Số pi - Lịch sử thay đổi

Phamphutho vào lúc 10:33, ngày 2 tháng 4 năm 2022

2022-04-02T10:33:04Z

Marrella: /* Các công thức giải tích */

2022-03-20T02:46:41Z

Các công thức giải tích

Marrella: /* Văn minh lưu vực sông Ấn */

2022-03-20T02:18:42Z

Văn minh lưu vực sông Ấn

Marrella: tạm xóa hình lỗi

2022-03-20T02:01:22Z

tạm xóa hình lỗi

Phamphutho: /* Các phương pháp thực nghiệm để tìm số pi */

2022-03-19T05:48:00Z

Các phương pháp thực nghiệm để tìm số pi

Phamphutho vào lúc 05:40, ngày 19 tháng 3 năm 2022

2022-03-19T05:40:16Z

Phamphutho vào lúc 14:10, ngày 16 tháng 3 năm 2022

2022-03-16T14:10:11Z

Phamphutho: /* Phương pháp số học */

2022-03-16T13:54:11Z

Phương pháp số học

Phamphutho: /* Phương pháp số học */

2022-03-16T13:53:51Z

Phương pháp số học

Phamphutho: /* Phương pháp số học */

2022-03-16T13:03:29Z

Phương pháp số học

@@ Dòng 21: / Dòng 21: @@
 ===Văn minh Ai Cập cổ đại===
 [[Hình:Cercle9Carre8.svg|nhỏ|Minh họa cách tính diện tích hình tròn đường kính 9 ''khet'' ở [[cuộn giấy cói Rhind]]]]
-Nền [[văn minh Ai Cập cổ đại]] cùng thời với văn minh Lưỡng Hà (bắt đầu vào khoảng năm 3100 TCN), cũng đã có những ghi chép về các bài toán có liên quan đến đường tròn trong các cuộn [[giấy cói]] (papyrus), đặc biệt là [[cuộn giấy cói Rhind]] (khoảng năm 1650 TCN). Trong đó có ghi chép về bài toán "Cánh đồng tròn với đường kính 9 ''khet''".
+Nền [[văn minh Ai Cập cổ đại]] cùng thời với văn minh Lưỡng Hà (bắt đầu vào khoảng năm 3100 TCN), cũng đã có những ghi chép về các bài toán có liên quan đến đường tròn trong các cuộn [[giấy cói]] (papyrus), đặc biệt là [[cuộn giấy cói Rhind]] (khoảng năm 1650 TCN), phát hiện năm 1855. Trong đó có ghi chép về bài toán "Cánh đồng tròn với đường kính 9 ''khet''".
 [[File:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|Rhind_Mathematical_Papyrus|200px|nhỏ|trái|Mẫu giấy cói Rhind ghi lại bài toán đường tròn]]
 Bài toán yêu cầu tính diện tích của một cánh đồng hình tròn với đường kính là 9 ''khet''. Người [[Ai Cập]] cổ đại đã đưa ra cách giải như sau : Lấy ra 1/9 của đường kính, là 1. Phần còn lại là 8. Nhân 8 với 8, được 64. Vậy diện tích cánh đồng là 64 ''setat''.
@@ Dòng 99: / Dòng 99: @@
 Công thức số pi của Leibniz là một bước tiến toán học của thời kỳ với gợi ý về sự vô tận của các chữ số thập phân của số pi; và rằng, chúng vẫn có thể được lặp lại theo một quy luật nào đó và trở thành một [[số hữu tỷ]] vô hạn tuần hoàn, và sẽ biểu diễn được dưới dạng a/b (a,b là [[số nguyên]], b khác 0). Tuy nhiên, vào năm 1761, nhà toán học [[Johann Lambert]], người [[Thụy Sỹ]], đã chứng minh rằng số pi là một [[số vô tỷ]].
