Bách khoa Toàn thư Việt Nam - Đóng góp của thành viên [vi]

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-06-24T03:25:43Z

Minhpc: /* Nón pháp tuyến Clarke */

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực <math>\lambda _1, ... , \lambda _m, \mu _1, ... , \mu _s,</math> được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với <math>\bar{x}</math>, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

# <math>\lambda _i \ge 0, g_i(\bar{x}) \le 0 \text{ và } \lambda _i f _i(\bar{x}) = 0 \text{ với } i = 1, ... , m,</math>
# <math>h _j (\bar{x}) = 0 \text{ với } j = 1, ... , s,</math>
# <math>0 \in \partial f(\bar{x}) + \sum_{i = 1}^{m} \lambda _i \partial g _i(\bar{x}) + \sum_{j = 1}^{s} \mu _j a_j.</math>

Nhận xét rằng ({{EquationNote|10}}) là một điều kiện ''chuẩn hóa ràng buộc'' (còn được gọi là ''điều kiện chính quy ràng buộc'', hay đơn giản là ''điều kiện chính quy'') cho các bài toán hoạch lồi. Nếu <math>s = 0</math> thì nó trở thành

:<math> \exists z \in \mathbb{R}^n \text{ s.t. } g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{(Điều kiện Slater)}</math>

Nếu <math>m = 0</math> thì ({{EquationNote|10}}) tương đương với đòi hỏi rằng <math>D</math> là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện ({{EquationNote|10}}) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to R</math> là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng <math>f</math> là một <math>\text{hàm } C^1</math> (tức là hàm thuộc lớp <math>C^1</math>).

Ta gọi <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là hàm <math>C^1</math> và <math>D</math> biểu diễn được dưới dạng ({{EquationNote|9}}), ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (i = 1, . . . , m)</math> và <math>h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (j = 1, . . . , s)</math> là các hàm <math>C^1</math>. Ngược lại, <math>(P)</math> được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> được gọi là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> nếu tồn tại hằng số <math>l \ge 0</math> và lân cận <math>U</math> của <math>\bar{x}</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>\lVert f(x') - f(x) \rVert \le l \lVert x' - x \rVert \quad \text{ với mọi } x, x' \in U</math>|{{EquationRef|11}}}}

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc <math>\mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên <math>\mathbb{R}^n</math>.

Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|11}}) đúng với mọi <math>x, x' /in C</math>, ở đó <math>C</math> là một tập con của <math>\mathbb{R}^n</math>, thì ta nói <math>f</math> là Lipschitz trên <math>C</math> với hệ số Lipschitz <math>l</math>.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>f^0(\bar{x}; v) := \lim_{x \to \bar{x}} \sup_{t \downarrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}</math>

:<math>\qquad \qquad = sup \Bigl\{ \xi \in \mathbb{R} : \forall \text{ các dãy } x_k \to \bar{x} \text{ và } t_k \to 0+ \text{ sao cho } \xi = \lim_{k \to + \infty} \frac{f(x_k + t_kv) - f(x_k)}{t_k} \Bigr\}.</math>

===Dưới vi phân Clarke===

''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức

:<math>\partial f (\bar{x}) := \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f^0 (\bar{x}; v) \ge \langle x^*, v \rangle \text{ với mọi } v \in \mathbb{R}^n \}</math>

'''Định lý 0.0.7.''' ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)

''Cho <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

''(a) Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì

:<math>f^0(\bar{x};v) = \max \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f (\bar{x}) \}</math>

''với mọi v ∈ Rn.

''(b) Nếu <math>f</math> là hàm <math>C^1</math>, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và

:<math>\partial f (\bar{x}) = \{ \nabla f(\bar{x}) \}, f^0 (\bar{x};v) = \langle \nabla f(\bar{x}), v \rangle \text{ với mọi } \bar{x} \in \mathbb{R}^n \text{ và } v \in \mathbb{R}^n.</math>

''(c) Nếu <math>f</math> là lồi, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, dưới vi phân Clarke <math>\partial f(\bar{x})</math> trùng với dưới vi phân của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, <math>f^0(\bar{x}; v) = f^\prime (\bar{x}; v) \text{ với mỗi } v \in \mathbb{R}^n</math>

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng <math>f^0 (\bar{x};v)</math> tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho <math>C \subset \mathbb{R}^n</math> là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke <math>T_C(x)</math> của <math>C</math> tại <math>x \in C</math> là tập hợp tất cả các véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math> thỏa mãn <math>d^0_C (x;v) = 0</math>, ở đó <math>d^0_C (x;v)</math> ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

:<math>d_C(z) := \text{inf} \{ \lVert y - z \rVert : y \in C \}</math>

tại <math>x</math> theo hướng <math>v</math>.

===Nón pháp tuyến Clarke===

''Nón pháp tuyến Clarke'' <math>N_C(x)</math> của <math>C</math> tại <math>x</math> được định nghĩa là nón đối ngẫu của <math>T_C(x)</math>, tức là

:<math>N_C(x) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : \langle x^*, v \rangle \le 0 \text{ với mọi } v \in T_C(x) \}.</math>

'''Định lý 0.0.8.''' (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-06-24T03:16:12Z

Minhpc: /* Nón tiếp tuyến Clarke */

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực <math>\lambda _1, ... , \lambda _m, \mu _1, ... , \mu _s,</math> được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với <math>\bar{x}</math>, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

# <math>\lambda _i \ge 0, g_i(\bar{x}) \le 0 \text{ và } \lambda _i f _i(\bar{x}) = 0 \text{ với } i = 1, ... , m,</math>
# <math>h _j (\bar{x}) = 0 \text{ với } j = 1, ... , s,</math>
# <math>0 \in \partial f(\bar{x}) + \sum_{i = 1}^{m} \lambda _i \partial g _i(\bar{x}) + \sum_{j = 1}^{s} \mu _j a_j.</math>

Nhận xét rằng ({{EquationNote|10}}) là một điều kiện ''chuẩn hóa ràng buộc'' (còn được gọi là ''điều kiện chính quy ràng buộc'', hay đơn giản là ''điều kiện chính quy'') cho các bài toán hoạch lồi. Nếu <math>s = 0</math> thì nó trở thành

:<math> \exists z \in \mathbb{R}^n \text{ s.t. } g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{(Điều kiện Slater)}</math>

Nếu <math>m = 0</math> thì ({{EquationNote|10}}) tương đương với đòi hỏi rằng <math>D</math> là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện ({{EquationNote|10}}) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to R</math> là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng <math>f</math> là một <math>\text{hàm } C^1</math> (tức là hàm thuộc lớp <math>C^1</math>).

Ta gọi <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là hàm <math>C^1</math> và <math>D</math> biểu diễn được dưới dạng ({{EquationNote|9}}), ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (i = 1, . . . , m)</math> và <math>h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (j = 1, . . . , s)</math> là các hàm <math>C^1</math>. Ngược lại, <math>(P)</math> được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> được gọi là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> nếu tồn tại hằng số <math>l \ge 0</math> và lân cận <math>U</math> của <math>\bar{x}</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>\lVert f(x') - f(x) \rVert \le l \lVert x' - x \rVert \quad \text{ với mọi } x, x' \in U</math>|{{EquationRef|11}}}}

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc <math>\mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên <math>\mathbb{R}^n</math>.

Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|11}}) đúng với mọi <math>x, x' /in C</math>, ở đó <math>C</math> là một tập con của <math>\mathbb{R}^n</math>, thì ta nói <math>f</math> là Lipschitz trên <math>C</math> với hệ số Lipschitz <math>l</math>.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>f^0(\bar{x}; v) := \lim_{x \to \bar{x}} \sup_{t \downarrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}</math>

:<math>\qquad \qquad = sup \Bigl\{ \xi \in \mathbb{R} : \forall \text{ các dãy } x_k \to \bar{x} \text{ và } t_k \to 0+ \text{ sao cho } \xi = \lim_{k \to + \infty} \frac{f(x_k + t_kv) - f(x_k)}{t_k} \Bigr\}.</math>

===Dưới vi phân Clarke===

''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức

:<math>\partial f (\bar{x}) := \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f^0 (\bar{x}; v) \ge \langle x^*, v \rangle \text{ với mọi } v \in \mathbb{R}^n \}</math>

'''Định lý 0.0.7.''' ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)

''Cho <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

''(a) Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì

:<math>f^0(\bar{x};v) = \max \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f (\bar{x}) \}</math>

''với mọi v ∈ Rn.

''(b) Nếu <math>f</math> là hàm <math>C^1</math>, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và

:<math>\partial f (\bar{x}) = \{ \nabla f(\bar{x}) \}, f^0 (\bar{x};v) = \langle \nabla f(\bar{x}), v \rangle \text{ với mọi } \bar{x} \in \mathbb{R}^n \text{ và } v \in \mathbb{R}^n.</math>

''(c) Nếu <math>f</math> là lồi, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, dưới vi phân Clarke <math>\partial f(\bar{x})</math> trùng với dưới vi phân của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, <math>f^0(\bar{x}; v) = f^\prime (\bar{x}; v) \text{ với mỗi } v \in \mathbb{R}^n</math>

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng <math>f^0 (\bar{x};v)</math> tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho <math>C \subset \mathbb{R}^n</math> là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke <math>T_C(x)</math> của <math>C</math> tại <math>x \in C</math> là tập hợp tất cả các véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math> thỏa mãn <math>d^0_C (x;v) = 0</math>, ở đó <math>d^0_C (x;v)</math> ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

:<math>d_C(z) := \text{inf} \{ \lVert y - z \rVert : y \in C \}</math>

tại <math>x</math> theo hướng <math>v</math>.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-06-24T03:13:17Z

Minhpc: /* Dưới vi phân Clarke */

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực <math>\lambda _1, ... , \lambda _m, \mu _1, ... , \mu _s,</math> được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với <math>\bar{x}</math>, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

# <math>\lambda _i \ge 0, g_i(\bar{x}) \le 0 \text{ và } \lambda _i f _i(\bar{x}) = 0 \text{ với } i = 1, ... , m,</math>
# <math>h _j (\bar{x}) = 0 \text{ với } j = 1, ... , s,</math>
# <math>0 \in \partial f(\bar{x}) + \sum_{i = 1}^{m} \lambda _i \partial g _i(\bar{x}) + \sum_{j = 1}^{s} \mu _j a_j.</math>

Nhận xét rằng ({{EquationNote|10}}) là một điều kiện ''chuẩn hóa ràng buộc'' (còn được gọi là ''điều kiện chính quy ràng buộc'', hay đơn giản là ''điều kiện chính quy'') cho các bài toán hoạch lồi. Nếu <math>s = 0</math> thì nó trở thành

:<math> \exists z \in \mathbb{R}^n \text{ s.t. } g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{(Điều kiện Slater)}</math>

Nếu <math>m = 0</math> thì ({{EquationNote|10}}) tương đương với đòi hỏi rằng <math>D</math> là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện ({{EquationNote|10}}) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to R</math> là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng <math>f</math> là một <math>\text{hàm } C^1</math> (tức là hàm thuộc lớp <math>C^1</math>).

Ta gọi <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là hàm <math>C^1</math> và <math>D</math> biểu diễn được dưới dạng ({{EquationNote|9}}), ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (i = 1, . . . , m)</math> và <math>h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (j = 1, . . . , s)</math> là các hàm <math>C^1</math>. Ngược lại, <math>(P)</math> được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> được gọi là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> nếu tồn tại hằng số <math>l \ge 0</math> và lân cận <math>U</math> của <math>\bar{x}</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>\lVert f(x') - f(x) \rVert \le l \lVert x' - x \rVert \quad \text{ với mọi } x, x' \in U</math>|{{EquationRef|11}}}}

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc <math>\mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên <math>\mathbb{R}^n</math>.

Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|11}}) đúng với mọi <math>x, x' /in C</math>, ở đó <math>C</math> là một tập con của <math>\mathbb{R}^n</math>, thì ta nói <math>f</math> là Lipschitz trên <math>C</math> với hệ số Lipschitz <math>l</math>.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>f^0(\bar{x}; v) := \lim_{x \to \bar{x}} \sup_{t \downarrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}</math>

:<math>\qquad \qquad = sup \Bigl\{ \xi \in \mathbb{R} : \forall \text{ các dãy } x_k \to \bar{x} \text{ và } t_k \to 0+ \text{ sao cho } \xi = \lim_{k \to + \infty} \frac{f(x_k + t_kv) - f(x_k)}{t_k} \Bigr\}.</math>

===Dưới vi phân Clarke===

''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức

:<math>\partial f (\bar{x}) := \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f^0 (\bar{x}; v) \ge \langle x^*, v \rangle \text{ với mọi } v \in \mathbb{R}^n \}</math>

'''Định lý 0.0.7.''' ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)

''Cho <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

''(a) Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì

:<math>f^0(\bar{x};v) = \max \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f (\bar{x}) \}</math>

''với mọi v ∈ Rn.

''(b) Nếu <math>f</math> là hàm <math>C^1</math>, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và

:<math>\partial f (\bar{x}) = \{ \nabla f(\bar{x}) \}, f^0 (\bar{x};v) = \langle \nabla f(\bar{x}), v \rangle \text{ với mọi } \bar{x} \in \mathbb{R}^n \text{ và } v \in \mathbb{R}^n.</math>

''(c) Nếu <math>f</math> là lồi, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, dưới vi phân Clarke <math>\partial f(\bar{x})</math> trùng với dưới vi phân của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, <math>f^0(\bar{x}; v) = f^\prime (\bar{x}; v) \text{ với mỗi } v \in \mathbb{R}^n</math>

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng <math>f^0 (\bar{x};v)</math> tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho <math>C \subset \mathbb{R}^n</math> là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke <math>T_C(x)</math> của <math>C</math> tại <math>x \in C</math> là tập hợp tất cả các véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math> thỏa mãn <math>d^0_C (x;v) = 0</math>, ở đó <math>d^0_C (x;v)</math> ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

<math>d_C(z) := \text{inf} \{ \lVert y - z \rVert : y \in C \}</math>

tại <math>x</math> theo hướng <math>v</math>.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-06-24T03:12:48Z

Minhpc: /* Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke */

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực <math>\lambda _1, ... , \lambda _m, \mu _1, ... , \mu _s,</math> được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với <math>\bar{x}</math>, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

# <math>\lambda _i \ge 0, g_i(\bar{x}) \le 0 \text{ và } \lambda _i f _i(\bar{x}) = 0 \text{ với } i = 1, ... , m,</math>
# <math>h _j (\bar{x}) = 0 \text{ với } j = 1, ... , s,</math>
# <math>0 \in \partial f(\bar{x}) + \sum_{i = 1}^{m} \lambda _i \partial g _i(\bar{x}) + \sum_{j = 1}^{s} \mu _j a_j.</math>

Nhận xét rằng ({{EquationNote|10}}) là một điều kiện ''chuẩn hóa ràng buộc'' (còn được gọi là ''điều kiện chính quy ràng buộc'', hay đơn giản là ''điều kiện chính quy'') cho các bài toán hoạch lồi. Nếu <math>s = 0</math> thì nó trở thành

:<math> \exists z \in \mathbb{R}^n \text{ s.t. } g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{(Điều kiện Slater)}</math>

Nếu <math>m = 0</math> thì ({{EquationNote|10}}) tương đương với đòi hỏi rằng <math>D</math> là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện ({{EquationNote|10}}) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to R</math> là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng <math>f</math> là một <math>\text{hàm } C^1</math> (tức là hàm thuộc lớp <math>C^1</math>).

Ta gọi <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là hàm <math>C^1</math> và <math>D</math> biểu diễn được dưới dạng ({{EquationNote|9}}), ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (i = 1, . . . , m)</math> và <math>h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (j = 1, . . . , s)</math> là các hàm <math>C^1</math>. Ngược lại, <math>(P)</math> được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> được gọi là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> nếu tồn tại hằng số <math>l \ge 0</math> và lân cận <math>U</math> của <math>\bar{x}</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>\lVert f(x') - f(x) \rVert \le l \lVert x' - x \rVert \quad \text{ với mọi } x, x' \in U</math>|{{EquationRef|11}}}}

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc <math>\mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên <math>\mathbb{R}^n</math>.

Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|11}}) đúng với mọi <math>x, x' /in C</math>, ở đó <math>C</math> là một tập con của <math>\mathbb{R}^n</math>, thì ta nói <math>f</math> là Lipschitz trên <math>C</math> với hệ số Lipschitz <math>l</math>.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>f^0(\bar{x}; v) := \lim_{x \to \bar{x}} \sup_{t \downarrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}</math>

:<math>\qquad \qquad = sup \Bigl\{ \xi \in \mathbb{R} : \forall \text{ các dãy } x_k \to \bar{x} \text{ và } t_k \to 0+ \text{ sao cho } \xi = \lim_{k \to + \infty} \frac{f(x_k + t_kv) - f(x_k)}{t_k} \Bigr\}.</math>

===Dưới vi phân Clarke===

''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức

<math>\partial f (\bar{x}) := \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f^0 (\bar{x}; v) \ge \langle x^*, v \rangle \text{ với mọi } v \in \mathbb{R}^n \}</math>

'''Định lý 0.0.7.''' ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)

''Cho <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

''(a) Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì

<math>f^0(\bar{x};v) = \max \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f (\bar{x}) \}</math>

''với mọi v ∈ Rn.

''(b) Nếu <math>f</math> là hàm <math>C^1</math>, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và

<math>\partial f (\bar{x}) = \{ \nabla f(\bar{x}) \}, f^0 (\bar{x};v) = \langle \nabla f(\bar{x}), v \rangle \text{ với mọi } \bar{x} \in \mathbb{R}^n \text{ và } v \in \mathbb{R}^n.</math>

''(c) Nếu <math>f</math> là lồi, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, dưới vi phân Clarke <math>\partial f(\bar{x})</math> trùng với dưới vi phân của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, <math>f^0(\bar{x}; v) = f^\prime (\bar{x}; v) \text{ với mỗi } v \in \mathbb{R}^n</math>

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng <math>f^0 (\bar{x};v)</math> tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho <math>C \subset \mathbb{R}^n</math> là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke <math>T_C(x)</math> của <math>C</math> tại <math>x \in C</math> là tập hợp tất cả các véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math> thỏa mãn <math>d^0_C (x;v) = 0</math>, ở đó <math>d^0_C (x;v)</math> ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

<math>d_C(z) := \text{inf} \{ \lVert y - z \rVert : y \in C \}</math>

tại <math>x</math> theo hướng <math>v</math>.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-06-24T03:06:32Z

Minhpc: /* Nón tiếp tuyến Clarke */

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực <math>\lambda _1, ... , \lambda _m, \mu _1, ... , \mu _s,</math> được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với <math>\bar{x}</math>, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

# <math>\lambda _i \ge 0, g_i(\bar{x}) \le 0 \text{ và } \lambda _i f _i(\bar{x}) = 0 \text{ với } i = 1, ... , m,</math>
# <math>h _j (\bar{x}) = 0 \text{ với } j = 1, ... , s,</math>
# <math>0 \in \partial f(\bar{x}) + \sum_{i = 1}^{m} \lambda _i \partial g _i(\bar{x}) + \sum_{j = 1}^{s} \mu _j a_j.</math>

Nhận xét rằng ({{EquationNote|10}}) là một điều kiện ''chuẩn hóa ràng buộc'' (còn được gọi là ''điều kiện chính quy ràng buộc'', hay đơn giản là ''điều kiện chính quy'') cho các bài toán hoạch lồi. Nếu <math>s = 0</math> thì nó trở thành

:<math> \exists z \in \mathbb{R}^n \text{ s.t. } g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{(Điều kiện Slater)}</math>

Nếu <math>m = 0</math> thì ({{EquationNote|10}}) tương đương với đòi hỏi rằng <math>D</math> là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện ({{EquationNote|10}}) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to R</math> là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng <math>f</math> là một <math>\text{hàm } C^1</math> (tức là hàm thuộc lớp <math>C^1</math>).

