Chuỗi điều hòa - Lịch sử thay đổi

Marrella vào lúc 02:45, ngày 9 tháng 12 năm 2023

2023-12-09T02:45:07Z

Marrella vào lúc 02:33, ngày 9 tháng 12 năm 2023

2023-12-09T02:33:16Z

Marrella vào lúc 01:50, ngày 9 tháng 12 năm 2023

2023-12-09T01:50:30Z

Marrella vào lúc 01:46, ngày 9 tháng 12 năm 2023

2023-12-09T01:46:51Z

Marrella vào lúc 13:52, ngày 24 tháng 11 năm 2023

2023-11-24T13:52:13Z

Marrella vào lúc 13:47, ngày 24 tháng 11 năm 2023

2023-11-24T13:47:17Z

Marrella vào lúc 13:41, ngày 24 tháng 11 năm 2023

2023-11-24T13:41:14Z

Marrella vào lúc 13:27, ngày 24 tháng 11 năm 2023

2023-11-24T13:27:24Z

Marrella vào lúc 13:22, ngày 24 tháng 11 năm 2023

2023-11-24T13:22:47Z

Marrella vào lúc 13:21, ngày 24 tháng 11 năm 2023

2023-11-24T13:21:55Z

@@ Dòng 39: / Dòng 39: @@
 === Thử tích phân ===
 [[File:Integral Test.svg|thumb|Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol <math>y=1/x</math> đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.]]
-Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng <math>1</math> đơn vị và chiều cao <math>1/n</math> đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong <math>y=1/x</math> hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi <math>x</math> từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng:
+Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao 1/''n'' đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong y = 1/''x'' hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi x từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng:
 <math>\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.</math>

@@ Dòng 63: / Dòng 63: @@
 nó cho <math>H_{100}</math> đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.<ref name="Jameson"/>
 Ví dụ một số đồng nhất thức chứa <math>H_n</math>:<ref name="Chu">{{cite journal | last = Chu | first1 = Wenchang | title = Summation formulae involving harmonic numbers | journal = Filomat | date = 2012| volume = 26 | issue = 1 | pages = 143–152 | jstor = 24895717 | s2cid = 29131184 | doi = 10.2298/fil1201143c}}</ref>{{sfn|Weisstein|2003|p=1307}}
@@ Dòng 73: / Dòng 75: @@
 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^2} = 2\zeta(3)</math> (Euler; với <math>\zeta(3)</math> là [[hằng số Apéry]]).
 {{clear}}

@@ Dòng 50: / Dòng 50: @@
 <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.</math>
-Các số điều hòa đầu tiên là 1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, ... Số điều hòa không bao giờ là [[số nguyên]] ngoại trừ <math>H_{1}</math>.{{sfn|Weisstein|2003|p=1307}} Giá trị của <math>H_n</math> xấp xỉ <math>\ln n + \gamma</math>, hay <math>H_n - \ln n</math> hội tụ về [[hằng số Euler–Mascheroni]] <math>\gamma\approx0,577</math>. Giới hạn cho <math>H_n</math>:<ref name="Jameson">{{cite journal | last1 = Jameson | first1 = G. J. O. | title = Euler-Maclaurin, harmonic sums and Stirling's formula | journal = The Mathematical Gazette | date = March 2015 | volume = 99 | issue = 544 | pages = 75–89 | doi = 10.1017/mag.2014.10 | s2cid = 123403893}}</ref>
+Các số điều hòa đầu tiên là 1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, ... Số điều hòa có tử số lẻ, mẫu số chẵn và không bao giờ là [[số nguyên]] ngoại trừ <math>H_{1}</math>.{{sfn|Weisstein|2003|p=1307}} Giá trị của <math>H_n</math> xấp xỉ <math>\ln n + \gamma</math>, hay <math>H_n - \ln n</math> hội tụ về [[hằng số Euler–Mascheroni]] <math>\gamma\approx0,577</math>. Giới hạn cho <math>H_n</math>:<ref name="Jameson">{{cite journal | last1 = Jameson | first1 = G. J. O. | title = Euler-Maclaurin, harmonic sums and Stirling's formula | journal = The Mathematical Gazette | date = March 2015 | volume = 99 | issue = 544 | pages = 75–89 | doi = 10.1017/mag.2014.10 | s2cid = 123403893}}</ref>
 <math>\ln n + \gamma \leq H_n \leq \ln n + \gamma + \frac{1}{n}.</math>
@@ Dòng 73: / Dòng 73: @@
 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^2} = 2\zeta(3)</math> (Euler; với <math>\zeta(3)</math> là [[hằng số Apéry]]).
 {{clear}}