-Một trong những vấn đề toán học nhận được nhiều quan tâm trong thời kì của Lambert là việc cầu phương đường tròn (tiếng Pháp : quadrature du cercle). Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã cố gắng tìm ra cách giải cho vấn đề này, sau đó họ sẽ gửi về các viện hàn lâm có uy tín trên thế giới để chứng nhận; nhiều đến mức viện Hàn lâm Khoa học Paris đã công bố không nhận kiểm chứng thêm bất cứ lời giải nào. Lambert, lúc này đang là thành viên của viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Phổ, đã công bố tác phẩm "'''Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques'''" (1767) như là một minh họa để hạn chế các nhà toán học cầu phương, và việc chứng minh được số pi là một số vô tỷ chỉ vô tình là một trường hợp đặc biệt của kết quả mà Lambert công bố trong tác phẩm. Trên thực tế, Lambert chứng minh rằng, để một cung tròn có tỷ lệ hữu tỷ với bán kính, khi và chỉ khi giá trị lượng giác tang của góc tạo bởi cung tròn đó là một số vô tỷ. Vậy là, một cách ngược lại, do giá trị lượng giác tang của góc π/4 là 1, π/4 sẽ là một số vô tỷ, kéo theo sự vô tỷ của số pi.
+Một trong những vấn đề toán học nhận được nhiều quan tâm trong thời kì của Lambert là việc cầu phương đường tròn (tiếng Pháp : quadrature du cercle). Rất nhiều nhà toán học trên thế giới đã cố gắng tìm ra cách giải cho vấn đề này, sau đó họ sẽ gửi về các viện hàn lâm có uy tín trên thế giới để chứng nhận; nhiều đến mức viện Hàn lâm Khoa học Paris đã công bố không nhận kiểm chứng thêm bất cứ lời giải nào (1775). Ngoài danh tiếng, các thành công nhất định trong việc cầu phương các đường cong như parabole bởi Archimède, hình vành trăng bởi Hippocrate de Chio (phân biệt với Hippocrate de Cos, bác sĩ danh tiếng), la quadratrice của Hippias d'Elis,... đã tạo kỳ vọng cho các nhà toán học chuyên nghiệp và nghiệp dư trong việc cầu phương đường tròn. Lambert, lúc này đang là thành viên của viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia Phổ, đã công bố tác phẩm "'''Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques'''" (1767) như là một minh họa để hạn chế các nhà toán học cầu phương, và việc chứng minh được số pi là một số vô tỷ chỉ vô tình là một trường hợp đặc biệt của kết quả mà Lambert công bố trong tác phẩm. Trên thực tế, Lambert chứng minh rằng, để một cung tròn có tỷ lệ hữu tỷ với bán kính, khi và chỉ khi giá trị lượng giác tang của góc tạo bởi cung tròn đó là một số vô tỷ. Vậy là, một cách ngược lại, do giá trị lượng giác tang của góc π/4 là 1, π/4 sẽ là một số vô tỷ, kéo theo sự vô tỷ của số pi.
 <gallery>
 File:LambertContinuedFraction.JPG|LambertContinuedFraction|Tỷ lệ liên tục của giá trị lượng giác tang trong tác phẩm của Lambert
@@ Dòng 118: / Dòng 118: @@
 === Số pi, một số siêu việt ===
 Trong lịch sử toán học, có nhiều bài toán được đặt ra mà không tìm được lời giải sau rất nhiều nỗ lực và thời gian đã bỏ ra. Trong số đó, có '''ba bài toán lớn thời cổ đại''' của các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đặt ra, đó là :
-# ''Gấp đôi một [[khối lập phương]] : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể dựng được một khối lập phương mà gấp đôi thể tích khối lập phương đã cho ?''
+# ''Gấp đôi một [[khối lập phương]] : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng (không chia đơn vị đo) và một cái compas, có thể dựng được một khối lập phương mà gấp đôi thể tích khối lập phương đã cho ?''