Ta gọi <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là hàm <math>C^1</math> và <math>D</math> biểu diễn được dưới dạng ({{EquationNote|9}}), ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (i = 1, . . . , m)</math> và <math>h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (j = 1, . . . , s)</math> là các hàm <math>C^1</math>. Ngược lại, <math>(P)</math> được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> được gọi là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> nếu tồn tại hằng số <math>l \ge 0</math> và lân cận <math>U</math> của <math>\bar{x}</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>\lVert f(x') - f(x) \rVert \le l \lVert x' - x \rVert \quad \text{ với mọi } x, x' \in U</math>|{{EquationRef|11}}}}

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc <math>\mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên <math>\mathbb{R}^n</math>.

Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|11}}) đúng với mọi <math>x, x' /in C</math>, ở đó <math>C</math> là một tập con của <math>\mathbb{R}^n</math>, thì ta nói <math>f</math> là Lipschitz trên <math>C</math> với hệ số Lipschitz <math>l</math>.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức

<math>f^0(\bar{x}; v) := \lim_{x \to \bar{x}} \sup_{t \downarrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}</math>

<math>= sup \Bigl\{ \xi \in \mathbb{R} : \forall \text{ các dãy } x_k \to \bar{x} \text{ và } t_k \to 0+ \text{ sao cho } \xi = \lim_{k \to + \infty} \frac{f(x_k + t_kv) - f(x_k)}{t_k} \Bigr\}.</math>

===Dưới vi phân Clarke===

''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức

<math>\partial f (\bar{x}) := \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f^0 (\bar{x}; v) \ge \langle x^*, v \rangle \text{ với mọi } v \in \mathbb{R}^n \}</math>

'''Định lý 0.0.7.''' ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)

''Cho <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

''(a) Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì

<math>f^0(\bar{x};v) = \max \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f (\bar{x}) \}</math>

''với mọi v ∈ Rn.

''(b) Nếu <math>f</math> là hàm <math>C^1</math>, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và

<math>\partial f (\bar{x}) = \{ \nabla f(\bar{x}) \}, f^0 (\bar{x};v) = \langle \nabla f(\bar{x}), v \rangle \text{ với mọi } \bar{x} \in \mathbb{R}^n \text{ và } v \in \mathbb{R}^n.</math>

''(c) Nếu <math>f</math> là lồi, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, dưới vi phân Clarke <math>\partial f(\bar{x})</math> trùng với dưới vi phân của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, <math>f^0(\bar{x}; v) = f^\prime (\bar{x}; v) \text{ với mỗi } v \in \mathbb{R}^n</math>

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng <math>f^0 (\bar{x};v)</math> tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho <math>C \subset \mathbb{R}^n</math> là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke <math>T_C(x)</math> của <math>C</math> tại <math>x \in C</math> là tập hợp tất cả các véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math> thỏa mãn <math>d^0_C (x;v) = 0</math>, ở đó <math>d^0_C (x;v)</math> ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

<math>d_C(z) := \text{inf} \{ \lVert y - z \rVert : y \in C \}</math>

tại <math>x</math> theo hướng <math>v</math>.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-06-24T02:55:58Z

Minhpc: /* Dưới vi phân Clarke */

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực <math>\lambda _1, ... , \lambda _m, \mu _1, ... , \mu _s,</math> được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với <math>\bar{x}</math>, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

# <math>\lambda _i \ge 0, g_i(\bar{x}) \le 0 \text{ và } \lambda _i f _i(\bar{x}) = 0 \text{ với } i = 1, ... , m,</math>
# <math>h _j (\bar{x}) = 0 \text{ với } j = 1, ... , s,</math>
# <math>0 \in \partial f(\bar{x}) + \sum_{i = 1}^{m} \lambda _i \partial g _i(\bar{x}) + \sum_{j = 1}^{s} \mu _j a_j.</math>

Nhận xét rằng ({{EquationNote|10}}) là một điều kiện ''chuẩn hóa ràng buộc'' (còn được gọi là ''điều kiện chính quy ràng buộc'', hay đơn giản là ''điều kiện chính quy'') cho các bài toán hoạch lồi. Nếu <math>s = 0</math> thì nó trở thành

:<math> \exists z \in \mathbb{R}^n \text{ s.t. } g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{(Điều kiện Slater)}</math>

Nếu <math>m = 0</math> thì ({{EquationNote|10}}) tương đương với đòi hỏi rằng <math>D</math> là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện ({{EquationNote|10}}) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to R</math> là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng <math>f</math> là một <math>\text{hàm } C^1</math> (tức là hàm thuộc lớp <math>C^1</math>).

Ta gọi <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là hàm <math>C^1</math> và <math>D</math> biểu diễn được dưới dạng ({{EquationNote|9}}), ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (i = 1, . . . , m)</math> và <math>h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (j = 1, . . . , s)</math> là các hàm <math>C^1</math>. Ngược lại, <math>(P)</math> được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> được gọi là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> nếu tồn tại hằng số <math>l \ge 0</math> và lân cận <math>U</math> của <math>\bar{x}</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>\lVert f(x') - f(x) \rVert \le l \lVert x' - x \rVert \quad \text{ với mọi } x, x' \in U</math>|{{EquationRef|11}}}}

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc <math>\mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên <math>\mathbb{R}^n</math>.

Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|11}}) đúng với mọi <math>x, x' /in C</math>, ở đó <math>C</math> là một tập con của <math>\mathbb{R}^n</math>, thì ta nói <math>f</math> là Lipschitz trên <math>C</math> với hệ số Lipschitz <math>l</math>.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức

<math>f^0(\bar{x}; v) := \lim_{x \to \bar{x}} \sup_{t \downarrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}</math>

<math>= sup \Bigl\{ \xi \in \mathbb{R} : \forall \text{ các dãy } x_k \to \bar{x} \text{ và } t_k \to 0+ \text{ sao cho } \xi = \lim_{k \to + \infty} \frac{f(x_k + t_kv) - f(x_k)}{t_k} \Bigr\}.</math>

===Dưới vi phân Clarke===

''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức

<math>\partial f (\bar{x}) := \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f^0 (\bar{x}; v) \ge \langle x^*, v \rangle \text{ với mọi } v \in \mathbb{R}^n \}</math>

'''Định lý 0.0.7.''' ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)

''Cho <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

''(a) Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì

<math>f^0(\bar{x};v) = \max \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f (\bar{x}) \}</math>

''với mọi v ∈ Rn.

''(b) Nếu <math>f</math> là hàm <math>C^1</math>, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và

<math>\partial f (\bar{x}) = \{ \nabla f(\bar{x}) \}, f^0 (\bar{x};v) = \langle \nabla f(\bar{x}), v \rangle \text{ với mọi } \bar{x} \in \mathbb{R}^n \text{ và } v \in \mathbb{R}^n.</math>

''(c) Nếu <math>f</math> là lồi, thì <math>f</math> là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, dưới vi phân Clarke <math>\partial f(\bar{x})</math> trùng với dưới vi phân của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, <math>f^0(\bar{x}; v) = f^\prime (\bar{x}; v) \text{ với mỗi } v \in \mathbb{R}^n</math>

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng <math>f^0 (\bar{x};v)</math> tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho C ⊂ Rn là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke TC(x) của C tại x ∈ C là tập hợp tất cả các véctơ v ∈ Rn thỏa mãn d0 C(x; v) = 0, ở đó d0 C(x; v) ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

dC(z) := inf{ky − zk : y ∈ C}

tại x theo hướng v.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-06-24T02:39:59Z

Minhpc:

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực <math>\lambda _1, ... , \lambda _m, \mu _1, ... , \mu _s,</math> được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với <math>\bar{x}</math>, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

# <math>\lambda _i \ge 0, g_i(\bar{x}) \le 0 \text{ và } \lambda _i f _i(\bar{x}) = 0 \text{ với } i = 1, ... , m,</math>
# <math>h _j (\bar{x}) = 0 \text{ với } j = 1, ... , s,</math>
# <math>0 \in \partial f(\bar{x}) + \sum_{i = 1}^{m} \lambda _i \partial g _i(\bar{x}) + \sum_{j = 1}^{s} \mu _j a_j.</math>

Nhận xét rằng ({{EquationNote|10}}) là một điều kiện ''chuẩn hóa ràng buộc'' (còn được gọi là ''điều kiện chính quy ràng buộc'', hay đơn giản là ''điều kiện chính quy'') cho các bài toán hoạch lồi. Nếu <math>s = 0</math> thì nó trở thành

:<math> \exists z \in \mathbb{R}^n \text{ s.t. } g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{(Điều kiện Slater)}</math>

Nếu <math>m = 0</math> thì ({{EquationNote|10}}) tương đương với đòi hỏi rằng <math>D</math> là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện ({{EquationNote|10}}) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to R</math> là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng <math>f</math> là một <math>\text{hàm } C^1</math> (tức là hàm thuộc lớp <math>C^1</math>).

Ta gọi <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là hàm <math>C^1</math> và <math>D</math> biểu diễn được dưới dạng ({{EquationNote|9}}), ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (i = 1, . . . , m)</math> và <math>h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (j = 1, . . . , s)</math> là các hàm <math>C^1</math>. Ngược lại, <math>(P)</math> được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> được gọi là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> nếu tồn tại hằng số <math>l \ge 0</math> và lân cận <math>U</math> của <math>\bar{x}</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>\lVert f(x') - f(x) \rVert \le l \lVert x' - x \rVert \quad \text{ với mọi } x, x' \in U</math>|{{EquationRef|11}}}}

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc <math>\mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên <math>\mathbb{R}^n</math>.

Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|11}}) đúng với mọi <math>x, x' /in C</math>, ở đó <math>C</math> là một tập con của <math>\mathbb{R}^n</math>, thì ta nói <math>f</math> là Lipschitz trên <math>C</math> với hệ số Lipschitz <math>l</math>.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x}</math>, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v \in \mathbb{R}^n</math> được định nghĩa bằng công thức

<math>f^0(\bar{x}; v) := \lim_{x \to \bar{x}} \sup_{t \downarrow 0} \frac{f(x + tv) - f(x)}{t}</math>

<math>= sup \Bigl\{ \xi \in \mathbb{R} : \forall \text{ các dãy } x_k \to \bar{x} \text{ và } t_k \to 0+ \text{ sao cho } \xi = \lim_{k \to + \infty} \frac{f(x_k + t_kv) - f(x_k)}{t_k} \Bigr\}.</math>

===Dưới vi phân Clarke===

''Dưới vi phân Clarke'' của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> được cho bởi công thức

<math>\partial f (\bar{x}) := \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f^0 (\bar{x}; v) \ge \langle x^*, v \rangle \text{ với mọi } v \in \mathbb{R}^n \}</math>

Định lý 0.0.7. ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)Cho f : Rn → R là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

(a) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn, thì

f0(¯x; v) = max{hx∗, vi : x∗ ∈ ∂f(¯x)}

với mọi v ∈ Rn.

(b) Nếu f là hàm C1, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và ∂f(¯x) = {∇f(¯x)}, f0(¯x; v) = h∇f(¯x), vi với mọi x¯ ∈ Rn và v ∈ Rn.

(c) Nếu f là lồi, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi x¯ ∈ Rn, dưới vi phân Clarke ∂f(¯x) trùng với dưới vi phân của f tại x¯theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, f0 (¯x; v) = f0 (¯x; v) với mỗi v ∈ Rn.

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng f0(¯x; v) tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho C ⊂ Rn là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke TC(x) của C tại x ∈ C là tập hợp tất cả các véctơ v ∈ Rn thỏa mãn d0 C(x; v) = 0, ở đó d0 C(x; v) ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

dC(z) := inf{ky − zk : y ∈ C}

tại x theo hướng v.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-05-07T10:38:38Z

Minhpc:

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực <math>\lambda _1, ... , \lambda _m, \mu _1, ... , \mu _s,</math> được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với <math>\bar{x}</math>, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

# <math>\lambda _i \ge 0, g_i(\bar{x}) \le 0 \text{ và } \lambda _i f _i(\bar{x}) = 0 \text{ với } i = 1, ... , m,</math>
# <math>h _j (\bar{x}) = 0 \text{ với } j = 1, ... , s,</math>
# <math>0 \in \partial f(\bar{x}) + \sum_{i = 1}^{m} \lambda _i \partial g _i(\bar{x}) + \sum_{j = 1}^{s} \mu _j a_j.</math>

Nhận xét rằng ({{EquationNote|10}}) là một điều kiện ''chuẩn hóa ràng buộc'' (còn được gọi là ''điều kiện chính quy ràng buộc'', hay đơn giản là ''điều kiện chính quy'') cho các bài toán hoạch lồi. Nếu <math>s = 0</math> thì nó trở thành

:<math> \exists z \in \mathbb{R}^n \text{ s.t. } g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{(Điều kiện Slater)}</math>

Nếu <math>m = 0</math> thì ({{EquationNote|10}}) tương đương với đòi hỏi rằng <math>D</math> là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện ({{EquationNote|10}}) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to R</math> là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng <math>f</math> là một <math>\text{hàm} C^1</math> (tức là hàm thuộc lớp <math>C^1</math>).

Ta gọi <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là hàm <math>C^1</math> và <math>D</math> biểu diễn được dưới dạng ({{EquationNote|9}}), ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (i = 1, . . . , m)</math> và <math>h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} (j = 1, . . . , s)</math> là các hàm <math>C^1</math>. Ngược lại, <math>(P)</math> được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> được gọi là Lipschitz địa phương tại <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> nếu tồn tại hằng số <math>l \ge 0</math> và lân cận <math>U</math> của <math>\bar{x}</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>\lVert f(x') - f(x) \rVert \le l \lVert x' - x \rVert \quad \text{ với mọi } x, x' \in U</math>|{{EquationRef|11}}}}

Nếu <math>f</math> là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc <math>\mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên <math>\mathbb{R}^n</math>.

Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|11}}) đúng với mọi <math>x, x' /in C</math>, ở đó <math>C</math> là một tập con của <math>\mathbb{R}^n</math>, thì ta nói <math>f</math> là Lipschitz trên <math>C</math> với hệ số Lipschitz <math>l</math>.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của f tại x¯ theo hướng v ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức

f0(¯x; v) := lim sup x→x, t ¯ ↓0 f(x + tv) − f(x))t = sup n ξ ∈ R : ∃ các dãy xk → x¯ và tk → 0+ sao cho ξ = limk→+∞f(xk + tkv) − f(xk)tko.

===Dưới vi phân Clarke===

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯ được cho bởi công thức

∂f(¯x) := {x∗ ∈ Rn: f0(¯x; v) ≥ hx∗, vi với mọi v ∈ Rn}.

Định lý 0.0.7. ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)Cho f : Rn → R là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

(a) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn, thì

f0(¯x; v) = max{hx∗, vi : x∗ ∈ ∂f(¯x)}

với mọi v ∈ Rn.

(b) Nếu f là hàm C1, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và ∂f(¯x) = {∇f(¯x)}, f0(¯x; v) = h∇f(¯x), vi với mọi x¯ ∈ Rn và v ∈ Rn.

(c) Nếu f là lồi, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi x¯ ∈ Rn, dưới vi phân Clarke ∂f(¯x) trùng với dưới vi phân của f tại x¯theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, f0 (¯x; v) = f0 (¯x; v) với mỗi v ∈ Rn.

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng f0(¯x; v) tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho C ⊂ Rn là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke TC(x) của C tại x ∈ C là tập hợp tất cả các véctơ v ∈ Rn thỏa mãn d0 C(x; v) = 0, ở đó d0 C(x; v) ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

dC(z) := inf{ky − zk : y ∈ C}

tại x theo hướng v.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-05-07T04:37:39Z

Minhpc:

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của <math>f(x)</math> trên <math>\mathbb{R}^2</math>, ta có thể chứng tỏ rằng ({{EquationNote|8}}) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng <math>f = f_1 + f_2 + f_3</math>, ở đó <math>f_1(x) = \lVert x - a \rVert, f_2(x) = \lVert x - b \rVert, f_3(x) = \lVert x - c \rVert</math>. Theo Định lý 0.0.5, <math>\bar{x}</math> là nghiệm của ({{EquationNote|8}}) khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>. Vì <math>\text{dom} f_i = \mathbb{R}^2 (i = 1, 2 ,3)</math>, sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

:<math>0 \in \partial f_1 (\bar{x}) + f_2 (\bar{x}) + f_3 (\bar{x})</math>.

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm <math>\bar{x}</math> là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

# Nếu một trong ba góc của tam giác <math>ABC</math>, ví dụ như góc <math>\hat{A}</math>, là lớn hơn hoặc bằng 120°, thì <math>M \equiv A</math> là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.
# Nếu tất cả các góc của tam giác <math>ABC</math> đều nhỏ hơn 120°, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm <math>M</math> nhìn các cạnh <math>BC</math>, <math>AC</math> và <math>AB</math> của tam giác <math>ABC</math> dưới cùng một góc 120°(Điểm <math>M</math> đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác <math>ABC</math>.)

Trong bài toán <math>(P)</math>, nếu <math>D</math> là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán <math>(P)</math> dưới các giả thiết <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> là một hàm lồi,

{{NumBlk|:|<math>D = \{x \in \mathbb{R}^n : g_1(x) \le, ..., g_m(x) \le 0, h_1(x) = 0, ..., h_s(x) = 0\}</math>|{{EquationRef|9}}}}

ở đó <math>g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, i = 1, . . . , m</math>, là các hàm lồi, <math>h_j: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, j = 1, . . . , s</math> là các hàm affine, nghĩa là tồn tại <math>a_j \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\alpha _j \in \mathbb{R}</math> sao cho <math>h_j(x) = \langle a_j, x \rangle + \alpha _j</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong ({{EquationNote|9}}). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức <math>m = 0</math> (tương ứng, <math>s = 0</math>) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong ({{EquationNote|9}}).

