ký hiệu thay cho để chỉ là đa thức của các biến .

Các biểu thức được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức là tổng của các số mũ. Nếu thì . Ta quy định bậc của 1 là . Bậc của đa thức là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của . Ta ký hiệu bậc của với . Chú ý rằng khi và chỉ khi .

Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng

f = c0,0 + c10x1 + c01x2 + · · · + c1,r−1x1xr−12 + c0,rxr2.

Nếu ta coi x1, ..., xn như các phần tử trong A thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức n biến trên A. Tập các đa thức n biến trên A được gọi vành đa thức n biến trên A, ký hiệu là A[x1, ..., xn]. Ta có thể coi A[x1, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành đa thức (n − 1) biến A[x1, ..., xn−1], có nghĩa là

A[x1, ..., xn] := A[x1, ..., xn−1][xn].

Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.

Với mọi a = (α1, ..., αn) ∈ An ta ứng với đa thức f ở trên một phần tử f(a) ∈ A như sau:

f(a) = X r1+···+rn≤r cr1,...,rn α r1 1 · · · α rn n.

Nếu f(a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f. Ta có thể coi f là một hàm từ An vào A và tập nghiệm của f như là một hình hình học trong An. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.

Đa thức f được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của f đều có cùng bậc. Ví dụ như a1x1+· · ·+anxn là đa thức thuần nhất. Nếu a = (α1, ..., αn) là nghiệm của đa thức thuần nhất f thì λa = (λα1, ..., λαn) cũng là nghiệm của f. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc (0, ..., 0) của An.

Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.