-# ''Chia làm ba một góc phẳng : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể chia được một góc phẳng bất kì thành 3 góc trong bằng nhau ?''
+# ''Chia làm ba một góc phẳng : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng (không chia đơn vị đo) và một cái compas, có thể chia được một góc phẳng bất kì thành 3 góc trong bằng nhau ?''
-# ''Cầu phương đường tròn : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng và một cái compas, có thể dựng được một hình vuông mà có diện tích bằng với diện tích một hình tròn cho trước ?''
+# ''Cầu phương đường tròn : với sự hỗ trợ của một cây thước kẻ thẳng (không chia đơn vị đo) và một cái compas, có thể dựng được một hình vuông mà có diện tích bằng với diện tích một hình tròn cho trước ?''
 [[File:Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg|Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann|nhỏ|150px|Ferdinand von Lindemann (1852 - 1939)]]
 [[Tập tin:Quadrarture.jpg|nhỏ|trái|150px|Minh họa cho việc cầu phương đường tròn]]
 Vấn đề cầu phương đường tròn nhận được rất nhiều quan tâm của rất nhiều các nhà toán học và cả nghiệp dư trên khắp thế giới. Vấn đề nổi tiếng với mức độ đơn giản của nó nhưng lại là một thách thức cho rất nhiều nhà toán học hàng đầu trên thế giới trong một thời gian dài; nó tạo ra một sự ám ảnh tới mức đã có một thuật ngữ dành riêng cho nó "'''morbus cyclometricus'''" (tiếng Latin ; morbus : bệnh; cyclo : đường tròn, metricus : đo lường) nghĩa là "căn bệnh cầu phương đường tròn"; thuật ngữ "'''morbus cyclometricus'''" còn được mở rộng để chỉ những cá nhân hạn chế về kiến thức nhưng bị thúc đẩy bởi sự quan trọng của vấn đề và không ý thức được ý nghĩa của sự không thể.
-Nhìn chung, "cách giải" của bài toán cầu phương rất đơn giản. Giả sử, đường tròn cho trước có bán kính là 1, khi đó diện tích hình tròn là π, do đó, diện tích hình vuông cần dựng sẽ là π và bằng với bình phương của cạnh đa giác hình vuông đó, vậy là, độ dài cạnh đa giác hình vuông sẽ là căn bậc 2 của số pi. Tuy vậy, số pi đã được chứng minh là không thể khai căn bậc hai, và tính chất này được gọi là tính siêu việt của số pi (nombre transcendant). Tính chất siêu việt của số pi đã được chứng minh bởi [[Ferdinand von Lindemann]], một nhà toán học người Đức, vào năm 1982.
+Nhìn chung, "cách giải" của bài toán cầu phương rất đơn giản. Giả sử, đường tròn cho trước có bán kính là 1, khi đó diện tích hình tròn là π, do đó, diện tích hình vuông cần dựng sẽ là π và bằng với bình phương của cạnh đa giác hình vuông đó, vậy là, độ dài cạnh đa giác hình vuông sẽ là căn bậc 2 của số pi. Tuy vậy, số pi đã được chứng minh là không thể khai căn bậc hai, và tính chất này được gọi là tính siêu việt của số pi (nombre transcendant). Tính chất siêu việt của số pi đã được chứng minh bởi [[Ferdinand von Lindemann]], một nhà toán học người Đức, vào năm 1882.
 ==Tham khảo==