'''Định lý 0.0.6.''' (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi với <math>D</math> được cho bởi ({{EquationNote|9}}). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên <math>f, g_i (i = 1, ... , m)</math> và <math>h_j (j = 1, ... s)</math> như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ <math>z \in \mathbb{R}^n</math> sao cho

{{NumBlk|:|<math>g_i(z) < 0 \text{ với } i = 1, ..., m \quad \text{và} \quad h_j (z) = 0 \text{ với } j = 1, ..., s</math>|{{EquationRef|10}}}}

Khi đó, <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi tồn tại <math>m + s</math> số thực λ1, . . . , λm, µ1, . . . , µs, được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với x¯, sao cho các điều skiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

(a) λi ≥ 0, gi(¯x) ≤ 0 và λifi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , m,

(b) hj (¯x) = 0 với j = 1, . . . , s,

(c) 0 ∈ ∂f(¯x) + Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µjaj.

Nhận xét rằng (10) là một điều kiện chuẩn hóa ràng buộc (còn được gọi là điều kiện chính quy ràng buộc, hay đơn giản là điều kiện chính quy) cho các bài toán hoạch lồi. Nếu s = 0 thì nó trở thành

∃z ∈ Rns.t. gi(z) < 0 với i = 1, . . . , m. (Điều kiện Slater)

Nếu m = 0 thì (10) tương đương với đòi hỏi rằng D là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện (10) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu f : Rn → R là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng f là một hàm C1 (tức là hàm thuộc lớp C1).

Ta gọi (P) là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu f : Rn → R là hàm C1 và D biểu diễn được dưới dạng (9), ở đó gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R (j = 1, . . . , s) là các hàm C1. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm f : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn nếu tồn tại hằng số ` ≥ 0 và lân cận U của x¯ sao cho

|f(x0) − f(x)| ≤ `kx0 − xk với mọi x, x0 thuộc U. (11)

Nếu f là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc Rn, thì f được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên Rn.

Nếu bất đẳng thức trong (11) đúng với mọi x, x0 ∈ C, ở đó C là một tập con của Rn, thì ta nói f là Lipschitz trên C với hệ số Lipschitz `.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của f tại x¯ theo hướng v ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức

f0(¯x; v) := lim sup x→x, t ¯ ↓0 f(x + tv) − f(x))t = sup n ξ ∈ R : ∃ các dãy xk → x¯ và tk → 0+ sao cho ξ = limk→+∞f(xk + tkv) − f(xk)tko.

===Dưới vi phân Clarke===

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯ được cho bởi công thức

∂f(¯x) := {x∗ ∈ Rn: f0(¯x; v) ≥ hx∗, vi với mọi v ∈ Rn}.

Định lý 0.0.7. ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)Cho f : Rn → R là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

(a) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn, thì

f0(¯x; v) = max{hx∗, vi : x∗ ∈ ∂f(¯x)}

với mọi v ∈ Rn.

(b) Nếu f là hàm C1, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và ∂f(¯x) = {∇f(¯x)}, f0(¯x; v) = h∇f(¯x), vi với mọi x¯ ∈ Rn và v ∈ Rn.

(c) Nếu f là lồi, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi x¯ ∈ Rn, dưới vi phân Clarke ∂f(¯x) trùng với dưới vi phân của f tại x¯theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, f0 (¯x; v) = f0 (¯x; v) với mỗi v ∈ Rn.

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng f0(¯x; v) tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho C ⊂ Rn là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke TC(x) của C tại x ∈ C là tập hợp tất cả các véctơ v ∈ Rn thỏa mãn d0 C(x; v) = 0, ở đó d0 C(x; v) ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

dC(z) := inf{ky − zk : y ∈ C}

tại x theo hướng v.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-05-06T10:29:31Z

Minhpc:

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con <math>M \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là một ''tập affine'' (a-phin) nếu <math>tx + (1 - t)y \in M</math> với mọi <math>x \in M, y \in M</math> và <math>t \in R</math>. Đối với một <math>D \subset \mathbb{R}^n</math>, ''bao affine'' aff<math>D of D</math> là tập affine nhỏ nhất chứa <math>D</math>. Phần trong tương đối của <math>D</math> được xác định bởi công thức

:<math>\text{ri}D := \{ x \in D : \exists \partial > 0 \text{ sao cho } B(x, \partial) \cap \text{aff}D \subset D \}</math>

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

'''Định lý 0.0.3.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho <math>f</math> là một hàm lồi trên <math>R^n</math>. Nếu <math>x \notin \text{dom}f</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là rỗng. Nếu <math>x \in \text{ri}(\text{dom}f)</math>, thì <math>\partial f(x)</math> là khác rỗng và

:<math>f'(x;v) = \sup \{ \langle x^*, v \rangle : x^* \in \partial f(x) \}, \quad \forall v \in R^n. </math>

Ngoài ra, <math>\partial f(x)</math> là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

:<math>x \in \text{int}(\text{dom} f);</math>

trong trường hợp đó, <math>f'(x; v)</math> là hữu hạn với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

'''Định lý 0.0.4.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho <math>f = f_1 + ... + f_k</math>, ở đó <math>f_1 + ... + f_k</math> là các hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math>. Nếu

:<math>\bigcap_{i = 1}^{k}\text{ri}(\text{dom} f_i) \ne \empty,</math>

thì

:<math>\partial f(x) = \partial f_1 (x) + ... + \partial f_k (x), \quad \forall x \in R^n.</math>

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

'''Định lý 0.0.5.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng <math>f</math> là một hàm lồi, chính thường trên <math>\mathbb{R}^n</math> và <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

{{NumBlk|:|<math>0 \in \partial f(\bar{x}) + N_D(\bar{x})</math>|{{EquationRef|6}}}}

nghiệm đúng với <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Ngược lại, nếu

{{NumBlk|:|<math>\text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri}D \ne \empty ,</math>|{{EquationRef|7}}}}

thì ({{EquationNote|6}}) là điều kiện cần và đủ cho <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> là nghiệm của <math>(P)</math>. Nói riêng ra, nếu <math>D = \mathbb{R}^n</math>, thì <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của <math>(P)</math> khi và chỉ khi <math>0 \in \partial f(\bar{x})</math>.

Bao hàm thức ({{EquationNote|6}}) có nghĩa là tồn tại <math>x^* \in \partial f (\bar{x})</math> và <math>u^* \in N_D(\bar{x})</math> sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng ({{EquationNote|7}}) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng <math>(P)</math>.

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho <math>A, B, C</math> là ba điểm trong không gian hai chiều <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ tương ứng là

:<math>a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2), c = (c_1, c_2).</math>

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm <math>M</math> trong <math>\mathbb{R}^2</math> với các tọa độ <math>\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)</math> sao cho tổng khoảng cách từ <math>M</math> tới <math>A, B</math> và <math>C</math> là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng <math>\bar{x}</math> là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

{{NumBlk|:|<math>\text{min} \{ f(x) := \lVert x - a \rVert + \lVert x - b \rVert + \lVert x - c \rVert : x \in \mathbb{R}^2 \}.</math>|{{EquationRef|8}}}}

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của f(x) trên R2, ta có thể chứng tỏ rằng (8) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng f = f1+f2+f3, ở đó f1(x) = kx−ak, f2(x) = kx−bk, f3(x) = kx−ck. Theo Định lý 0.0.5, x¯ là nghiệm của (8) khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(¯x). Vì domfi = R2 (i = 1, 2, 3), sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

0 ∈ ∂f1(¯x) + ∂f2(¯x) + ∂f3(¯x).

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm x¯ là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

(i) Nếu một trong ba góc của tam giác ABC, ví dụ như góc Aˆ, là lớn hơn hoặc bằng 120o, thì M ≡ A là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.

(ii) Nếu tất cả các góc của tam giác ABC đều nhỏ hơn 120o, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm M nhìn các cạnh BC, AC và AB của tam giác ABC dưới cùng một góc 120o

* (Điểm M đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác ABC.)

Trong bài toán (P), nếu D là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là một hàm lồi,

D = {x ∈ Rn: g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (9)

ở đó gi: Rn → R, i = 1, . . . , m, là các hàm lồi, hj: Rn → R, j = 1, . . . , s là các hàm affine, nghĩa là tồn tại aj ∈ Rn và αj ∈ R sao cho hj (x) = haj, xi + αj với mọi x ∈ Rn. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tươngứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong (9). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức m = 0 (tương ứng, s = 0) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong (9).

Định lý 0.0.6. (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng (P) là bài toán quy hoạch lồi với D được cho bởi (9). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên f, gi (i = 1, . . . , m) và hj (j = 1, . . . s) như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ z ∈ Rn sao cho

gi(z) < 0 với i = 1, . . . , m và hj (z) = 0 với j = 1, . . . , s. (10)

Khi đó, x¯ là một nghiệm của (P) khi và chỉ khi tồn tại m + s số thực λ1, . . . , λm, µ1, . . . , µs, được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với x¯, sao cho các điều kiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

(a) λi ≥ 0, gi(¯x) ≤ 0 và λifi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , m,

(b) hj (¯x) = 0 với j = 1, . . . , s,

(c) 0 ∈ ∂f(¯x) + Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µjaj.

Nhận xét rằng (10) là một điều kiện chuẩn hóa ràng buộc (còn được gọi là điều kiện chính quy ràng buộc, hay đơn giản là điều kiện chính quy) cho các bài toán hoạch lồi. Nếu s = 0 thì nó trở thành

∃z ∈ Rns.t. gi(z) < 0 với i = 1, . . . , m. (Điều kiện Slater)

Nếu m = 0 thì (10) tương đương với đòi hỏi rằng D là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện (10) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu f : Rn → R là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng f là một hàm C1 (tức là hàm thuộc lớp C1).

Ta gọi (P) là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu f : Rn → R là hàm C1 và D biểu diễn được dưới dạng (9), ở đó gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R (j = 1, . . . , s) là các hàm C1. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm f : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn nếu tồn tại hằng số ` ≥ 0 và lân cận U của x¯ sao cho

|f(x0) − f(x)| ≤ `kx0 − xk với mọi x, x0 thuộc U. (11)

Nếu f là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc Rn, thì f được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên Rn.

Nếu bất đẳng thức trong (11) đúng với mọi x, x0 ∈ C, ở đó C là một tập con của Rn, thì ta nói f là Lipschitz trên C với hệ số Lipschitz `.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của f tại x¯ theo hướng v ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức

f0(¯x; v) := lim sup x→x, t ¯ ↓0 f(x + tv) − f(x))t = sup n ξ ∈ R : ∃ các dãy xk → x¯ và tk → 0+ sao cho ξ = limk→+∞f(xk + tkv) − f(xk)tko.

===Dưới vi phân Clarke===

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯ được cho bởi công thức

∂f(¯x) := {x∗ ∈ Rn: f0(¯x; v) ≥ hx∗, vi với mọi v ∈ Rn}.

Định lý 0.0.7. ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)Cho f : Rn → R là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

(a) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn, thì

f0(¯x; v) = max{hx∗, vi : x∗ ∈ ∂f(¯x)}

với mọi v ∈ Rn.

(b) Nếu f là hàm C1, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và ∂f(¯x) = {∇f(¯x)}, f0(¯x; v) = h∇f(¯x), vi với mọi x¯ ∈ Rn và v ∈ Rn.

(c) Nếu f là lồi, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi x¯ ∈ Rn, dưới vi phân Clarke ∂f(¯x) trùng với dưới vi phân của f tại x¯theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, f0 (¯x; v) = f0 (¯x; v) với mỗi v ∈ Rn.

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng f0(¯x; v) tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho C ⊂ Rn là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke TC(x) của C tại x ∈ C là tập hợp tất cả các véctơ v ∈ Rn thỏa mãn d0 C(x; v) = 0, ở đó d0 C(x; v) ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

dC(z) := inf{ky − zk : y ∈ C}

tại x theo hướng v.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-05-06T09:23:23Z

Minhpc:

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là lồi khi và chỉ khi

:<math>f(\lambda _1 x_1 + ... + \lambda _k x_k) \le \lambda _1 f(x_1) + ... + \lambda _k f(x_k) \qquad \text{(bất đẳng thức Jensen)}</math>

với mọi <math>x_1, ... , x_k \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\lambda _1 \ge 0, ... , \lambda _kk \ge 0, \lambda _1 + ... + \lambda _k = 1</math>. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) đúng với mọi <math>x, y \in D</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi trên <math>D</math>. Nếu bất đẳng thức trong ({{EquationNote|2}}) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi <math>x, y \in D</math> mà <math>x \ne y</math> và với mọi <math>t \in (0, 1)</math>, thì ta nói <math>f</math> là lồi chặt trên <math>D</math>.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng <math>(P)</math> là bài toán quy hoạch lồi nếu <math>D</math> là tập lồi và <math>f</math> là hàm lồi. Nếu <math>(P)</math> bài toán quy hoạch lồi, thì

{{NumBlk|:|<math>\text{Sol}(P) = \text{loc}(P).</math>|{{EquationRef|3}}}}

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu <math>D</math> là tập không lồi hoặc <math>f</math> là hàm không lồi, thì ta nói <math>(P)</math> là ''bài toán quy hoạch không lồi.''

Xét bài toán

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{f(x) = (x_1 - c_1)^2 + (x_2 - c_2)^2 : x \in D\},</math>|{{EquationRef|4}}}}

ở đó <math>D = {x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \ge 0} \cup {x = (x_1, x_2) : x_2 \ge 0}</math> và <math>c = (c_1, c_2) = (-2, -1)</math>. Nhận xét rằng <math>f</math> là lồi, trong khi <math>D</math> là không lồi. Rõ ràng rằng ({{EquationNote|4}}) là tương đương với bài toán sau đây:

{{NumBlk|:|<math>\text{min}\{\lVert x - c \rVert : x \in D\}.</math>|{{EquationRef|5}}}}

Có thể thấy rằng tập nghiệm của ({{EquationNote|4}}) và ({{EquationNote|5}}) chỉ gồm một điểm <math>(-2, 0)</math>, còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: <math>(-2, 0)</math> và <math>(0, -1)</math>. Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức ({{EquationNote|3}}) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt <math>f_1(x) = -x + 2, f_2(x) = x + \frac{3}{2}</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}</math>. Định nghĩa <math>f(x) = \text{min}{f_1(x), f_2(x)}</math> và chọn <math>D = [0, 2] \subset R</math>. Với hàm <math>f</math> và tập <math>D</math> đó, chúng ta có

:<math>\text{Sol}(P) =\{2\},\quad \text{loc}(P) = \{0, 2\};</math>

tức là đẳng thức ({{EquationNote|3}}) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, <math>f</math> là hàm không lồi và <math>D</math> là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \bar{\mathbb{R}}</math>, tập hợp

:<math>\text{dom}f := \{x \in \mathbb{R}^n: -\infty < f(x) < +\infty\}</math>

được gọi là ''miền hữu hiệu'' của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math> và một véctơ <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, nếu giới hạn

:<math>f'(\bar{x}; v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

(có thể nhận các giá trị <math>+\infty</math> và <math>-\infty</math>) tồn tại, thì <math>f</math> được gọi là khả vi theo hướng tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math> và giá trị <math>f'(\bar{x}; v)</math> được gọi là đạo hàm theo hướng của <math>f</math> tại <math>\bar{x}</math> theo hướng <math>v</math>. Nếu <math>f'(\bar{x}; v)</math> tồn tại với mọi <math>v \in \mathbb{R}^n</math>, thì <math>f</math> được gọi là ''khả vi theo hướng'' tại <math>\bar{x}</math>.

Trong hai định lý tiếp theo đây, <math>f : \mathbb{R}n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}</math> là một hàm lồi và chính thường.

'''Định lý 0.0.1.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> và <math>\delta > 0</math> là điểm và số thực sao cho hình cầu mở <math>B(\bar{x}, \delta)</math> chứa trong <math>\text{dom}f</math>, thì phần hạn chế của <math>f</math> trên <math>B(\bar{x}, \delta)</math> là một hàm số thực liên tục.

'''Định lý 0.0.2.''' (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu <math>\bar{x} \in \text{dom}f</math>, thì với mỗi <math>v \in \mathbb{R}^n</math> giới hạn

:<math>f'(\bar{x};\ v) := \lim_{t \downarrow 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}</math>

tồn tại, và ta có

:<math>f'(\bar{x};\ v) = \inf_{t > 0} \frac{f(\bar{x} + tv) - f(\bar{x})}{t}.</math>

===Nón pháp tuyến===

''Nón pháp tuyến'' <math>N_D(\bar{x})</math> của tập lồi <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}^n</math> được cho bởi công thức

<math>
N_D(\bar{x}) =
\begin{cases}
\{ x^* \in R^n : \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le 0 \text{ với mọi } x \in D\} & \text{nếu } \bar{x} \in D\\
\empty & \text{nếu } \bar{x} \notin D.
\end{cases}
</math>

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân <math>\partial f(\bar{x})</math> của một hàm lồi <math>f : R^n \to \mathbb{R}</math> tại một điểm <math>\bar{x} \in \mathbb{R}n</math> được định nghĩa bằng công thức

:<math>\partial f(\bar{x}) = \{ x^* \in \mathbb{R}^n : f(\bar{x}) + \langle x^*, x - \bar{x} \rangle \le f(x) \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}^n</math>

===Phần trong tương đối===

Tập con M ⊂ Rn được gọi là một tập affine (a-phin) nếu tx + (1 − t)y ∈ M với mọi x ∈ M, y ∈ M và t ∈ R. Đối với một D ⊂ Rn, bao affine affD of D là tập affine nhỏ nhất chứa D. Phần trong tương đối của D được xác định bởi công thức

riD := {x ∈ D : ∃δ > 0 sao cho B(x, δ) ∩ affD ⊂ D}.

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

Định lý 0.0.3. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho f là một hàm lồi trên Rn. Nếu x /∈ domf, thì ∂f(x) là rỗng. Nếu x ∈ ri(domf), thì ∂f(x) là khác rỗng và

f0(x; v) = sup{hx ∗ , vi : x ∗ ∈ ∂f(x)}, ∀v ∈ Rn.

Ngoài ra, ∂f(x) là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

x ∈ int(domf);

trong trường hợp đó, f0(x; v) là hữu hạn với mỗi v ∈ Rn.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

Định lý 0.0.4. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho f = f1 + · · · + fk, ở đó f1, . . . , fk là các hàm lồi, chính thường trên Rn. Nếu

ki=1 ri(domfi) 6= ∅,

thì

∂f(x) = ∂f1(x) + · · · + ∂fk(x), ∀x ∈ Rn.

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

Định lý 0.0.5. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng f là một hàm lồi, chính thường trên Rn và D ⊂ Rn là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

0 ∈ ∂f(¯x) + ND(¯x) (6)

nghiệm đúng với x¯ ∈ Rn, thì x¯ là nghiệm của (P). Ngược lại, nếu

ri(domf) ∩ riD 6= ∅, (7)

thì (6) là điều kiện cần và đủ cho x¯ ∈ Rn là nghiệm của (P). Nói riêng ra, nếu D = Rn, thì x¯ là một nghiệm của (P) khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(¯x).