@@ Dòng 39: / Dòng 39: @@
 === Thử tích phân ===
 [[File:Integral Test.svg|thumb|Các hình chữ nhật có diện tích được tạo bởi chuỗi điều hòa và hyperbol <math>y=1/x</math> đi qua góc trên bên trái của mỗi hình chữ nhật.]]
-Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao <math>1/n</math> đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong <math>y=1/x</math> hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi <math>x</math> từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng:
+Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng <math>1</math> đơn vị và chiều cao <math>1/n</math> đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong <math>y=1/x</math> hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi <math>x</math> từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng:
 <math>\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.</math>
@@ Dòng 50: / Dòng 50: @@
 <math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.</math>
-Giá trị của <math>H_n</math> xấp xỉ <math>\ln n + \gamma</math>, hay <math>H_n - \ln n</math> hội tụ về [[hằng số Euler–Mascheroni]] <math>\gamma\approx0,577</math>. Giới hạn cho <math>H_n</math>:<ref name="Jameson">{{cite journal | last1 = Jameson | first1 = G. J. O. | title = Euler-Maclaurin, harmonic sums and Stirling's formula | journal = The Mathematical Gazette | date = March 2015 | volume = 99 | issue = 544 | pages = 75–89 | doi = 10.1017/mag.2014.10 | s2cid = 123403893}}</ref>
+Các số điều hòa đầu tiên là 1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, ... Số điều hòa không bao giờ là [[số nguyên]] ngoại trừ <math>H_{1}</math>.{{sfn|Weisstein|2003|p=1307}} Giá trị của <math>H_n</math> xấp xỉ <math>\ln n + \gamma</math>, hay <math>H_n - \ln n</math> hội tụ về [[hằng số Euler–Mascheroni]] <math>\gamma\approx0,577</math>. Giới hạn cho <math>H_n</math>:<ref name="Jameson">{{cite journal | last1 = Jameson | first1 = G. J. O. | title = Euler-Maclaurin, harmonic sums and Stirling's formula | journal = The Mathematical Gazette | date = March 2015 | volume = 99 | issue = 544 | pages = 75–89 | doi = 10.1017/mag.2014.10 | s2cid = 123403893}}</ref>
 <math>\ln n + \gamma \leq H_n \leq \ln n + \gamma + \frac{1}{n}.</math>

@@ Dòng 64: / Dòng 64: @@
 nó cho <math>H_{100}</math> đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.<ref name="Jameson"/>
-Một số ví dụ về đồng nhất thức chứa <math>H_n</math>:<ref name="Chu">{{cite journal | last = Chu | first1 = Wenchang | title = Summation formulae involving harmonic numbers | journal = Filomat | date = 2012| volume = 26 | issue = 1 | pages = 143–152 | jstor = 24895717 | s2cid = 29131184 | doi = 10.2298/fil1201143c}}</ref>{{sfn|Weisstein|2003|p=1307}}
+Ví dụ một số đồng nhất thức chứa <math>H_n</math>:<ref name="Chu">{{cite journal | last = Chu | first1 = Wenchang | title = Summation formulae involving harmonic numbers | journal = Filomat | date = 2012| volume = 26 | issue = 1 | pages = 143–152 | jstor = 24895717 | s2cid = 29131184 | doi = 10.2298/fil1201143c}}</ref>{{sfn|Weisstein|2003|p=1307}}
-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3} = \frac{5}{4}\zeta(4) = \frac{\pi^4}{72}</math> (Euler tìm ra năm 1775)
+<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{{H_n}^2}{(n+1)^2} = \frac{11}{4}\zeta(4) = \frac{11\pi^4}{360}</math>
 <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{{H_n}^2}{n^2} = \frac{17}{4}\zeta(4) = \frac{17\pi^4}{360}</math>
-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{{H_n}^2}{(n+1)^2} = \frac{11}{4}\zeta(4) = \frac{11\pi^4}{360}</math>
+<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3} = \frac{5}{4}\zeta(4) = \frac{\pi^4}{72}</math> (Euler tìm ra năm 1775)
 {{clear}}

@@ Dòng 64: / Dòng 64: @@
 nó cho <math>H_{100}</math> đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.<ref name="Jameson"/>
-Ví dụ về chuỗi chứa <math>H_n</math> và biểu thức liên quan:<ref name="Chu">{{cite journal | last = Chu | first1 = Wenchang | title = Summation formulae involving harmonic numbers | journal = Filomat | date = 2012| volume = 26 | issue = 1 | pages = 143–152 | jstor = 24895717 | s2cid = 29131184 | doi = 10.2298/fil1201143c}}</ref>
+Ví dụ về đồng nhất thức chứa <math>H_n</math>:<ref name="Chu">{{cite journal | last = Chu | first1 = Wenchang | title = Summation formulae involving harmonic numbers | journal = Filomat | date = 2012| volume = 26 | issue = 1 | pages = 143–152 | jstor = 24895717 | s2cid = 29131184 | doi = 10.2298/fil1201143c}}</ref>
-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3} = \frac{\pi^4}{72}</math> (Euler tìm ra vào năm 1775), và <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{{H_n}^2}{n^2} = \frac{17\pi^4}{360}.</math>
+<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3} = \frac{\pi^4}{72}</math> (Euler tìm ra năm 1775)
 {{clear}}

@@ Dòng 62: / Dòng 62: @@
 <math>H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + r_n</math> với <math>0 \leq r_n \leq \frac{1}{120n^4},</math>
-nó cho <math>H_{100}</math> = 5,18737752 đến 8 chữ số thập phân.<ref name="Jameson"/>
+nó cho <math>H_{100}</math> đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.<ref name="Jameson"/>
 Ví dụ về chuỗi có chứa <math>H_n</math> và biểu thức liên quan:

← Phiên bản cũ		Phiên bản lúc 13:21, ngày 24 tháng 11 năm 2023
Dòng 63:		Dòng 63:

	nó cho <math>H_{100}</math> = 5,18737752 đến 8 chữ số thập phân.<ref name="Jameson"/>		nó cho <math>H_{100}</math> = 5,18737752 đến 8 chữ số thập phân.<ref name="Jameson"/>
		+
		+	Ví dụ về chuỗi có chứa <math>H_n</math> và biểu thức liên quan:
		+
		+	<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{H_n}{n^3} = \frac{\pi^4}{72}</math> (Euler tìm ra vào năm 1775), và <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{{H_n}^2}{n^2} = \frac{17\pi^4}{360}.</math>
		+
	{{clear}}		{{clear}}