@@ Dòng 93: / Dòng 93: @@
 Đến thế kỷ 17 - 18 với bộ môn [[vi tích phân]], việc tính toán số pi đã chấm dứt với các phương pháp hình học và thay vào đó là sử dụng các công thức [[giải tích]]. Trong các công thức đó, kể đến là công thức cho số pi của [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] :
-π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + ... + (-1)<sup>n</sup>/(2xn + 1) + ...         (n là số tự nhiên) (1)
+{{math|{{sfrac|{{pi}}|4}} {{=}} 1 − {{sfrac|1|3}} + {{sfrac|1|5}} − {{sfrac|1|7}} + {{sfrac|1|9}} − {{sfrac|1|11}} + {{sfrac|1|13}} − {{sfrac|1|15}} + ... + {{sfrac|(-1)<sup>n</sup>|(2n + 1)}} + ...}} ; (n là số tự nhiên) (1)
 Công thức (1) được thấy là việc cộng dồn 4 vào mẫu số bắt đầu từ 1/1 (1/5, 1/9, 1/13,...) và tương tự cho -1/3 (-1/7, -1/11, -1/15,...). Và rằng, công thức này có thừa hưởng từ nhiều nghiên cứu toán học trước đó về các hàm [[lượng giác]] ngược.

@@ Dòng 32: / Dòng 32: @@
 ===Văn minh lưu vực sông Ấn===
 Nền [[Văn minh lưu vực sông Ấn]] (khoảng năm 2600 TCN) cũng đã để lại những ghi chép có liên quan đến số pi, trong đó có tập hướng dẫn [[Śulba-Sūtras]] vào khoảng năm 700 TCN.
-Śulba-Sūtras (Śulba : sợi dây, Sūtras : quy tắc) là một tập hướng dẫn những quy cách xây dựng bệ thờ trong tôn giáo Védisme thời Ấn Độ cổ đại. Do đây là một tập hướng dẫn trong xây dựng hơn là một công trình nghiên cứu toán học nên nó chú trọng về tính xấp xỉ hơn là giá trị đúng của số pi, do đó giá trị của số pi thay đổi từ phương thức xây dựng này sang phương thức khác và thậm chí thay đổi trong cùng một phương thức. Tuy vậy, tập hướng dẫn này cũng đã có những áp dụng rất chính xác trong trường hợp số √2 và trong một số giải pháp hình học khác.
+Śulba-Sūtras (Śulba : sợi dây, Sūtras : quy tắc) là một tập hướng dẫn những quy cách xây dựng bệ thờ trong tôn giáo Védisme thời Ấn Độ cổ đại. Do đây là một tập hướng dẫn trong xây dựng hơn là một công trình nghiên cứu toán học nên nó chú trọng về tính xấp xỉ hơn là giá trị đúng của số pi, do đó giá trị của số pi thay đổi từ phương thức xây dựng này sang phương thức khác và thậm chí thay đổi trong cùng một phương thức. Tuy vậy, tập hướng dẫn này cũng đã có những áp dụng rất chính xác trong trường hợp số {{radic|2}} và trong một số giải pháp hình học khác.
 Về số pi, vẫn như các tài liệu cổ của các nền văn minh cùng thời, được ẩn chứa trong các giải thuật để giải quyết các vấn đề về hình học và được thể hiện với văn phong cổ đại. Đầu tiên kể đến là hướng dẫn "Độ dài một sợi tóc" : "''1/5 của đường kính được cộng thêm 3 lần đường kính cho ra chu vi của đường tròn. Không còn thừa lại cho dù là độ dài một sợi tóc''". Với hướng dẫn này, số pi đạt giá trị : 3 + 1/5 = 3,2, tuy vẫn còn khá xa giá trị thực của số pi nhưng khá hữu dụng trong công tác xây dựng. Một vài hướng dẫn khác có mang tính chất nghiên cứu như cách để chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn và cách ngược lại, tức là chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, phương pháp nhắc sau là một phiên bản của vấn đề "[[Cầu phương đường tròn]]" (tiếng Pháp : Quadrature du cercle).