Bao hàm thức (6) có nghĩa là tồn tại x∗ ∈ ∂f(¯x) và u∗ ∈ ND(¯x) sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng (7) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng (P).

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho A, B, C là ba điểm trong không gian hai chiều R2 với các tọa độ tương ứng là

a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2).

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm M trong R2 với các tọa độ x¯ = (¯x1, x¯2) sao cho tổng khoảng cách từ M tới A, B và C là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng x¯ là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

min{f(x) := kx − ak + kx − bk + kx − ck : x ∈ R2}. (8)

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của f(x) trên R2, ta có thể chứng tỏ rằng (8) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng f = f1+f2+f3, ở đó f1(x) = kx−ak, f2(x) = kx−bk, f3(x) = kx−ck. Theo Định lý 0.0.5, x¯ là nghiệm của (8) khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(¯x). Vì domfi = R2 (i = 1, 2, 3), sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

0 ∈ ∂f1(¯x) + ∂f2(¯x) + ∂f3(¯x).

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm x¯ là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

(i) Nếu một trong ba góc của tam giác ABC, ví dụ như góc Aˆ, là lớn hơn hoặc bằng 120o, thì M ≡ A là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.

(ii) Nếu tất cả các góc của tam giác ABC đều nhỏ hơn 120o, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm M nhìn các cạnh BC, AC và AB của tam giác ABC dưới cùng một góc 120o

* (Điểm M đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác ABC.)

Trong bài toán (P), nếu D là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là một hàm lồi,

D = {x ∈ Rn: g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (9)

ở đó gi: Rn → R, i = 1, . . . , m, là các hàm lồi, hj: Rn → R, j = 1, . . . , s là các hàm affine, nghĩa là tồn tại aj ∈ Rn và αj ∈ R sao cho hj (x) = haj, xi + αj với mọi x ∈ Rn. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tươngứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong (9). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức m = 0 (tương ứng, s = 0) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong (9).

Định lý 0.0.6. (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng (P) là bài toán quy hoạch lồi với D được cho bởi (9). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên f, gi (i = 1, . . . , m) và hj (j = 1, . . . s) như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ z ∈ Rn sao cho

gi(z) < 0 với i = 1, . . . , m và hj (z) = 0 với j = 1, . . . , s. (10)

Khi đó, x¯ là một nghiệm của (P) khi và chỉ khi tồn tại m + s số thực λ1, . . . , λm, µ1, . . . , µs, được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với x¯, sao cho các điều kiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

(a) λi ≥ 0, gi(¯x) ≤ 0 và λifi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , m,

(b) hj (¯x) = 0 với j = 1, . . . , s,

(c) 0 ∈ ∂f(¯x) + Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µjaj.

Nhận xét rằng (10) là một điều kiện chuẩn hóa ràng buộc (còn được gọi là điều kiện chính quy ràng buộc, hay đơn giản là điều kiện chính quy) cho các bài toán hoạch lồi. Nếu s = 0 thì nó trở thành

∃z ∈ Rns.t. gi(z) < 0 với i = 1, . . . , m. (Điều kiện Slater)

Nếu m = 0 thì (10) tương đương với đòi hỏi rằng D là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện (10) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu f : Rn → R là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng f là một hàm C1 (tức là hàm thuộc lớp C1).

Ta gọi (P) là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu f : Rn → R là hàm C1 và D biểu diễn được dưới dạng (9), ở đó gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R (j = 1, . . . , s) là các hàm C1. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm f : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn nếu tồn tại hằng số ` ≥ 0 và lân cận U của x¯ sao cho

|f(x0) − f(x)| ≤ `kx0 − xk với mọi x, x0 thuộc U. (11)

Nếu f là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc Rn, thì f được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên Rn.

Nếu bất đẳng thức trong (11) đúng với mọi x, x0 ∈ C, ở đó C là một tập con của Rn, thì ta nói f là Lipschitz trên C với hệ số Lipschitz `.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của f tại x¯ theo hướng v ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức

f0(¯x; v) := lim sup x→x, t ¯ ↓0 f(x + tv) − f(x))t = sup n ξ ∈ R : ∃ các dãy xk → x¯ và tk → 0+ sao cho ξ = limk→+∞f(xk + tkv) − f(xk)tko.

===Dưới vi phân Clarke===

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯ được cho bởi công thức

∂f(¯x) := {x∗ ∈ Rn: f0(¯x; v) ≥ hx∗, vi với mọi v ∈ Rn}.

Định lý 0.0.7. ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)Cho f : Rn → R là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

(a) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn, thì

f0(¯x; v) = max{hx∗, vi : x∗ ∈ ∂f(¯x)}

với mọi v ∈ Rn.

(b) Nếu f là hàm C1, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và ∂f(¯x) = {∇f(¯x)}, f0(¯x; v) = h∇f(¯x), vi với mọi x¯ ∈ Rn và v ∈ Rn.

(c) Nếu f là lồi, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi x¯ ∈ Rn, dưới vi phân Clarke ∂f(¯x) trùng với dưới vi phân của f tại x¯theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, f0 (¯x; v) = f0 (¯x; v) với mỗi v ∈ Rn.

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng f0(¯x; v) tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho C ⊂ Rn là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke TC(x) của C tại x ∈ C là tập hợp tất cả các véctơ v ∈ Rn thỏa mãn d0 C(x; v) = 0, ở đó d0 C(x; v) ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

dC(z) := inf{ky − zk : y ∈ C}

tại x theo hướng v.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Phân loại các bài toán quy hoạch toán học

2021-04-28T07:59:56Z

Minhpc:

{{mới}}
Có nhiều cách để phân loại các bài toán [[quy hoạch toán học]]:
* Lồi đối lập với Không lồi
* Trơn đối lập với Không trơn
* Tuyến tính đối lập với Phi tuyến.

==Lồi và không lồi==

===Tập lồi===

Chúng ta nói rằng <math>D \subset \mathbb{R}^n</math> là một tập lồi nếu

:<math>(1 - t)x + ty \in D \text{ với mọi } x \in D, y \in D \text{ và } t \in (0, 1)</math>.

===Bao lồi===

Tập lồi nhỏ nhất chứa <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> được gọi là ''bao lồi'' của <math>\Omega</math> và được ký hiệu bởi <math>\text{co}\Omega</math>.

===Hàm lồi===

Một hàm <math>f : R^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lồi'' nếu ''tập trên đồ thị'' của nó,

{{NumBlk|:|<math>\text{epi}f := \{(x, \alpha) : x \in \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ge f(x)</math>|{{EquationRef|1}}}}

là một tập lồi trong không gian tích <math>\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}</math>.

===Hàm chính thường===

Hàm <math>f</math> được gọi là chính thường nếu <math>f(x) < +\infty</math> với ít nhất một phần tử <math>x \in \mathbb{R}^n</math> và <math>f(x) > -\infty</math> với mọi <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Hàm <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{\bar{R}}</math> được gọi là ''lõm'' nếu hàm <math>-f</math> được xác định bởi công thức <math>(-f)(x) = -f(x)</math> là lồi.

Theo các quy ước thường dùng (xem Rockafellar (1970), tr. 24),

:<math>\alpha + (+\infty) = (+\infty) + \alpha = +\infty \text{ với } -\infty < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha + (-\infty) = (-\infty) + \alpha = -\infty \text{ với } -\infty \le \alpha < +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = +\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = -\infty, \text{ với } 0 < \alpha \le +\infty</math>

:<math>\alpha(+\infty) = (+\infty)\alpha = -\infty, \alpha(-\infty) = (-\infty)\alpha = +\infty, \text{ với } -\infty \le \alpha < 0</math>

:<math>0(+\infty) = (+\infty)0 = 0 = 0(-\infty) = (-\infty)0,\ -(-\infty) = +\infty,\ \text{inf}\empty = +\infty,\ \text{sup}\empty = - \infty</math>.

Các tổ hợp <math>(+\infty) + (-\infty)</math> và <math>(-\infty) + (+\infty)</math> là vô nghĩa và sẽ được tránh sử dụng.

===Bất đẳng thức Jensen===

Từ định nghĩa hàm lồi và công thức ({{EquationNote|1}}) ta suy ra rằng hàm số <math>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup\{ +\infty \}</math> là lồi khi và chỉ khi

{{NumBlk|:|<math>f((1 - t)x + ty) \le (1 - t)f(x) + tf(y), \forall x, y \in \mathbb{R}^n, \forall t \in (0, 1).</math>|{{EquationRef|2}}}}

Tổng quát hơn, một hàm f : Rn → R ∪ {+∞} là lồi khi và chỉ khi

f(λ1x1 + · · · + λkxk) ≤ λ1f(x1) + · · · + λkf(xk) (bất đẳng thức Jensen)

với mọi x1, . . . , xk ∈ Rn và λ1 ≥ 0, . . . , λk ≥ 0, λ1 + · · · + λk = 1. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 4.3.)

===Hàm lồi chặt===

Giả sử rằng D ⊂ Rn là một tập lồi. Nếu bất đẳng thức trong (2) đúng với mọi x, y ∈ D và với mọi t ∈ (0, 1), thì ta nói f là lồi trên D. Nếu bất đẳng thức trong (2) nghiệm đúng như một bất đẳng thức chặt với mọi x, y ∈ D mà x 6= y và với mọi t ∈ (0, 1), thì ta nói f là lồi chặt trên D.

===Bài toán quy hoạch lồi===

Ta nói rằng (P) là bài toán quy hoạch lồi nếu D là tập lồi và f là hàm lồi. Nếu (P) bài toán quy hoạch lồi, thì

Sol(P) = loc(P). (3)

===Bài toán quy hoạch không lồi===

Nếu D là tập không lồi hoặc f là hàm không lồi, thì ta nói (P) là bài toán quy
hoạch không lồi.

Xét bài toán

min{f(x) = (x1 − c1)2 + (x2 − c2)2: x ∈ D}, (4)

ở đó D = {x = (x1, x2) ∈ R2 : x1 ≥ 0} ∪ {x = (x1, x2) : x2 ≥ 0} và c = (c1, c2) = (−2, −1). Nhận xét rằng f là lồi, trong khi D là không lồi. Rõ ràng rằng (4) là tương đương với bài toán sau đây:

min{kx − ck : x ∈ D}. (5)

Có thể thấy rằng tập nghiệm của (4) và (5) chỉ gồm một điểm (−2, 0), còn tập nghiệm địa phương gồm hai điểm: (−2, 0) và (0, −1). Điều này chứng tỏ rằng đẳng thức (3) nói chung không đúng với các bài toán quy hoạch không lồi.

Đặt f1(x) = −x + 2, f2(x) = x + 32 với mọi x ∈ R. Định nghĩa f(x) = min{f1(x), f2(x)} và chọn D = [0, 2] ⊂ R. Với hàm f và tập D đó, chúng ta có

Sol(P) = {2}, loc(P) = {0, 2};

tức là đẳng thức (3) không đúng cho bài toán trong ví dụ này. Ở đây, f là hàm không lồi và D là tập lồi.

Các hàm lồi có nhiều tính chất thú vị. Chẳng hạn, hàm lồi là liên tục tại mỗi điểm trong của miền hữu hiệu của nó và nó là khả vi theo hướng tại mỗi điểm thuộc miền đó.

===Miền hữu hiệu===

Đối với mỗi hàm số f : Rn → R, tập hợp

domf := {x ∈ Rn: −∞ < f(x) < +∞}

được gọi là miền hữu hiệu của f.

===Đạo hàm theo hướng===

Đối với một điểm x¯ ∈ domf và một véctơ v ∈ Rn, nếu giới hạn

f0(¯x; v) := limt↓0f(¯x + tv) − f(¯x)t

(có thể nhận các giá trị +∞ và −∞) tồn tại, thì f được gọi là khả vi theo hướng tại x¯ theo hướng v và giá trị f0 (¯x; v) được gọi là đạo hàm theo hướng của f tại x¯ theo hướng v. Nếu f0(¯x; v) tồn tại với mọi v ∈ Rn, thì f được gọi là khả vi theo hướng tại x¯.

Trong hai định lý tiếp theo đây, f : Rn → R ∪ {+∞} là một hàm lồi và chính thường.

Định lý 0.0.1. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 10.1) Nếu x¯ ∈ Rn và δ > 0 là điểm và số thực sao cho hình cầu mở B(¯x, δ) chứa trong domf, thì phần hạn chế của f trên B(¯x, δ) là một hàm số thực liên tục.

Định lý 0.0.2. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.1) Nếu x¯ ∈ domf, thì với mỗi v ∈ Rn giới hạn

f0(¯x; v) := limt↓0f(¯x + tv) − f(¯x)t

tồn tại, và ta có

f0(¯x; v) = inft>0f(¯x + tv) − f(¯x)t.

===Nón pháp tuyến===

Nón pháp tuyến ND(¯x) của tập lồi D ⊂ R
n tại một điểm x¯ ∈ Rn được cho bởi công thức

ND(¯x) =
{x∗ ∈ Rn: hx∗, x − x¯i ≤ 0 với mọi x ∈ D} nếu x¯ ∈ D
∅ nếu x / ¯ ∈ D.

===Dưới vi phân===

Dưới vi phân ∂f(¯x) của một hàm lồi f : Rn → R tại một điểm x¯ ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức

∂f(¯x) = {x∗ ∈ Rn: f(¯x) + hx∗, x − x¯i ≤ f(x) với mọi x ∈ Rn}.

===Phần trong tương đối===

Tập con M ⊂ Rn được gọi là một tập affine (a-phin) nếu tx + (1 − t)y ∈ M với mọi x ∈ M, y ∈ M và t ∈ R. Đối với một D ⊂ Rn, bao affine affD of D là tập affine nhỏ nhất chứa D. Phần trong tương đối của D được xác định bởi công thức

riD := {x ∈ D : ∃δ > 0 sao cho B(x, δ) ∩ affD ⊂ D}.

Định lý sau đây mô tả mối quan hệ giữa đạo hàm theo hướng và dưới vi phân của các hàm lồi.

Định lý 0.0.3. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.4) Cho f là một hàm lồi trên Rn. Nếu x /∈ domf, thì ∂f(x) là rỗng. Nếu x ∈ ri(domf), thì ∂f(x) là khác rỗng và

f0(x; v) = sup{hx ∗ , vi : x ∗ ∈ ∂f(x)}, ∀v ∈ Rn.

Ngoài ra, ∂f(x) là tập khác rỗng và giới nội khi và chỉ khi

x ∈ int(domf);

trong trường hợp đó, f0(x; v) là hữu hạn với mỗi v ∈ Rn.

Kết quả sau đây được gọi là Định lý Moreau-Rockafellar.

Định lý 0.0.4. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 23.8) Cho f = f1 + · · · + fk, ở đó f1, . . . , fk là các hàm lồi, chính thường trên Rn. Nếu

ki=1 ri(domfi) 6= ∅,

thì

∂f(x) = ∂f1(x) + · · · + ∂fk(x), ∀x ∈ Rn.

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho các bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau.

Định lý 0.0.5. (Xem Rockafellar (1970), Định lý 27.4) Giả sử rằng f là một hàm lồi, chính thường trên Rn và D ⊂ Rn là một tập lồi. Nếu bao hàm thức

0 ∈ ∂f(¯x) + ND(¯x) (6)

nghiệm đúng với x¯ ∈ Rn, thì x¯ là nghiệm của (P). Ngược lại, nếu

ri(domf) ∩ riD 6= ∅, (7)

thì (6) là điều kiện cần và đủ cho x¯ ∈ Rn là nghiệm của (P). Nói riêng ra, nếu D = Rn, thì x¯ là một nghiệm của (P) khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(¯x).

Bao hàm thức (6) có nghĩa là tồn tại x∗ ∈ ∂f(¯x) và u∗ ∈ ND(¯x) sao cho 0 = x∗ + u∗. Nhận xét rằng (7) là một điều kiện chính quy cho bài toán quy hạch lồi có dạng (P).

Định lý 0.0.5 là công cụ hiệu quả để giải nhiều bài toán quy hoạch lồi. Chúng ta có thể minh họa điều đó bằng cách xét ví dụ sau đây.

===Điểm Fermat===

Cho A, B, C là ba điểm trong không gian hai chiều R2 với các tọa độ tương ứng là

a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2).

Giả sử rằng không tồn tại đường thẳng nào chứa tất cả ba điểm đó. Bài toán đặt ra là tìm một điểm M trong R2 với các tọa độ x¯ = (¯x1, x¯2) sao cho tổng khoảng cách từ M tới A, B và C là tối thiểu. Điều đó có nghĩa rằng x¯ là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi không có ràng buộc sau:

min{f(x) := kx − ak + kx − bk + kx − ck : x ∈ R2}. (8)

Sử dụng định lý Weierstrass và tính lồi chặt của f(x) trên R2, ta có thể chứng tỏ rằng (8) có duy nhất nghiệm; xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 11–13. Để ý rằng f = f1+f2+f3, ở đó f1(x) = kx−ak, f2(x) = kx−bk, f3(x) = kx−ck. Theo Định lý 0.0.5, x¯ là nghiệm của (8) khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(¯x). Vì domfi = R2 (i = 1, 2, 3), sử dụng Định lý 0.0.4 ta có thể viết bao hàm thức cuối dưới dạng

0 ∈ ∂f1(¯x) + ∂f2(¯x) + ∂f3(¯x).

Tiếp theo, bằng cách tính toán các dưới vi phân (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 10), ta có thể xác định được điểm x¯ là nghiệm duy nhất của bao hàm thức này. Trong ngôn ngữ của Hình học Euclide, ta có các kết luận sau:

(i) Nếu một trong ba góc của tam giác ABC, ví dụ như góc Aˆ, là lớn hơn hoặc bằng 120o, thì M ≡ A là nghiệm duy nhất của bài toán đang được xét.

(ii) Nếu tất cả các góc của tam giác ABC đều nhỏ hơn 120o, thì nghiệm duy nhất của bài toán là điểm M nhìn các cạnh BC, AC và AB của tam giác ABC dưới cùng một góc 120o

* (Điểm M đặc biệt này được gọi là điểm Fermat hay điểm Torricelli (xem Weisstein (1999)). Có thể chứng tỏ rằng điểm Fermat thuộc phần trong của tam giác ABC.)

Trong bài toán (P), nếu D là tập nhiệm của một hệ các phương trình và bất phương trình, thì điều kiện tối ưu bậc nhất có thể viết được ở dạng có sử dụng các nhân tử Lagrange.

Chúng ta hãy xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là một hàm lồi,

D = {x ∈ Rn: g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (9)

ở đó gi: Rn → R, i = 1, . . . , m, là các hàm lồi, hj: Rn → R, j = 1, . . . , s là các hàm affine, nghĩa là tồn tại aj ∈ Rn và αj ∈ R sao cho hj (x) = haj, xi + αj với mọi x ∈ Rn. Chúng ta chấp nhận rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tươngứng, các ràng buộc bất đẳng thức) có thể không có mặt trong (9). Để cho gọn, chúng ta sử dụng cách viết hình thức m = 0 (tương ứng, s = 0) để chỉ rằng các ràng buộc bất đẳng thức (tương ứng, các ràng buộc bất đẳng thức) không có mặt trong (9).

Định lý 0.0.6. (Định lý Kuhn-Tucker cho các bài toán quy hoạch lồi; xem Rockafellar (1970), tr. 283) Giả sử rằng (P) là bài toán quy hoạch lồi với D được cho bởi (9). Giả sử rằng các giả thiết đặt lên f, gi (i = 1, . . . , m) và hj (j = 1, . . . s) như đã nói ở trên được thỏa mãn. Giả sử rằng tồn tại véctơ z ∈ Rn sao cho

gi(z) < 0 với i = 1, . . . , m và hj (z) = 0 với j = 1, . . . , s. (10)

Khi đó, x¯ là một nghiệm của (P) khi và chỉ khi tồn tại m + s số thực λ1, . . . , λm, µ1, . . . , µs, được gọi là các nhân tử Langrange tương ứng với x¯, sao cho các điều kiện Kuhn-Tucker sau đây được thỏa mãn:

(a) λi ≥ 0, gi(¯x) ≤ 0 và λifi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , m,

(b) hj (¯x) = 0 với j = 1, . . . , s,

(c) 0 ∈ ∂f(¯x) + Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µjaj.

Nhận xét rằng (10) là một điều kiện chuẩn hóa ràng buộc (còn được gọi là điều kiện chính quy ràng buộc, hay đơn giản là điều kiện chính quy) cho các bài toán hoạch lồi. Nếu s = 0 thì nó trở thành

∃z ∈ Rns.t. gi(z) < 0 với i = 1, . . . , m. (Điều kiện Slater)

Nếu m = 0 thì (10) tương đương với đòi hỏi rằng D là khác rỗng. Trên thực tế, trong trường hợp đó, có thể bỏ qua điều kiện (10) trong phát biểu của Định lý 0.0.6.

==Trơn và không trơn==
===Định nghĩa===
Để cho gọn, nếu f : Rn → R là hàm khả vi Fréchet liên tục, thì ta nói rằng f là một hàm C1 (tức là hàm thuộc lớp C1).

Ta gọi (P) là bài toán quy hoạch toán học trơn nếu f : Rn → R là hàm C1 và D biểu diễn được dưới dạng (9), ở đó gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R (j = 1, . . . , s) là các hàm C1. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch toán học không trơn.

===Hàm Lipschitz địa phương===

Một hàm f : Rn → R được gọi là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn nếu tồn tại hằng số ` ≥ 0 và lân cận U của x¯ sao cho

|f(x0) − f(x)| ≤ `kx0 − xk với mọi x, x0 thuộc U. (11)

Nếu f là Lipschitz địa phương tại mỗi điểm thuộc Rn, thì f được gọi là hàm số Lipschitz địa phương trên Rn.

Nếu bất đẳng thức trong (11) đúng với mọi x, x0 ∈ C, ở đó C là một tập con của Rn, thì ta nói f là Lipschitz trên C với hệ số Lipschitz `.

===Đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke===

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯, thì đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của f tại x¯ theo hướng v ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức

f0(¯x; v) := lim sup x→x, t ¯ ↓0 f(x + tv) − f(x))t = sup n ξ ∈ R : ∃ các dãy xk → x¯ và tk → 0+ sao cho ξ = limk→+∞f(xk + tkv) − f(xk)tko.

===Dưới vi phân Clarke===

Dưới vi phân Clarke của f tại x¯ được cho bởi công thức

∂f(¯x) := {x∗ ∈ Rn: f0(¯x; v) ≥ hx∗, vi với mọi v ∈ Rn}.

Định lý 0.0.7. ( Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.1.2, 2.2.4, 2.2.6 và 2.2.7)Cho f : Rn → R là một hàm số thực. Khi đó, các khẳng định sau đây nghiệm đúng:

(a) Nếu f là Lipschitz địa phương tại x¯ ∈ Rn, thì

f0(¯x; v) = max{hx∗, vi : x∗ ∈ ∂f(¯x)}

với mọi v ∈ Rn.

(b) Nếu f là hàm C1, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và ∂f(¯x) = {∇f(¯x)}, f0(¯x; v) = h∇f(¯x), vi với mọi x¯ ∈ Rn và v ∈ Rn.

(c) Nếu f là lồi, thì f là hàm số Lipschitz địa phương và, với mỗi x¯ ∈ Rn, dưới vi phân Clarke ∂f(¯x) trùng với dưới vi phân của f tại x¯theo nghĩa Giải tích lồi, tức là dưới vi phân được định nghĩa bởi . Ngoài ra, f0 (¯x; v) = f0 (¯x; v) với mỗi v ∈ Rn.

Liên quan đến khẳng định (c) ở trên, chúng ta lưu ý rằng, đạo hàm theo hướng f0(¯x; v) tồn tại (xem Định lý 0.0.2).

===Nón tiếp tuyến Clarke===

Cho C ⊂ Rn là tập con khác rỗng. Nón tiếp tuyến Clarke TC(x) của C tại x ∈ C là tập hợp tất cả các véctơ v ∈ Rn thỏa mãn d0 C(x; v) = 0, ở đó d0 C(x; v) ký hiệu đạo hàm theo hướng suy rộng theo nghĩa Clarke của hàm số Lipschitz

dC(z) := inf{ky − zk : y ∈ C}

tại x theo hướng v.

===Nón pháp tuyến Clarke===

Nón pháp tuyến Clarke NC(x) của C tại x được định nghĩa là nón đối ngẫu của TC(x), tức là

NC(x) = {x∗ ∈ Rn: hx∗, vi ≤ 0 với mọi v ∈ TC(x)}.

Định lý 0.0.8. (Xem Clarke (1983), các Mệnh đề 2.4.3, 2.4.4 và 2.4.5) Với mỗi tập con khác rỗng C ⊂ Rn và với mỗi điểm x ∈ C, các khẳng định sau nghiệm đúng:

(a) NC(x) = n∪t≥0 t∂dC(x)o.

(b) Nếu C là lồi, thì NC(x) trùng với nón pháp tuyến của C tại x được định nghĩa bởi công thức , và TC(x) trùng với bao đóng tôpô của hình nón

cone(C − x) := {tz : t ≥ 0, z ∈ C − x}.

(c) Bao hàm thức v ∈ TC(x) nghiệm đúng khi và chỉ khi với mỗi dãy điểm xk trong C hội tụ đến x và dãy số tk trong (0, +∞) hội tụ đến 0, tồn tại dãy véctơ vk trong Rn hội tụ đến v sao cho xk + tkvk ∈ C với mọi k.

Xét bài toán (P) dưới các giả thiết f : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương,

D = {x ∈ C : g1(x) ≤ 0, . . . , gm(x) ≤ 0, h1(x) = 0, . . . , hs(x) = 0}, (12)

với C ⊂ Rn là tập khác rỗng, gi: Rn → R (i = 1, . . . , m) và hj: Rn → R(j = 1, . . . , s) là các hàm Lipschitz địa phương.

Định lý 0.0.9. (Xem Clarke (1983), Định lý 6.1.1 và Nhận xét 6.1.2) Nếu x¯ là nghiệm địa phương của (P), thì tồn tại m + s + 1 số thực λ0 ≥ 0, λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1, . . . , µs, không đồng thời bằng 0, sao cho

0 ∈ λ0∂f(¯x) +Xm i=1 λi∂gi(¯x) +Xs j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x) (13)

và

λigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (14)

===Điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John===

Định lý trên phát biểu điều kiện cần tối ưu bậc nhất ở dạng Fritz-John cho một lớp bài toán không trơn. Dưới những điều kiện chính quy ràng buộc thích hợp, nhân tử λ0 tương ứng với hàm mục tiêu f là dương. Trong trường hợp đó, bằng cách chia cả hai vế của bao hàm thức trong (13) và các đẳng thức trong (14) cho λ0, và đặt λei = λi/λ0 cho mỗi i = 1, . . . , m, µej = µj/λ0 cho mỗi j = 1, . . . , s, chúng ta thu được

0 ∈ ∂f(¯x) +Xmi=1λei∂gi(¯x) +X s j=1 µej∂hj (¯x) + NC(¯x) (15)

và

λeigi(¯x) = 0 với mọi i = 1, 2, . . . , m. (16)

Tương tự như trong trường hợp các bài toán quy hoạch lồi (Định lý 1.6), nếu x¯ ∈ D và (15), (16) nhiệm đúng, thì các số λe1 ≥ 0, . . . , λem ≥ 0, µe1 ∈ R, . . . , µes ∈ R được gọi là các nhân tử Lagrange tương ứng với x¯.

Hai quy tắc nhân tử Lagrange sau đây suy ra từ Định lý 0.0.9 (xem Clarke(1983), tr. 234–236).

Hệ quả 0.0.1. Nếu x¯ là một nghiệm địa phương của (P) và nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc

h0 ∈Xmi=1λi∂gi(¯x) +Xsj=1µj∂hj (¯x) + NC(¯x),

λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R;

λigi(¯x) = 0 với i = 1, . . . , mi

=⇒[λ1 = · · · = λm = 0, µ1 = · · · = µs = 0i]

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 ∈ ∂f(¯x) +X m i=1 λi∂gi(¯x) +X s j=1 µj∂hj (¯x) + NC(¯x).

Hệ quả 0.0.2. Giả sử rằng x¯ là một nghiệm địa phương của bài toán quy hoạch trơn (P), ở đó D được cho bởi công thức (9). Nếu điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (viết tắt: (MFCQ))

Các véctơ {∇hj (¯x) : j = 1, . . . , s} là độc lập tuyến tính,

và tồn tại v ∈ Rn sao cho h∇hj (¯x), vi = 0

với mỗi j = 1, . . . , s, và h∇gi(¯x), vi < 0

với mỗi i = 1, . . . , m thỏa mãn gi(¯x) = 0

được thỏa mãn, thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ1 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, µ1 ∈ R, . . . , µs ∈ R sao cho λigi(¯x) = 0 với i = 1, 2, . . . , m, và

0 = ∇f(¯x) +X m i=1 λi∇gi(¯x) +X s j=1 µj∇hj (¯x).

Sử dụng Định lý 0.0.9 ta dễ dàng chứng minh được quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch lồi đã được phát biểu trong Định lý 0.0.6 (xem Lee, Tam, Yen (2005), tr. 18–19).

==Tuyến tính và phi tuyến==

===Tập lồi đa diện===

Tập hợp D ⊂ Rn được gọi là tập lồi đa diện nếu như ta có thể biểu diễn D dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của R n; nghĩa là tồn tại các véctơ khác không a1, . . . , am ∈ Rn và các số thực β1, . . . , βm sao cho

D = {x ∈ Rn : hai , xi ≥ βi với i = 1, . . . , m}. (17)

Nói một cách khác, D là tập nghiệm của một hệ gồm hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính. (Chúng ta quy ước rằng giao của một họ rỗng của các nửa không gian đóng của Rn là Rn. Vì thế, D = Rn cũng là một tập lồi đa diện.)

===Điểm cực biên===

Một điểm x ∈ D được gọi là điểm cực biên của D nếu như không thể nào biểu diễn x dưới dạng x = (1 − t)y + tz, ở đó y ∈ D, z ∈ D, y 6= z, và t ∈ (0, 1). Tập hợp tất cả các điểm cực biên của D được ký hiệu bởi extrD. Ký hiệu bởi A ma trận cấp m × n với các phần tử aij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), ở đó aij là thành phần thứ j của véctơ ai. Đặt b = (β1, . . . , βm) ∈ Rm. Khi đó, ta có thể viết lại (17) như sau:

D = {x ∈ Rn: Ax ≥ b}.

Từ đây về sau, đối với hai véctơ tùy ý y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm và z = (z1, . . . , zm) ∈ R m, ta viết y ≥ z nếu yi ≥ zi với i = 1, . . . , m. Ta sẽ viết y > z nếu yi > zi với mọi i = 1, . . . , m. Vì

{x ∈ Rn: Ax = b} = {x ∈ Rn: Ax ≥ b, (−A)x ≥ −b},

ta suy ra rằng {x ∈ Rn: Ax = b} là một tập lồi đa diện.

===Bài toán quy hoạch tuyến tính===

Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính nếu D là tập lồi đa diện và f(x) là phiếm hàm tuyến tính. Ngược lại, (P) được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến.

Có ba dạng điển hình của bài toán quy hoạch tuyến:

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax = b, x ≥ 0},

min{f(x) = hc, xi : x ∈ Rn, Ax ≥ b, Cx = d};

chúng được gọi tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát. Ở
đây, A ∈ Rm×n, C ∈ Rs×n là các ma trận cho trước, c ∈ Rn, b ∈ Rm và d ∈ Rs là các véctơ cho trước.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn:

min nx1 +12x2 : x = (x1, x2), x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0o.

Dễ kiểm tra rằng Sol(P) = {(0, 1)}. Nhận xét rằng tập ràng buộc

D = {x ∈ R2: x1 + x2 ≥ 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}

có hai điểm cực biên, cụ thể là extr = {(1, 0), (0, 1)}. Một trong hai điểm đó là nghiệm của bài toán được xét.

===Bài toán đối ngẫu===

Bài toán đối ngẫu của các bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, dạng chính tắc, và dạng tổng quát, tương ứng là:

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy = c, y ≥ 0},

max{hb, yi : y ∈ Rm, ATy ≤ c},

max{hb, yi + hd, zi : (y, z) ∈ Rm × Rs, ATy + CTz = c, y ≥ 0}.

Vì bài toán quy hoạch tuyến tính cũng là một bài toán quy hoạch lồi, nên nó có tất cả các tính chất của bài toán quy hạch lồi. Ngoài ra, bài toán quy hoạch tuyến tính còn có những tính chất đặc biệt khác.

Định lý 0.0.10. (Xem Dantzig (1963)) Cho (P) là bài toán quy hoạch tuyến tính ở một trong các dạng điển hình. Các tính chất sau đây nghiệm đúng:

(i) Nếu tập ràng buộc là khác rỗng và nếu v(P) > −∞, thì Sol(P) là tập lồi đa diện khác rỗng.

(ii) Nếu cả hai tập extrD và Sol(P) đều khác rỗng, thì giao extrD ∩ Sol(P) cũng là khác rỗng.

(iii) Nếu rankA = n và tập D := {x ∈ Rn: Ax = b, x ≥ 0} là khác rỗng, thì D phải có ít nhất một điểm cực biên.

(iv) Giá trị tối ưu v(P) của (P) và giá trị tối ưu v(P0) of của bài toán đối ngẫu(P0) của (P) là bằng nhau, nếu như tập ràng buộc của ít nhất là một trong hai bài toán là khác rỗng.

==Tham khảo==
*Lee, Tam, Yen (2005), Chương 1.

Giải tích hàm

2021-04-27T06:52:21Z

Minhpc:

{{mới}}
Giải tích hàm là một nhánh của giải tích toán học hiện đại nghiên cứu hàm số <math>y = f(x)</math> mà ít nhất một trong các biến số <math>x</math> hoặc <math>y</math> biến thiên trong một không gian vô hạn chiều. Nhìn chung, các nghiên cứu trong giải tích hàm có thể chia thành ba phần: 1) Giới thiệu và nghiên cứu các không gian vô hạn chiều; 2) Nghiên cứu về các hàm số đơn giản nhất, tức là, khi <math>x</math> nhận giá trị trong không gian vô hạn chiều và <math>y</math> nhận giá trị trong không gian một chiều, còn được gọi là các phiếm hàm (xem Phiếm hàm); và 3) Nghiên cứu về các hàm số tổng quát có dạng nhất định được gọi là toán tử (xem Toán tử). Các toán tử tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ nhất. Lý thuyết toán tử tuyến tính là sự tổng quát của đại số tuyến tính cho trường hợp vô hạn chiều. Sự kết hợp của các phương pháp giải tích cổ điển và đại số là đặc trưng cho các phương pháp của giải tích hàm, thể hiện sự liên quan chặt chẽ giữa hai lĩnh vực dường như rất khác của toán học.

Như là một môn toán học độc lập, giải tích hàm bắt đầu hình thành vào cuối thế kỷ 19, và được định hình vào những năm 1920 và 1930, một mặt dưới ảnh hưởng của việc nghiên cứu các lớp đặc biệt của toán tử tuyến tính - các toán tử tích phân và các phương trình tích phân có liên quan, và mặt khác dưới ảnh hưởng của sự phát triển thuần túy nội tại của toán học hiện đại. Cơ học lượng tử cũng có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của giải tích hàm, vì các khái niệm cơ bản của nó, ví dụ như năng lượng là các toán tử tuyến tính (mà lúc đầu các nhà vật lý giải thích một cách lỏng lẻo là các ma trận vô hạn) trên không gian vô hạn chiều. Thuật ngữ "phiếm hàm" có nguồn gốc từ các phép tính biến phân. Hàm có đối số là một hàm lần đầu tiên được sử dụng trong cuốn sách của Hadamard vào năm 1910. Tuy nhiên, khái niệm chung của phiếm hàm đã được đề cập trước đó, vào năm 1887 bởi nhà toán học và vật lý người Ý Volterra. Lý thuyết về phiếm hàm phi tuyến được tiếp tục bởi các học trò của Hadamard là Fréchet và Lévy. Hadamard cũng thành lập trường phái hiện đại về giải tích hàm tuyến tính mà sau đó được phát triển bởi Riesz và nhóm toán học Ba Lan đứng đầu là Banach.

==Khái niệm về không gian==

Không gian vector tô pô ( xem Không gian vector tô pô) là không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm. Đây là các không gian vector (tuyến tính) <math>X</math> trên trường các số phức <math>\mathbb{C}</math> (hoặc bất kỳ trường nào khác, ví dụ số thực <math>\mathbb{R}</math>) đồng thời là không gian tô pô có cấu trúc tuyến tính và cấu trúc tô pô tương thích với nhau theo nghĩa các phép tính tuyến tính liên tục trong tô pô của không gian này. Nếu <math>X</math> là một không gian số metric, thì khi đó chúng ta một không gian vector metric.

Một trường hợp đặc biệt của không gian vector tô pô nhưng rất quan trọng khi khái niệm về chuẩn <math>\lVert x \rVert</math> (chiều dài) của một vector được định nghĩa bằng tiên đề. Một không gian vector với một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn (xem Không gian định chuẩn). Nó có thể được metric hoá băng cách xác định metric dựa trên chuẩn: <math>\rho (x, y) := \lVert x - y \rVert</math>. Một không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach (xem Không gian Banach) nếu nó đầy đối với metric được sinh ra bởi chuẩn.

Trong rất nhiều không gian vector chúng ta có thể định nghĩa tích vô hướng (xem Tich vô hướng) <math>(x, y)</math> đối với hai vector bất kỳ <math>x</math> và <math>y</math>. Tích vô hướng này là tổng quát hóa của tích vô hướng thông thường trong không gian Euclid ba chiều. Một không gian vector với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Đây là một trường hợp đặc biệt của không gian chuẩn với chuẩn được định nghĩa là <math>\lVert x \rVert := \sqrt{(x, x)}</math>. Nếu không gian này đầy, thì nó được gọi là không gian Hilbert (xem Không gian Hilbert).