-[[Tập tin:Sulba Sutras Vuong Tron.jpg|nhỏ|210px|AB = 2, OM = 1 + (√2 -1)/3]]
+[[Tập tin:Sulba Sutras Vuong Tron.jpg|nhỏ|210px|AB = 2, OM = 1 + ({{radic|2}} -1)/3]]
 [[Tập tin:Sulba Sutras Tron Vuong.jpg|nhỏ|trái|210px|AC = ''d'', AB = ''d'' × 9785/11136]]
-* '''Chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn''' : văn bản ghi chép như sau "''Nếu người ta muốn chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn, một sợi dây có độ dài là phân nửa của đường xiên đa giác hình vuông, dây được căn từ tâm sang bên phải. Cộng thêm 1/3 độ dài còn lại nằm ngoài đa giác hình vuông; đường tròn mong muốn đã có''". Phương pháp được lý giải như sau : đa giác hình vuông ở đây có độ dài cạnh là 2, phân nửa đường xiên có giá trị là √2, bán kính của đường tròn cần tìm để cho diện tích của nó đạt 4 là 1 cộng với 1/3 của kết quả lấy căn 2 trừ 1. Số pi đạt được theo phương pháp này là '''xấp xỉ 3,0883'''. Thực tế, với giá trị đúng của π, diện tích hình tròn đạt gần 4.069.
+* '''Chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn''' : văn bản ghi chép như sau "''Nếu người ta muốn chuyển một đa giác hình vuông thành một đường tròn, một sợi dây có độ dài là phân nửa của đường xiên đa giác hình vuông, dây được căn từ tâm sang bên phải. Cộng thêm 1/3 độ dài còn lại nằm ngoài đa giác hình vuông; đường tròn mong muốn đã có''". Phương pháp được lý giải như sau : đa giác hình vuông ở đây có độ dài cạnh là 2, phân nửa đường xiên có giá trị là {{radic|2}}, bán kính của đường tròn cần tìm để cho diện tích của nó đạt 4 là 1 cộng với 1/3 của kết quả lấy căn 2 trừ 1. Số pi đạt được theo phương pháp này là '''xấp xỉ 3,0883'''. Thực tế, với giá trị đúng của π, diện tích hình tròn đạt gần 4.069.
 * '''Chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông''' : phương pháp như sau "''Để chuyển một đường tròn thành một đa giác hình vuông, đường kính được chia làm 8 phần bằng nhau; một phần trong số đó, sau khi được chia là 29 phần bằng nhau, được giảm đi 28 phần và sau đó, phần còn lại được tiếp tục giảm 1/6, đem trừ đi 1/8 của 1/6 đó''". Phương pháp được hiểu như sau, gọi d là đường kính của đường tròn cho trước, cạnh của đa giác hình vuông với độ dài a sẽ theo công thức sau : a = d - d/8 + d/(8x29) - (d/(8x29))(1/6 - 1/(6x8)) = d x 9785/11136. Với phương pháp này số pi đạt '''xấp xỉ 3,0883'''. Thực tế, diện tích hình vuông chỉ đạt khoảng 98,3% của hình tròn. Cách dựng đa giác hình vuông có độ dài cạnh là độ dài AB bằng các đường tròn trong hình minh họa cũng chính là phương pháp được miêu tả trong Śulba-Sūtras.