Các không gian vô hạn chiều được nghiên cứu trong giải tích hàm, tức là các không gian trong đó có một tập hợp vô hạn các vector tuyến tính độc lập.

Trên quan điểm hình học, không gian định chuẩn đơn giản nhất là không gian Hilbert <math>H</math>, có các thuộc tính hầu hết giống với không gian hữu hạn chiều, vì trong không gian Hilbert chúng ta có thể đưa ra một khái niệm tương tự như góc giữa hai vector qua tích vô hướng. Đặc biệt, hai vector <math>x</math> và <math>y</math> được cho là trực giao: <math>x \bot y</math>, nếu <math>(x, y) = 0</math>. Chúng ta có khẳng định sau: Cho <math>G</math> là một không gian con của <math>H</math>, khi hình chiếu <math>x_G</math> của một vector bất kỳ <math>x</math> lên <math>G</math> là một vector sao cho <math>x - x_G</math> trực giao với mọi vector trong <math>G</math>. Do tính chất hình học này, một số lượng lớn các cấu trúc hình học có trong không gian hữu hạn chiều có thể được chuyển cho không gian Hilbert là một đối tương nghiên cứu mang đặc tính giải tích.

Các vấn đề về cấu trúc hình học trở nên phức tạp hơn khi chúng ta đi từ không gian Hilbert đến không gian Banach, và các không gian vector tô pô, vì phép chiếu trực giao không có nghĩa trong các không gian này. Ví dụ, trong không gian <math>\varphi_p (\mathbb{N}, 1 \le p \le \infty)</math>, các vectơ <math>e_n := (0, ..., 0, 1, 0, ...)</math> tạo thành một cơ sở theo nghĩa mỗi vector <math>x \in \varphi_p(\mathbb{N})</math> có thể biểu diễn "theo toạ độ":

:<math>x = \sum_{n = 1}^{\infty}x_ne_n</math>.

Việc xây dựng cơ sở cho không gian <math>C[a, b]</math> đã trở nên phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng một cơ sở cho tất cả các không gian Banach quen thuộc. Vậy liệu có tồn tại một cơ sở trong mỗi không gian Banach không? Vấn đề này, bất chấp những nỗ lực của nhiều nhà toán học, đã không có lời giải trong hơn 40 năm và lời giải phủ định chỉ được tìm ra vào năm 1972 (xem [23]). Trong giải tích hàm, các chủ đề "hình học" chiếm một vị trí quan trọng. Các chủ đề này có mục đích làm rõ các tính chất của các tập hợp khác nhau trong không gian Banach và các không gian khác, ví dụ như các tập hợp lồi, các tập hợp compact,...

Các không gian hàm cụ thể mà chúng ta biết đén đã được nghiên cứu chi tiết, vì tính chất của các không gian này thường xác định đặc tính của lời giải cho một vấn đề bằng các phương pháp giải tích hàm. Các định lý nhúng đối với các không gian Sobolev (xem Không gian Sobolev), và các tổng quát hóa khác nhau của chúng, có thể là một ví dụ.

Gắn liền với nhu cầu của vật lý toán hiện đại, một số lượng lớn không gian cụ thể đã xuất hiện. Những không gian này thường được xây dựng từ không gian ban đầu bằng cách sử dụng các cấu trúc và phép biến đổi nhất định. Dưới đây là một số cấu trúc phổ biến và đơn giản nhất.

# Tổng trực giao <math>H = \bigoplus_{n = 1}^{\infty} H_n</math> của các không gian Hilbert <math>H_n</math>.
# Thương của một không gian: Cho <math>(x, y)</math> là một tích vô hương suy biến trong không gian vector <math>X</math> (có nghĩa là <math>(x, x) = 0</math> có thể xảy ra khi <math>x \ne 0</math>); không gian Hilbert thương <math>H</math> được định nghĩa là <math>X</math> đã được làm đầy sau khi tất cả các vector <math>x</math> với <math>(x, x) = 0</math> được đồng nhất với vector <math>0 \in H</math>.
# Tích tensor <math>H = \bigoplus_{n = 1}^{\infty} H_n</math> của các không gian Hilbert <math>H_n</math>.

==Phiếm hàm==

Trong giải tích hàm, việc nghiên cứu các phiếm hàm liên tục và các phiếm hàm tuyến tính đóng một vai trò thiết yếu (xem Phiếm hàm liên tục, Phiếm hàm tuyến tính). Tính chất của các phiếm hàm này có liên quan chặt chẽ với các tính chất của không gian ban đầu.

Cho <math>X</math> là một không gian Banach và <math>X^*</math> là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên <math>X</math>. Khi đó <math>X^*</math> là không gian vector đối với các phép tính cộng và nhan với một số thông thường. Tập hợp <math>X^*</math> sẽ trở thành một không gian Banach nếu ta đưa ra định nghĩa chuẩn như sau

:<math>\lVert x^* \rVert := \sup_{x \in X, \lVert x \rVert \le 1} \lVert \langle x^*, x \rangle \rVert</math>,

ở đây <math>\langle x^*, x \rangle</math> là giá trị của phiếm hàm <math>x^*</math> tại <math>x</math>. Không gian <math>X^*</math> được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của <math>X</math> (xem Không gian liên hợp).

Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng

:<math>\langle x^*, x \rangle = \sum_{n = 1}^{d} x_{n}^* x_n</math>

với <math>d</math> là số chiều của <math>X</math>, <math>x_n</math> là toạ độ của <math>x</math> và <math>x_n^*</math> là các số được xác đinh bởi phiếm hàm <math>X^*</math>. Công thức này còn đúng trong không gian Hilbert <math>H</math>: Theo định lý Riesz, đối với mọi phiến hàm tuyến tính liên tục <math>x^* \in X^*</math>, tồn tại một phần tử <math>a \in X</math>, sao cho <math>\langle x^*, x \rangle = (a, x) </math> Công thức này cho thấy không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.

Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng

:<math>X^{**} := (X^*)^*, X^{***} := ((X^*)^*)^*, ...</math>

nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ <math>X</math> vào <math>X^{**}</math> đặt tướng ứng phần tử <math>x^{**} \in X^{**}</math>x∗∗ ∈ X∗∗ với mọi phần tử <math>x \in X</math> theo công thức <math>\langle x^{**}, x^* \rangle = \langle x^*, x \rangle </math>. Các không gian <math>X</math> có <math>X^{**} = X</math> được gọi là không gian phản xạ. Nói chung, trong trường hợp không gian Banach, ngay cả sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính không tầm thường (nghĩa là, không đồng nhất bằng 0) cũng không phải là một vấn đề đơn giản. Vấn đề này dễ dàng được giải quyết một cách khẳng định nhờ có định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach).

Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng).

==Toán tử==

Một trong những đối tượng chính của các nghiên cứu trong giải tích hàm là toán tử <math>A</math> từ không gian vector tô pô <math>X</math> vào không gian vector tô pô <math>Y</math> (phần lớn, <math>X</math> và <math>Y</math> là định chuẩn hay Hilbert), trước tiên là cả các toán tử tuyến tính (xem Toán tử tuyến tính).

Khi <math>X</math> và <math>Y</math> có <math>d</math> chiều hữu hạn, toán tử tuyến tính <math>A</math> có dạng

:<math>(Ax)_j =\sum^d_{n=1} a_{jn}x_n,</math>

ở đây <math>x_1, ... x_d</math> là toạ độ của vector <math>x</math> đối với một cơ sở nhất định, và <math>A(x)_1, ..., (Ax)_d</math> là toạ độ của vector <math>y = Ax</math>. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, mỗi toán tử tuyến tính đối với các cơ sở xác định trong <math>X</math> và <math>Y</math> , có một ma trận tương ứng <math>(a_{ij})^d_{i, j = 1}</math>. Việc nghiên cứu những toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều thuộc về đại số tuyến tinh (xem Đại số tuyến tính).

Tình hình trở nên phức tạp hơn khi <math>X</math> và <math>Y</math> là không gian vô hạn chiều (thậm chí cả khi là không gian Hilbert). Trước hết, hai lớp toán tử xuất hiện ở đây: các toán tử liên tục hay toán tử bị chặn) và toán tử không liên tục. Các toán tử loại đầu tiên là đơn giản hơn, nhưng loại thứ hai lại hay gặp hơn, ví dụ: các toán tử vi phân là toán tử không liên tục.

Lớp quan trọng (nhất là đối với cơ học lượng tử) của các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert đã được nghiên cứu hầu như triệt để (xem Toán tử tự liên hợp).

Trong số các lớp đặc biệt của các toán tử trên một không gian Banach, các toán tử liên tục hoàn toàn hoặc toán tử compact (xem Toán tử liên tục hoàn toàn, Toán tử compact) có vai trò quan trọng nhất. Nếu <math>A</math> là một toán tử compact, thì phương trình <math>x - Ax = y</math> (với <math>y</math> là một vector cho trước và <math>x</math> là vector cần tìm) đã được nghiên cứu kỹ. Các khẳng định tương tự đối với phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều cũng đúng đối với phương trình này (còn được gọi là lý thuyết Fredholm). Đối với toán tử compact <math>A</math>, người ta nghiên cứu điều kiện để các vector vector riêng của <math>A</math> và các vector liên quan của chúng trù mật trong <math>X</math>, nghĩa là, bất kỳ vector nào có thể được xấp xỉ bằng các tổ hợp tuyến tính của vector riêng và vector có liên quan,...

==Các kết quả cơ bản==

Bây giờ chúng ta sẽ điểm qua một số kết quả cơ bản quan trọng nhất của giải tích hàm. Đó là định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, định lý ánh xạ mở Banach-Schauder và đinh lý đồ thị đóng.

Trước tiên là định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach). Định lý HahnBanach là một công cụ trung tâm trong giải tích hàm. Nó cho phép mở rộng các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, được xác định trên một không gian con của không gian vector ra toàn bộ không gian, và nó cũng cho thấy rằng có "đủ" phiếm hàm tuyến tính liên tục được xác định trên mỗi không gian định chuẩn để nghiên cứu không gian liên hợp của nó trở nên đáng được quan tâm. Chúng ta có định lý sau đây.

'''Định lý Hahn-Banach.''' Nếu <math>p : X \to \mathbb{R}</math> là một hàm dưới tuyến tính xác định trên không gian vector thực <math>X</math>, và <math>\varphi</math> là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian con <math>Y</math> của <math>X</math> sao cho

:<math>\varphi(x) \le p(x) \forall x \in X,</math>

thì tồn tại một hàm tuyến tính <math>/lambda</math> xác đinh trên toàn bộ không gian <math>X</math> sao cho

<math>\lambda (x) = \varphi (x) \forall x \in Y, \lambda (x) \le p(x) \forall x \in X</math>.

Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, hay còn được gọi là Định lý BanachSteinhaus (xem Định lý Banach-Steinhaus). Nguyên lý này khẳng định rằng đối với một họ các toán tử tuyến tính liên tục (và do đó bị chặn) có miền xác định là một không gian Banach, sự bị chặn theo từng điểm tương đương với sự bị chặn đều theo chuẩn. Định lý này được công bố lần đầu tiên vào năm 1927 bởi Stefan Banach và Hugo Steinhaus, nhưng nó cũng đã được Hans Hahn chứng minh một cách độc lập. Cụ thể hơn, chúng ta có định lý sau đây.

'''Định lý Banach-Steinhaus.''' Cho <math>X</math> là không gian Banach và <math>Y</math> là một không gian véc tơ định chuẩn. Giả sử <math>F</math> là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ <math>X</math> đến <math>Y</math> . Nếu với mọi <math>x \ in X</math> ta có

:<math>\text{sup}_{T \in F} \lVert T(x) \rVert _Y < \infty</math>, (4)

khi đó

:<math>\text{sup}_{T \in F} \lVert T(x) \rVert _{B(X, Y)} < \infty</math>. (5)

Định lý lập ánh xạ mở [sửa] Bài chi tiết: Định lý lập ánh xạ mở. Định lý lập ánh xạ mở, hay còn được gọi là định lý Banach-Schauder (được đặt tên theo Stefan Banach và Juliusz Schauder), là một kết quả cơ bản cho biết nếu một toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach là một phép tính thì đó là một ánh xạ mở. Cụ thể hơn,: [2]

'''Định lý ánh xạ mở.''' Nếu <math>X</math> và <math>Y</math> là không gian Banach và <math>A : X \to Y</math> là toán tử tuyến tính liên tục từ <math>X</math> lên <math>Y</math>, thì <math>A</math> là một ánh xạ mở, tức là, nếu <math>U</math> là tập hợp mở trong <math>X</math>, thì <math>A(U)</math> là tập hợp mở trong <math>Y</math>.

'''Định lý đồ thị đóng.''' Bài chi tiết: Định lý đồ thị đóng Định lý đồ thị khép kín nói lên điều sau: Nếu <math>X</math> là không gian tô pô và <math>Y</math> là một không gian compact Hausdorff, thì đồ thị của một ánh xạ tuyến tính <math>A</math> từ <math>X</math> đến <math>Y</math> đóng khi và chỉ khi <math>A</math> là liên tục [3].

==Tài liệu tham khảo==

* N. I. [N. I. Akhiezer] Ahiezer, Theory of linear operators in Hilbert space, 1–2 , Pitman, 1984 (Translated from Russian).

* S. S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner, 1932.

* S. S. Banach, A course of functional analysis, Kiev, 1948 (In Ukrainian).

* N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces, Springer, 1987 (Translated from French).

* J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer, 1985.

* N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators, 1–3 , Interscience, 1958–1971.

* P. Enflo,¨ A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta. Math. , 130 (1973) pp. 309–317.

* A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo , 8 (1956) pp. 1–79.

* E. Hille and R.S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., 1957.

* L. V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Uspekhi Mat. Nauk , 3 : 6 (1948) pp. 89–185 (In Russian).

* L. V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functionalanalysis in normierten Raumen ¨ , Akademie Verlag, 1964 (Translated from Russian).

* A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis, 1–2 , Graylock, 1957–1961 (Translated from Russian).

* J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces , 1–2 , Springer, 1977–1979.

* M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, 1–4 , Acad. Press, 1972–1978.

* F. Riesz and B. Szokefalvi-Nagy, ¨ Functional analysis, F. Ungar, 1955 (Translated from French).

* W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.

* H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Macmillan, 1966.

* S. L. Sobolev, Applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc., 1963 (Translated from Russian).

* W. I. [V.I. Sobolev] Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis, H.Deutsch , Frankfurt a.M., 1979 (Translated from Russian).

* K. Yosida, Functional analysis, Springer, 1980, pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5.

Giải tích hàm

2021-04-27T03:29:28Z

Minhpc:

{{mới}}
Giải tích hàm là một nhánh của giải tích toán học hiện đại nghiên cứu hàm số <math>y = f(x)</math> mà ít nhất một trong các biến số <math>x</math> hoặc <math>y</math> biến thiên trong một không gian vô hạn chiều. Nhìn chung, các nghiên cứu trong giải tích hàm có thể chia thành ba phần: 1) Giới thiệu và nghiên cứu các không gian vô hạn chiều; 2) Nghiên cứu về các hàm số đơn giản nhất, tức là, khi <math>x</math> nhận giá trị trong không gian vô hạn chiều và <math>y</math> nhận giá trị trong không gian một chiều, còn được gọi là các phiếm hàm (xem Phiếm hàm); và 3) Nghiên cứu về các hàm số tổng quát có dạng nhất định được gọi là toán tử (xem Toán tử). Các toán tử tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ nhất. Lý thuyết toán tử tuyến tính là sự tổng quát của đại số tuyến tính cho trường hợp vô hạn chiều. Sự kết hợp của các phương pháp giải tích cổ điển và đại số là đặc trưng cho các phương pháp của giải tích hàm, thể hiện sự liên quan chặt chẽ giữa hai lĩnh vực dường như rất khác của toán học.

Như là một môn toán học độc lập, giải tích hàm bắt đầu hình thành vào cuối thế kỷ 19, và được định hình vào những năm 1920 và 1930, một mặt dưới ảnh hưởng của việc nghiên cứu các lớp đặc biệt của toán tử tuyến tính - các toán tử tích phân và các phương trình tích phân có liên quan, và mặt khác dưới ảnh hưởng của sự phát triển thuần túy nội tại của toán học hiện đại. Cơ học lượng tử cũng có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của giải tích hàm, vì các khái niệm cơ bản của nó, ví dụ như năng lượng là các toán tử tuyến tính (mà lúc đầu các nhà vật lý giải thích một cách lỏng lẻo là các ma trận vô hạn) trên không gian vô hạn chiều. Thuật ngữ "phiếm hàm" có nguồn gốc từ các phép tính biến phân. Hàm có đối số là một hàm lần đầu tiên được sử dụng trong cuốn sách của Hadamard vào năm 1910. Tuy nhiên, khái niệm chung của phiếm hàm đã được đề cập trước đó, vào năm 1887 bởi nhà toán học và vật lý người Ý Volterra. Lý thuyết về phiếm hàm phi tuyến được tiếp tục bởi các học trò của Hadamard là Fréchet và Lévy. Hadamard cũng thành lập trường phái hiện đại về giải tích hàm tuyến tính mà sau đó được phát triển bởi Riesz và nhóm toán học Ba Lan đứng đầu là Banach.

==Khái niệm về không gian==

Không gian vector tô pô ( xem Không gian vector tô pô) là không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm. Đây là các không gian vector (tuyến tính) <math>X</math> trên trường các số phức <math>\mathbb{C}</math> (hoặc bất kỳ trường nào khác, ví dụ số thực <math>\mathbb{R}</math>) đồng thời là không gian tô pô có cấu trúc tuyến tính và cấu trúc tô pô tương thích với nhau theo nghĩa các phép tính tuyến tính liên tục trong tô pô của không gian này. Nếu <math>X</math> là một không gian số metric, thì khi đó chúng ta một không gian vector metric.

Một trường hợp đặc biệt của không gian vector tô pô nhưng rất quan trọng khi khái niệm về chuẩn <math>\lVert x \rVert</math> (chiều dài) của một vector được định nghĩa bằng tiên đề. Một không gian vector với một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn (xem Không gian định chuẩn). Nó có thể được metric hoá băng cách xác định metric dựa trên chuẩn: <math>\rho (x, y) := \lVert x - y \rVert</math>. Một không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach (xem Không gian Banach) nếu nó đầy đối với metric được sinh ra bởi chuẩn.

Trong rất nhiều không gian vector chúng ta có thể định nghĩa tích vô hướng (xem Tich vô hướng) <math>(x, y)</math> đối với hai vector bất kỳ <math>x</math> và <math>y</math>. Tích vô hướng này là tổng quát hóa của tích vô hướng thông thường trong không gian Euclid ba chiều. Một không gian vector với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Đây là một trường hợp đặc biệt của không gian chuẩn với chuẩn được định nghĩa là <math>\lVert x \rVert := \sqrt{(x, x)}</math>. Nếu không gian này đầy, thì nó được gọi là không gian Hilbert (xem Không gian Hilbert).