@@ Dòng 58: / Dòng 58: @@
 Định nghĩa số pi theo diện tích của một hình tròn (π = S/r<sup>2</sup>) cho phép chúng ta tưởng tượng ra một phương pháp đơn giản và hoàn toàn chỉ dựa vào việc tính toán với các số nguyên. Đầu tiên, vẽ một hình vuông gồm (2n + 1)x(2n + 1) điểm, mỗi điểm cách nhau 1/n; sau đó, chúng ta đếm số điểm có khoảng cách đến điểm trung tâm hình vuông là nhỏ hơn 1; cuối cùng, với việc tính tỷ lệ của kết quả đếm được với tổng số điểm đã cho, chúng ta có một giá trị xấp xỉ π/4 và sau khi nhân với 4 chúng ta sẽ có giá trị xấp xỉ của số pi.
-[[Tập tin:Arithmetique Pi.jpg|nhỏ|210px|Minh họa với n = 10]]
 Với n = 20 ta được π = 3.1'''6''', với n = 100 ta được π = 3.1'''51''' và với n = 200 ta được π = 3.14'''6''' (các số in đậm là các số thập phân chưa chính xác của pi).

@@ Dòng 78: / Dòng 78: @@
 Tác giả của phương pháp này là một nhà tự nhiên học người Pháp tên là Georges Louis Leclerc (1707 - 1788), bá tước ở xã Buffon (Pháp). Ông ta chỉ ra rằng khi một chiếc kim có độ dài L (tức là một đoạn thẳng có độ dài L) rơi ngẫu nhiên xuống một sàn gỗ lát mà mỗi lát gỗ có độ rộng là L (tức là các đường thẳng song song với khoảng cách L), xác suất chiếc kim sẽ cắt cạnh của lát gỗ là 2/π. Trong trường hợp đại khái hơn, xác suất để một chiếc kim có độ dài a rơi ngẫu nhiên và cắt cạnh lát gỗ có độ rộng b là 2a/bπ. Có nhiều tiến hành thực nghiệm đã minh chứng cho lý thuyết này :
 * Vào năm 1850, một người tên Wolf đã thả 5000 chiếc kim với tỷ lệ a/b là 0.8 và đếm được 2532 giao điểm, tính ra được π = 3.1'''596'''
-* Vào năm 1855, tác giả Smith vùng Aberdeen ([[Scotland]]) đã thả 3204 chiếc kim với tỷ lệ a/b là 0.6, 1218.5 giao điểm (nửa giao điểm ở đây là một trường hợp báo cáo khó hiểu), tính ra được π = 3.1'''553'''
+* Vào năm 1855, một người tên Smith vùng Aberdeen ([[Scotland]]) đã thả 3204 chiếc kim với tỷ lệ a/b là 0.6, 1218.5 giao điểm (nửa giao điểm ở đây là một trường hợp báo cáo khó hiểu), tính ra được π = 3.1'''553'''
 * Vào năm 1860, Augustus De Morgan, 600 chiếc kim, a/b = 1; 382.5 giao điểm, π = 3.1'''37'''
 * Vào năm 1864, một người tên Fox, 1030 chiếc kim, a/b = 0.75; 489 giao điểm, π = 3.1'''595'''
@@ Dòng 84: / Dòng 84: @@
 * Vào năm 1925, một người tên Reina, 2520 chiếc kim, a/b = 0.5419; 859 giao điểm, π = 3.1'''795'''
 Nếu các thực nghiệm trên là có thực, lý thuyết của Leclerc quả thực đáng chú ý; với đa dạng các tham số thực nghiệm, thực hiện độc lập với nhau nhưng cùng đưa về kết quả tiệm cận với số pi. Bằng cách toán học hóa các điều kiện thực nghiệm và sự hỗ trợ của công cụ vi tích phân, lý thuyết trên là khả dĩ để tìm pi chứ không phải là sự trùng hợp một cách ngẫu nhiên.
 == Quá trình chinh phục số pi ==
 Từ sau khi Archimède đưa ra định nghĩa về số pi, các thế hệ các nhà toán học trên khắp thế giới bắt đầu con đường chinh phục hằng số này, và quá trình vẫn còn tiếp diễn sau hơn 23 thế kỷ.