Các không gian vô hạn chiều được nghiên cứu trong giải tích hàm, tức là các không gian trong đó có một tập hợp vô hạn các vector tuyến tính độc lập.

Trên quan điểm hình học, không gian định chuẩn đơn giản nhất là không gian Hilbert <math>H</math>, có các thuộc tính hầu hết giống với không gian hữu hạn chiều, vì trong không gian Hilbert chúng ta có thể đưa ra một khái niệm tương tự như góc giữa hai vector qua tích vô hướng. Đặc biệt, hai vector <math>x</math> và <math>y</math> được cho là trực giao: <math>x \bot y</math>, nếu <math>(x, y) = 0</math>. Chúng ta có khẳng định sau: Cho <math>G</math> là một không gian con của <math>H</math>, khi hình chiếu <math>x_G</math> của một vector bất kỳ <math>x</math> lên <math>G</math> là một vector sao cho <math>x - x_G</math> trực giao với mọi vector trong <math>G</math>. Do tính chất hình học này, một số lượng lớn các cấu trúc hình học có trong không gian hữu hạn chiều có thể được chuyển cho không gian Hilbert là một đối tương nghiên cứu mang đặc tính giải tích.

Các vấn đề về cấu trúc hình học trở nên phức tạp hơn khi chúng ta đi từ không gian Hilbert đến không gian Banach, và các không gian vector tô pô, vì phép chiếu trực giao không có nghĩa trong các không gian này. Ví dụ, trong không gian <math>\lambda_p (\mathbb{N}, 1 \le p \le \infty)</math>, các vectơ <math>e_n := (0, ..., 0, 1, 0, ...)</math> tạo thành một cơ sở theo nghĩa mỗi vector <math>x \in \lambda_p(\mathbb{N})</math> có thể biểu diễn "theo toạ độ":

:<math>x = \sum_{n = 1}^{\infty}x_ne_n</math>.

Việc xây dựng cơ sở cho không gian <math>C[a, b]</math> đã trở nên phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng một cơ sở cho tất cả các không gian Banach quen thuộc. Vậy liệu có tồn tại một cơ sở trong mỗi không gian Banach không? Vấn đề này, bất chấp những nỗ lực của nhiều nhà toán học, đã không có lời giải trong hơn 40 năm và lời giải phủ định chỉ được tìm ra vào năm 1972 (xem [23]). Trong giải tích hàm, các chủ đề "hình học" chiếm một vị trí quan trọng. Các chủ đề này có mục đích làm rõ các tính chất của các tập hợp khác nhau trong không gian Banach và các không gian khác, ví dụ như các tập hợp lồi, các tập hợp compact,...

Các không gian hàm cụ thể mà chúng ta biết đén đã được nghiên cứu chi tiết, vì tính chất của các không gian này thường xác định đặc tính của lời giải cho một vấn đề bằng các phương pháp giải tích hàm. Các định lý nhúng đối với các không gian Sobolev (xem Không gian Sobolev), và các tổng quát hóa khác nhau của chúng, có thể là một ví dụ.

Gắn liền với nhu cầu của vật lý toán hiện đại, một số lượng lớn không gian cụ thể đã xuất hiện. Những không gian này thường được xây dựng từ không gian ban đầu bằng cách sử dụng các cấu trúc và phép biến đổi nhất định. Dưới đây là một số cấu trúc phổ biến và đơn giản nhất.

# Tổng trực giao <math>H = \bigoplus_{n = 1}^{\infty} H_n</math> của các không gian Hilbert <math>H_n</math>.
# Thương của một không gian: Cho <math>(x, y)</math> là một tích vô hương suy biến trong không gian vector <math>X</math> (có nghĩa là <math>(x, x) = 0</math> có thể xảy ra khi <math>x \ne 0</math>); không gian Hilbert thương <math>H</math> được định nghĩa là <math>X</math> đã được làm đầy sau khi tất cả các vector <math>x</math> với <math>(x, x) = 0</math> được đồng nhất với vector <math>0 \in H</math>.
# Tích tensor <math>H = \bigoplus_{n = 1}^{\infty} H_n</math> của các không gian Hilbert <math>H_n</math>.

==Phiếm hàm==

Trong giải tích hàm, việc nghiên cứu các phiếm hàm liên tục và các phiếm hàm tuyến tính đóng một vai trò thiết yếu (xem Phiếm hàm liên tục, Phiếm hàm tuyến tính). Tính chất của các phiếm hàm này có liên quan chặt chẽ với các tính chất của không gian ban đầu.

Cho <math>X</math> là một không gian Banach và <math>X^*</math> là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên <math>X</math>. Khi đó <math>X^*</math> là không gian vector đối với các phép tính cộng và nhan với một số thông thường. Tập hợp <math>X^*</math> sẽ trở thành một không gian Banach nếu ta đưa ra định nghĩa chuẩn như sau

:<math>\lVert x^* \rVert := \sup_{x \in X, \lVert x \rVert \le 1} \lVert \langle x^*, x \rangle \rVert</math>,

ở đây <math>\langle x^*, x \rangle</math> là giá trị của phiếm hàm <math>x^*</math> tại <math>x</math>. Không gian <math>X^*</math> được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của <math>X</math> (xem Không gian liên hợp).

Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng

:<math>\langle x^*, x \rangle = \sum_{n = 1}^{d} x_{n}^* x_n</math>

với <math>d</math> là số chiều của <math>X</math>, <math>x_n</math> là toạ độ của <math>x</math> và <math>x_n^*</math> là các số được xác đinh bởi phiếm hàm <math>X^*</math>. Công thức này còn đúng trong không gian Hilbert <math>H</math>: Theo định lý Riesz, đối với mọi phiến hàm tuyến tính liên tục <math>x^* \in X^*</math>, tồn tại một phần tử <math>a \in X</math>, sao cho <math>\langle x^*, x \rangle = (a, x) </math> Công thức này cho thấy không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.

Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng

:<math>X^{**} := (X^*)^*, X^{***} := ((X^*)^*)^*, ...</math>

nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ <math>X</math> vào <math>X^{**}</math> đặt tướng ứng phần tử <math>x^{**} \in X^{**}</math>x∗∗ ∈ X∗∗ với mọi phần tử <math>x \in X</math> theo công thức <math>\langle x^{**}, x^* \rangle = \langle x^*, x \rangle </math>. Các không gian <math>X</math> có <math>X^{**} = X</math> được gọi là không gian phản xạ. Nói chung, trong trường hợp không gian Banach, ngay cả sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính không tầm thường (nghĩa là, không đồng nhất bằng 0) cũng không phải là một vấn đề đơn giản. Vấn đề này dễ dàng được giải quyết một cách khẳng định nhờ có định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach).

Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng).

==Toán tử==

Một trong những đối tượng chính của các nghiên cứu trong giải tích hàm là toán tử A từ không gian vector tô pô X vào không gian vector tô pô Y (phần lớn, X và Y là định chuẩn hay Hilbert), trước tiên là cả các toán tử tuyến tính (xem Toán tử tuyến tính).

Khi X và Y có d chiều hữu hạn, toán tử tuyến tính A có dạng

(Ax)j = X d n=1 ajnxn,

ở đây x1, ..., xd là toạ độ của vector x đối với một cơ sở nhất định, và (Ax)1, ...,(Ax)d là toạ độ của vector y = Ax. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, mỗi toán tử tuyến tính đối với các cơ sở xác định trong X và Y , có một ma trận tương ứng (aij ) d i,j=1. Việc nghiên cứu những toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều thuộc về đại số tuyến tinh (xem Đại số tuyến tính).

Tình hình trở nên phức tạp hơn khi X và Y là không gian vô hạn chiều (thậm chí cả khi là không gian Hilbert). Trước hết, hai lớp toán tử xuất hiện ở đây: các toán tử liên tục hay toán tử bị chặn) và toán tử không liên tục. Các toán tử loại đầu tiên là đơn giản hơn, nhưng loại thứ hai lại hay gặp hơn, ví dụ: các toán tử vi phân là toán tử không liên tục.

Lớp quan trọng (nhất là đối với cơ học lượng tử) của các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert đã được nghiên cứu hầu như triệt để (xem Toán tử tự liên hợp).

Trong số các lớp đặc biệt của các toán tử trên một không gian Banach, các toán tử liên tục hoàn toàn hoặc toán tử compact (xem Toán tử liên tục hoàn toàn, Toán tử compact) có vai trò quan trọng nhất. Nếu A là một toán tử compact, thì phương trình x − Ax = y (với y là một vector cho trước và x là vector cần tìm) đã được nghiên cứu kỹ. Các khẳng định tương tự đối với phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều cũng đúng đối với phương trình này (còn được gọi là lý thuyết Fredholm). Đối với toán tử compact A, người ta nghiên cứu điều kiện để các vector vector riêng của A và các vector liên quan của chúng trù mật trong X, nghĩa là, bất kỳ vector nào có thể được xấp xỉ bằng các tổ hợp tuyến tính của vector riêng và vector có liên quan,...

==Các kết quả cơ bản==

Bây giờ chúng ta sẽ điểm qua một số kết quả cơ bản quan trọng nhất của giải tích hàm. Đó là định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, định lý ánh xạ mở Banach-Schauder và đinh lý đồ thị đóng.

Trước tiên là định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach). Định lý HahnBanach là một công cụ trung tâm trong giải tích hàm. Nó cho phép mở rộng các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, được xác định trên một không gian con của không gian vector ra toàn bộ không gian, và nó cũng cho thấy rằng có "đủ" phiếm hàm tuyến tính liên tục được xác định trên mỗi không gian định chuẩn để nghiên cứu không gian liên hợp của nó trở nên đáng được quan tâm. Chúng ta có định lý sau đây.

Định lý Hahn-Banach. Nếu p : X → R là một hàm dưới tuyến tính xác định trên không gian vector thực X, và ` là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian con Y của X sao cho

`(x) ≤ p(x) ∀x ∈ X,

thì tồn tại một hàm tuyến tính λ xác đinh trên toàn bộ không gian X sao cho

λ(x) = `(x) ∀x ∈ Y, λ(x) ≤ p(x) ∀x ∈ X.

Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, hay còn được gọi là Định lý BanachSteinhaus (xem Định lý Banach-Steinhaus). Nguyên lý này khẳng định rằng đối với một họ các toán tử tuyến tính liên tục (và do đó bị chặn) có miền xác định là một không gian Banach, sự bị chặn theo từng điểm tương đương với sự bị chặn đều theo chuẩn. Định lý này được công bố lần đầu tiên vào năm 1927 bởi Stefan Banach và Hugo Steinhaus, nhưng nó cũng đã được Hans Hahn chứng minh một cách độc lập. Cụ thể hơn, chúng ta có định lý sau đây.

Định lý Banach-Steinhaus. Cho X là không gian Banach và Y là một không gian véc tơ định chuẩn. Giả sử F là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X đến Y . Nếu với mọi x ∈ X ta có

supT∈F kT(x)kY < ∞, (4)

khi đó

supT∈F kTkB(X,Y ) < ∞. (5)

Định lý lập ánh xạ mở [sửa] Bài chi tiết: Định lý lập ánh xạ mở. Định lý lập ánh xạ mở, hay còn được gọi là định lý Banach-Schauder (được đặt tên theo Stefan Banach và Juliusz Schauder), là một kết quả cơ bản cho biết nếu một toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach là một phép tính thì đó là một ánh xạ mở. Cụ thể hơn,: [2]

Định lý ánh xạ mở. Nếu X và Y là không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục từ X lên Y , thì A là một ánh xạ mở, tức là, nếu U là tập hợp mở trong X, thì A(U) là tập hợp mở trong Y.

Định lý đồ thị đóng. Bài chi tiết: Định lý đồ thị đóng Định lý đồ thị khép kín nói lên điều sau: Nếu X là không gian tô pô và Y là một không gian compact Hausdorff, thì đồ thị của một ánh xạ tuyến tính A từ X đến Y đóng khi và chỉ khi A là liên tục [3].

==Tài liệu tham khảo==

* N. I. [N. I. Akhiezer] Ahiezer, Theory of linear operators in Hilbert space, 1–2 , Pitman, 1984 (Translated from Russian).

* S. S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner, 1932.

* S. S. Banach, A course of functional analysis, Kiev, 1948 (In Ukrainian).

* N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces, Springer, 1987 (Translated from French).

* J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer, 1985.

* N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators, 1–3 , Interscience, 1958–1971.

* P. Enflo,¨ A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta. Math. , 130 (1973) pp. 309–317.

* A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo , 8 (1956) pp. 1–79.

* E. Hille and R.S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., 1957.

* L. V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Uspekhi Mat. Nauk , 3 : 6 (1948) pp. 89–185 (In Russian).

* L. V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functionalanalysis in normierten Raumen ¨ , Akademie Verlag, 1964 (Translated from Russian).

* A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis, 1–2 , Graylock, 1957–1961 (Translated from Russian).

* J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces , 1–2 , Springer, 1977–1979.

* M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, 1–4 , Acad. Press, 1972–1978.

* F. Riesz and B. Szokefalvi-Nagy, ¨ Functional analysis, F. Ungar, 1955 (Translated from French).

* W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.

* H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Macmillan, 1966.

* S. L. Sobolev, Applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc., 1963 (Translated from Russian).

* W. I. [V.I. Sobolev] Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis, H.Deutsch , Frankfurt a.M., 1979 (Translated from Russian).

* K. Yosida, Functional analysis, Springer, 1980, pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5.

Giải tích hàm

2021-04-20T10:32:24Z

Minhpc:

{{mới}}
Giải tích hàm là một nhánh của giải tích toán học hiện đại nghiên cứu hàm số <math>y = f(x)</math> mà ít nhất một trong các biến số <math>x</math> hoặc <math>y</math> biến thiên trong một không gian vô hạn chiều. Nhìn chung, các nghiên cứu trong giải tích hàm có thể chia thành ba phần: 1) Giới thiệu và nghiên cứu các không gian vô hạn chiều; 2) Nghiên cứu về các hàm số đơn giản nhất, tức là, khi <math>x</math> nhận giá trị trong không gian vô hạn chiều và <math>y</math> nhận giá trị trong không gian một chiều, còn được gọi là các phiếm hàm (xem Phiếm hàm); và 3) Nghiên cứu về các hàm số tổng quát có dạng nhất định được gọi là toán tử (xem Toán tử). Các toán tử tuyến tính đã được nghiên cứu đầy đủ nhất. Lý thuyết toán tử tuyến tính là sự tổng quát của đại số tuyến tính cho trường hợp vô hạn chiều. Sự kết hợp của các phương pháp giải tích cổ điển và đại số là đặc trưng cho các phương pháp của giải tích hàm, thể hiện sự liên quan chặt chẽ giữa hai lĩnh vực dường như rất khác của toán học.

Như là một môn toán học độc lập, giải tích hàm bắt đầu hình thành vào cuối thế kỷ 19, và được định hình vào những năm 1920 và 1930, một mặt dưới ảnh hưởng của việc nghiên cứu các lớp đặc biệt của toán tử tuyến tính - các toán tử tích phân và các phương trình tích phân có liên quan, và mặt khác dưới ảnh hưởng của sự phát triển thuần túy nội tại của toán học hiện đại. Cơ học lượng tử cũng có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của giải tích hàm, vì các khái niệm cơ bản của nó, ví dụ như năng lượng là các toán tử tuyến tính (mà lúc đầu các nhà vật lý giải thích một cách lỏng lẻo là các ma trận vô hạn) trên không gian vô hạn chiều. Thuật ngữ "phiếm hàm" có nguồn gốc từ các phép tính biến phân. Hàm có đối số là một hàm lần đầu tiên được sử dụng trong cuốn sách của Hadamard vào năm 1910. Tuy nhiên, khái niệm chung của phiếm hàm đã được đề cập trước đó, vào năm 1887 bởi nhà toán học và vật lý người Ý Volterra. Lý thuyết về phiếm hàm phi tuyến được tiếp tục bởi các học trò của Hadamard là Fréchet và Lévy. Hadamard cũng thành lập trường phái hiện đại về giải tích hàm tuyến tính mà sau đó được phát triển bởi Riesz và nhóm toán học Ba Lan đứng đầu là Banach.

==Khái niệm về không gian==

Không gian vector tô pô ( xem Không gian vector tô pô) là không gian tổng quát nhất trong giải tích hàm. Đây là các không gian vector (tuyến tính) <math>X</math> trên trường các số phức <math>\mathbb{C}</math> (hoặc bất kỳ trường nào khác, ví dụ số thực <math>\mathbb{R}</math>) đồng thời là không gian tô pô có cấu trúc tuyến tính và cấu trúc tô pô tương thích với nhau theo nghĩa các phép tính tuyến tính liên tục trong tô pô của không gian này. Nếu <math>X</math> là một không gian số metric, thì khi đó chúng ta một không gian vector metric.

Một trường hợp đặc biệt của không gian vector tô pô nhưng rất quan trọng khi khái niệm về chuẩn <math>\lVert x \rVert</math> (chiều dài) của một vector được định nghĩa bằng tiên đề. Một không gian vector với một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn (xem Không gian định chuẩn). Nó có thể được metric hoá băng cách xác định metric dựa trên chuẩn: <math>\rho (x, y) := \lVert x - y \rVert</math>. Một không gian định chuẩn được gọi là không gian Banach (xem Không gian Banach) nếu nó đầy đối với metric được sinh ra bởi chuẩn.

Trong rất nhiều không gian vector chúng ta có thể định nghĩa tích vô hướng (xem Tich vô hướng) <math>(x, y)</math> đối với hai vector bất kỳ <math>x</math> và <math>y</math>. Tích vô hướng này là tổng quát hóa của tích vô hướng thông thường trong không gian Euclid ba chiều. Một không gian vector với tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert. Đây là một trường hợp đặc biệt của không gian chuẩn với chuẩn được định nghĩa là <math>\lVert x \rVert := \sqrt{(x, x)}</math>. Nếu không gian này đầy, thì nó được gọi là không gian Hilbert (xem Không gian Hilbert).

Các không gian vô hạn chiều được nghiên cứu trong giải tích hàm, tức là các không gian trong đó có một tập hợp vô hạn các vector tuyến tính độc lập.

Trên quan điểm hình học, không gian định chuẩn đơn giản nhất là không gian Hilbert <math>H</math>, có các thuộc tính hầu hết giống với không gian hữu hạn chiều, vì trong không gian Hilbert chúng ta có thể đưa ra một khái niệm tương tự như góc giữa hai vector qua tích vô hướng. Đặc biệt, hai vector <math>x</math> và <math>y</math> được cho là trực giao: <math>x \bot y</math>, nếu <math>(x, y) = 0</math>. Chúng ta có khẳng định sau: Cho <math>G</math> là một không gian con của <math>H</math>, khi hình chiếu <math>x_G</math> của một vector bất kỳ <math>x</math> lên <math>G</math> là một vector sao cho <math>x - x_G</math> trực giao với mọi vector trong <math>G</math>. Do tính chất hình học này, một số lượng lớn các cấu trúc hình học có trong không gian hữu hạn chiều có thể được chuyển cho không gian Hilbert là một đối tương nghiên cứu mang đặc tính giải tích.