@@ Dòng 54: / Dòng 54: @@
 ==Các phương pháp phi hình học để tìm kiếm số pi==
 Trong quá khứ, ít nhất là ở thời kỳ cổ đại, số pi đã được tìm hiểu chỉ thông qua các giải pháp hình học trong không gian Euclide. Về sau, người ta đã tìm kiếm ra một số phương pháp để tìm số pi mà không phải phụ thuộc vào hình học.
 ===Phương pháp số học===
 Hình học đã giúp chúng ta thấy được một hằng số trong mối liên hệ giữa độ dài đường tròn và đường kính của nó, sự khẳng định nó là một hằng số (gọi là pi) là một bước tiến quan trọng, tuy nhiên sẽ không có nhiều ý nghĩa nếu như chúng ta không nêu ra được giá trị của hằng số đó. Bằng thực nghiệm, chúng ta có nhiều cách dựa trên hình học để xác định giá trị số pi, tuy nhiên, sẽ có rất nhiều sai số. Các phương pháp thực nghiệm cho ra kết quả của một số pi [[vật lý]] thay vì số pi toán học, đây là 2 định nghĩa không hoàn toàn giống nhau; nói là số pi vật lý không có nghĩa là nói đến sai số khách quan trong các phép đo thực nghiệm. Khi định nghĩa số pi theo hình học π = P/2r, với điều kiện phép đo được thực hiện trong [[không gian Euclide]] thuần toán học, tuy nhiên trong thực tế, không gian mà chúng ta đang sống không hoàn toàn Euclide theo [[thuyết tương đối rộng]] của [[Albert Einstein]] và chúng ta không thể tạo ra một không gian thực tế hoàn toàn Euclide để tiến hành phép đo số pi dựa trên cơ sở hình học. Phương pháp xác định giá trị của số pi dựa trên việc số học hóa định nghĩa hình học của nó giải quyết được vấn đề số pi vật lý và cho phép đạt số pi toán học.
 Định nghĩa số pi theo diện tích của một hình tròn (π = S/r<sup>2</sup>) cho phép chúng ta tưởng tượng ra một phương pháp đơn giản và hoàn toàn chỉ dựa vào việc tính toán với các số nguyên. Đầu tiên, vẽ một hình vuông gồm (2n + 1)x(2n + 1) điểm, mỗi điểm cách nhau 1/n; sau đó, chúng ta đếm số điểm có khoảng cách đến điểm trung tâm hình vuông là nhỏ hơn 1; cuối cùng, với việc tính tỷ lệ của kết quả đếm được với tổng số điểm đã cho, chúng ta có một giá trị xấp xỉ π/4 và sau khi nhân với 4 chúng ta sẽ có giá trị xấp xỉ của số pi.
-[[nhỏ]]
 Với n = 20 ta được π = 3.1'''6''', với n = 100 ta được π = 3.1'''51''' và với n = 200 ta được π = 3.14'''6''' (các số in đậm là các số thập phân chưa chính xác của pi).

@@ Dòng 65: / Dòng 65: @@
 Việc đếm các điểm nằm trong đường tròn như trên có thể được thực hiện thủ công hoặc với sự giúp đỡ của máy tính, thế nhưng, để đạt được sự chính xác đến p số thập phân, cần phải cho n = 10<sup>p</sup> và thực hiện tính toán đến 10<sup>2p</sup> các phép tính nhân giữa các các số trong khoảng p, chưa kể các phép cộng và các phép so sánh giữa các số. Sự tăng phi mã các phép tính giới hạn chúng ta đạt tối đa khoảng 20 số thập phân của số pi và các siêu máy tính hiện nay cũng không đạt được xa hơn với phương pháp này.
-Suy cho cùng, định nghĩa số học này của số pi cũng quan trọng : nó cho thấy rằng, cho dù ở cấp độ cơ bản, chúng ta vẫn có thể đưa ra một định nghĩa của số pi mà không cần dựa trên bất kì lý thuyết vật lý nào và nó cho phép chúng ta ,trên nguyên tắc, tính được chính xác giá trị của pi tùy chúng ta mong muốn.
+Suy cho cùng, định nghĩa số học này của số pi cũng quan trọng : nó cho thấy rằng, cho dù ở cấp độ cơ bản, chúng ta vẫn có thể đưa ra một định nghĩa của số pi mà không cần dựa trên bất kì lý thuyết vật lý nào và nó cho phép chúng ta, trên lý thuyết, tính được chính xác giá trị của pi tùy chúng ta mong muốn.
 == Quá trình chinh phục số pi ==