Các vấn đề về cấu trúc hình học trở nên phức tạp hơn khi chúng ta đi từ không gian Hilbert đến không gian Banach, và các không gian vector tô pô, vì phép chiếu trực giao không có nghĩa trong các không gian này. Ví dụ, trong không gian <math>\lambda_p (\mathbb{N}, 1 \le p \le \infty)</math>, các vectơ <math>e_n := (0, ..., 0, 1, 0, ...)</math> tạo thành một cơ sở theo nghĩa mỗi vector <math>x \in \lambda_p(\mathbb{N})</math> có thể biểu diễn "theo toạ độ":

:<math>x = \sum_{n = 1}^{\infty}x_ne_n</math>.

Việc xây dựng cơ sở cho không gian <math>C[a, b]</math> đã trở nên phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng một cơ sở cho tất cả các không gian Banach quen thuộc. Vậy liệu có tồn tại một cơ sở trong mỗi không gian Banach không? Vấn đề này, bất chấp những nỗ lực của nhiều nhà toán học, đã không có lời giải trong hơn 40 năm và lời giải phủ định chỉ được tìm ra vào năm 1972 (xem [23]). Trong giải tích hàm, các chủ đề "hình học" chiếm một vị trí quan trọng. Các chủ đề này có mục đích làm rõ các tính chất của các tập hợp khác nhau trong không gian Banach và các không gian khác, ví dụ như các tập hợp lồi, các tập hợp compact,...

Các không gian hàm cụ thể mà chúng ta biết đén đã được nghiên cứu chi tiết, vì tính chất của các không gian này thường xác định đặc tính của lời giải cho một vấn đề bằng các phương pháp giải tích hàm. Các định lý nhúng đối với các không gian Sobolev (xem Không gian Sobolev), và các tổng quát hóa khác nhau của chúng, có thể là một ví dụ.

Gắn liền với nhu cầu của vật lý toán hiện đại, một số lượng lớn không gian cụ thể đã xuất hiện. Những không gian này thường được xây dựng từ không gian ban đầu bằng cách sử dụng các cấu trúc và phép biến đổi nhất định. Dưới đây là một số cấu trúc phổ biến và đơn giản nhất.

# Tổng trực giao <math>H = \bigoplus_{n = 1}^{\infty} H_n</math> của các không gian Hilbert <math>H_n</math>.
# Thương của một không gian: Cho <math>(x, y)</math> là một tích vô hương suy biến trong không gian vector <math>X</math> (có nghĩa là <math>(x, x) = 0</math> có thể xảy ra khi <math>x \ne 0</math>); không gian Hilbert thương <math>H</math> được định nghĩa là <math>X</math> đã được làm đầy sau khi tất cả các vector <math>x</math> với <math>(x, x) = 0</math> được đồng nhất với vector <math>0 \in H</math>.
# Tích tensor <math>H = \bigoplus_{n = 1}^{\infty} H_n</math> của các không gian Hilbert <math>H_n</math>.

==Phiếm hàm==

Trong giải tích hàm, việc nghiên cứu các phiếm hàm liên tục và các phiếm hàm tuyến tính đóng một vai trò thiết yếu (xem Phiếm hàm liên tục, Phiếm hàm tuyến tính). Tính chất của các phiếm hàm này có liên quan chặt chẽ với các tính chất của không gian ban đầu.

Cho <math>X</math> là một không gian Banach và <math>X*</math> là tập hợp các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên <math>X</math>. Khi đó <math>X*</math> là không gian vector đối với các phép tính cộng và nhan với một số thông thường. Tập hợp <math>X*</math> sẽ trở thành một không gian Banach nếu ta đưa ra định nghĩa chuẩn như sau

:<math>\lVert x* \rVert := \sup_{x \in X, \lVert x \rVert \le 1} \lVert \langle x*, x \rangle \rVert</math>,

ở đây <math>\langle x*, x \rangle</math> là giá trị của phiếm hàm <math>x*</math> tại <math>x</math>. Không gian <math>X*</math> được gọi là không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của <math>X</math> (xem Không gian liên hợp).

Nếu X là hữu hạn chiều, thì mọi phiếm hàm tuyến tính đều có dạng
:<math>\langle x*, x \rangle = \sum</math>

với d là số chiều của X, xn là toạ độ của x và x∗ n là các số được xác đinh bởi phiếm hàm x ∗. Công thức này còn đúng trong không gian Hilbert H: Theo định lý Riesz, đối với mọi phiến hàm tuyến tính liên tục x ∗ ∈ X∗ , tồn tại một phần tử a ∈ X, sao cho hx ∗ , xi = (a, x) Công thức này cho thấy không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó.

Đối với không gian Banach, tình hình trở nên phức tạp hơn: Có thể xây dựng

X∗∗ := (X∗)∗, X∗∗∗ := ((X∗)∗)∗,...

nhưng những không gian này có thể rất khác biệt. Mặt khác, luôn tồn tại một phép nhúng chính tắc từ X vào X∗∗ đặt tướng ứng phần tử x∗∗ ∈ X∗∗ với mọi phần tử x ∈ X theo công thức hx∗∗, x∗i = hx∗, xi. Các không gian X có X∗∗ = X được gọi là không gian phản xạ. Nói chung, trong trường hợp không gian Banach, ngay cả sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính không tầm thường (nghĩa là, không đồng nhất bằng 0) cũng không phải là một vấn đề đơn giản. Vấn đề này dễ dàng được giải quyết một cách khẳng định nhờ có định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach).

Đối với một số không gian cụ thể, không gian liên hợp có thể được mô tả một cách tường minh. Tuy nhiên, đối với phần lớn các không gian Banach, và đặc biệt là đối với không gian véc tơ tôpô, các phiếm hàm là các phần tử kiểu mới không thể biểu diễn đơn giản bằng ngôn ngữ của giải tích cổ điển. Các phần tử của không gian liên hợp còn được gọi là hàm suy rộng (xem Hàm suy rộng).

==Toán tử==

Một trong những đối tượng chính của các nghiên cứu trong giải tích hàm là toán tử A từ không gian vector tô pô X vào không gian vector tô pô Y (phần lớn, X và Y là định chuẩn hay Hilbert), trước tiên là cả các toán tử tuyến tính (xem Toán tử tuyến tính).

Khi X và Y có d chiều hữu hạn, toán tử tuyến tính A có dạng

(Ax)j = X d n=1 ajnxn,

ở đây x1, ..., xd là toạ độ của vector x đối với một cơ sở nhất định, và (Ax)1, ...,(Ax)d là toạ độ của vector y = Ax. Như vậy, trong trường hợp hữu hạn chiều, mỗi toán tử tuyến tính đối với các cơ sở xác định trong X và Y , có một ma trận tương ứng (aij ) d i,j=1. Việc nghiên cứu những toán tử tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều thuộc về đại số tuyến tinh (xem Đại số tuyến tính).

Tình hình trở nên phức tạp hơn khi X và Y là không gian vô hạn chiều (thậm chí cả khi là không gian Hilbert). Trước hết, hai lớp toán tử xuất hiện ở đây: các toán tử liên tục hay toán tử bị chặn) và toán tử không liên tục. Các toán tử loại đầu tiên là đơn giản hơn, nhưng loại thứ hai lại hay gặp hơn, ví dụ: các toán tử vi phân là toán tử không liên tục.

Lớp quan trọng (nhất là đối với cơ học lượng tử) của các toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert đã được nghiên cứu hầu như triệt để (xem Toán tử tự liên hợp).

Trong số các lớp đặc biệt của các toán tử trên một không gian Banach, các toán tử liên tục hoàn toàn hoặc toán tử compact (xem Toán tử liên tục hoàn toàn, Toán tử compact) có vai trò quan trọng nhất. Nếu A là một toán tử compact, thì phương trình x − Ax = y (với y là một vector cho trước và x là vector cần tìm) đã được nghiên cứu kỹ. Các khẳng định tương tự đối với phương trình tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều cũng đúng đối với phương trình này (còn được gọi là lý thuyết Fredholm). Đối với toán tử compact A, người ta nghiên cứu điều kiện để các vector vector riêng của A và các vector liên quan của chúng trù mật trong X, nghĩa là, bất kỳ vector nào có thể được xấp xỉ bằng các tổ hợp tuyến tính của vector riêng và vector có liên quan,...

==Các kết quả cơ bản==

Bây giờ chúng ta sẽ điểm qua một số kết quả cơ bản quan trọng nhất của giải tích hàm. Đó là định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, định lý ánh xạ mở Banach-Schauder và đinh lý đồ thị đóng.

Trước tiên là định lý Hahn-Banach (xem Định lý Hahn-Banach). Định lý HahnBanach là một công cụ trung tâm trong giải tích hàm. Nó cho phép mở rộng các phiếm hàm tuyến tính bị chặn, được xác định trên một không gian con của không gian vector ra toàn bộ không gian, và nó cũng cho thấy rằng có "đủ" phiếm hàm tuyến tính liên tục được xác định trên mỗi không gian định chuẩn để nghiên cứu không gian liên hợp của nó trở nên đáng được quan tâm. Chúng ta có định lý sau đây.

Định lý Hahn-Banach. Nếu p : X → R là một hàm dưới tuyến tính xác định trên không gian vector thực X, và ` là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên một không gian con Y của X sao cho

`(x) ≤ p(x) ∀x ∈ X,

thì tồn tại một hàm tuyến tính λ xác đinh trên toàn bộ không gian X sao cho

λ(x) = `(x) ∀x ∈ Y, λ(x) ≤ p(x) ∀x ∈ X.

Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus, hay còn được gọi là Định lý BanachSteinhaus (xem Định lý Banach-Steinhaus). Nguyên lý này khẳng định rằng đối với một họ các toán tử tuyến tính liên tục (và do đó bị chặn) có miền xác định là một không gian Banach, sự bị chặn theo từng điểm tương đương với sự bị chặn đều theo chuẩn. Định lý này được công bố lần đầu tiên vào năm 1927 bởi Stefan Banach và Hugo Steinhaus, nhưng nó cũng đã được Hans Hahn chứng minh một cách độc lập. Cụ thể hơn, chúng ta có định lý sau đây.

Định lý Banach-Steinhaus. Cho X là không gian Banach và Y là một không gian véc tơ định chuẩn. Giả sử F là tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục từ X đến Y . Nếu với mọi x ∈ X ta có

supT∈F kT(x)kY < ∞, (4)

khi đó

supT∈F kTkB(X,Y ) < ∞. (5)

Định lý lập ánh xạ mở [sửa] Bài chi tiết: Định lý lập ánh xạ mở. Định lý lập ánh xạ mở, hay còn được gọi là định lý Banach-Schauder (được đặt tên theo Stefan Banach và Juliusz Schauder), là một kết quả cơ bản cho biết nếu một toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach là một phép tính thì đó là một ánh xạ mở. Cụ thể hơn,: [2]

Định lý ánh xạ mở. Nếu X và Y là không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục từ X lên Y , thì A là một ánh xạ mở, tức là, nếu U là tập hợp mở trong X, thì A(U) là tập hợp mở trong Y.

Định lý đồ thị đóng. Bài chi tiết: Định lý đồ thị đóng Định lý đồ thị khép kín nói lên điều sau: Nếu X là không gian tô pô và Y là một không gian compact Hausdorff, thì đồ thị của một ánh xạ tuyến tính A từ X đến Y đóng khi và chỉ khi A là liên tục [3].

==Tài liệu tham khảo==

* N. I. [N. I. Akhiezer] Ahiezer, Theory of linear operators in Hilbert space, 1–2 , Pitman, 1984 (Translated from Russian).

* S. S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Hafner, 1932.

* S. S. Banach, A course of functional analysis, Kiev, 1948 (In Ukrainian).

* N. Bourbaki, Elements of mathematics. Topological vector spaces, Springer, 1987 (Translated from French).

* J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer, 1985.

* N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear operators, 1–3 , Interscience, 1958–1971.

* P. Enflo,¨ A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta. Math. , 130 (1973) pp. 309–317.

* A. Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo , 8 (1956) pp. 1–79.

* E. Hille and R.S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, Amer. Math. Soc., 1957.

* L. V. Kantorovich, Functional analysis and applied mathematics, Uspekhi Mat. Nauk , 3 : 6 (1948) pp. 89–185 (In Russian).

* L. V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functionalanalysis in normierten Raumen ¨ , Akademie Verlag, 1964 (Translated from Russian).

* A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elements of the theory of functions and functional analysis, 1–2 , Graylock, 1957–1961 (Translated from Russian).

* J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach spaces , 1–2 , Springer, 1977–1979.

* M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics, 1–4 , Acad. Press, 1972–1978.

* F. Riesz and B. Szokefalvi-Nagy, ¨ Functional analysis, F. Ungar, 1955 (Translated from French).

* W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.

* H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Macmillan, 1966.

* S. L. Sobolev, Applications of functional analysis in mathematical physics, Amer. Math. Soc., 1963 (Translated from Russian).

* W. I. [V.I. Sobolev] Sobolew, Elemente der Funktionalanalysis, H.Deutsch , Frankfurt a.M., 1979 (Translated from Russian).

* K. Yosida, Functional analysis, Springer, 1980, pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5.

Đa thức

2021-04-20T07:19:34Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Đa thức''' là một biểu thức <math>f</math> có dạng

:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>

trong đó <math>x</math> là biến số và <math>a_0, a_1, ..., a_n</math> là những số cho trước, là ''đa thức''. Người ta hay dùng ký hiệu <math>f(x)</math> thay cho <math>f</math> để chỉ <math>f</math> là đa thức của biến <math>x</math>.

Các thành phần <math>a_0, a_1 x, ..., a_n x^n</math> được gọi là các hạng tử của <math>f</math>. Với mọi <math>i</math> = 0, 1, ..., <math>n</math>, số <math>a_i</math> được gọi là hệ số của <math>x^i</math> trong <math>f</math>. Nếu <math>a_n \ne 0</math> thì ''n'' được gọi là bậc của <math>f</math>, ký hiệu là <math>\text{deg }f</math>. Khi đó, ta gọi <math>a_n</math> là hệ số đầu của <math>f</math>.

Nếu <math>a_0 = a_1 = ... = a_n = 0</math> thì ta gọi <math>f</math> là ''đa thức không'', ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định <math>\text{deg } 0 = \infty</math> theo nghĩa <math>\text{deg } 0</math> nhỏ hơn <math>n</math> với mọi <math>n \ge 0</math>. Nếu <math>\text{deg }f = 0</math> thì <math>f = a_0 \ne 0</math> là một số. Nếu <math>\text{deg }f = 1</math> thì <math>f</math> được gọi là một ''đa thức tuyến tính''.

Nếu ta coi <math>x</math> như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

:<math>g = b_0 + b_1x + ... + b_mx^m</math>

là một đa thức khác với <math>m \le n</math> thì

:<math> f + g = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + ... + (a_n + b_n)x^n,</math>

trong đó <math>b_i = 0</math> với mọi <math>i > m</math>. Ta cũng dễ dàng thấy

:<math>fg = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0)x + ... + (a_nb_m)x^{m+n}.</math>

Ta không có phép chia hai đa thức <math>\frac{f}{g}</math> vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức <math>h</math> sao cho <math>f = gh</math>. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia <math>h</math> cho <math>g</math> theo nghĩa sau:

''Bổ đề.'' Cho <math>f</math> và <math>g</math> là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> sao cho

:<math>f = gh + v</math>

với <math>\text{deg } v < \text{deg } g</math>. Các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.

Ta gọi <math>h</math> là ''thương'' <math>v</math> là ''phần dư'' của phép chia <math>f</math> cho <math>g</math>. Điều kiện <math>\text{deg } v < \text{deg } g</math> tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.

Ta có thể xác định <math>h</math> và <math>v</math> theo thuật toán sau. Đặt <math>n = \text{deg } f</math> = deg ''f'' và <math>m = \text{deg } g</math>. Nếu <math>n < m</math> thì ta đặt <math>h = 0</math> và <math>v = f</math>. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu <math>n \ge m</math> thì ta xét đa thức

:<math>f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,</math>

trong đó <math>a</math> và <math>b</math> là hệ số đầu của <math>f</math> và <math>g</math>. Rõ ràng là <math>f</math> có thể viết dưới dạng <math>gh + v</math> nếu <math>f_1</math> có thể viết dưới dạng <math>gh_1 + v</math> với <math>\text{deg }v < \text{deg } g</math>. Ta tiếp tục quá trình trên với <math>f_1</math> và <math>g</math>. Do <math>\text{deg }f_1 < m = \text{deg }g</math> nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ <math>i</math> nào đó, có nghĩa là <math>f_i</math> có thể viết dưới dạng <math>gh_i + v</math> với <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Từ đây suy ra <math>f</math> có thể viết dưới dạng <math>gh + v</math>''gh'' + ''v'' với <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Thuật toán trên đây được gọi là ''thuật toán Ơclit''.

Nếu <math>f = gh</math> hay là <math>v = 0</math> thì ta nói <math>f</math> chia hết cho <math>g</math> hay <math>g</math> là ''ước'' của <math>f</math>.

Trong trường hợp <math>g = x - c</math> với <math>c</math> là một số nào đó thì <math>\text{deg }v < \text{deg }g = 1</math>. Nếu <math>\text{deg }v = 0</math> thì <math>v</math> là một số khác không. Nếu <math>\text{deg }v < 0</math> thì <math>v</math> chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

:<math>f = (x - c)h + v</math>

với <math>v</math> là một số nào đó.

Ta có thể coi mỗi đa thức <math>f</math> như một hàm số với

:<math>f(c) = a_0 + a_1c + ... + a_nc^n.</math>

Số <math>c</math> được gọi là nghiệm của <math>f</math> nếu <math>f(c) = 0</math>. Từ công thức <math>f = (x - c)h + v</math> ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của <math>f</math>.

'''Bổ đề.''' <math>f(c) = 0</math> khi và chỉ khi <math>f</math> chia hết cho <math>x - c</math>.

Nếu <math>c</math> là nghiệm của <math>f</math> thì ta có <math>f = (x - c)h</math> với <math>\text{deg }h = \text{deg }f - 1</math>. Người ta gọi số mũ <math>s</math> lớn nhất sao cho <math>f</math> chia hết cho <math>(x - c)s</math> là bội của nghiệm <math>c</math>, có nghĩa là <math>f = (x - c)sh</math> với <math>h(c) \ne 0</math>. Khi đó ta có thể coi <math>f</math> có <math>s</math> nghiệm <math>c</math>.

Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.

'''Định lý.''' Nếu <math>\text{deg }f = n</math> thì <math>f</math> có nhiều nhất <math>f</math> nghiệm.

Ta gọi đa thức <math>f</math> là bất khả quy nếu <math>f</math> không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn <math>\text{deg }f</math>. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.

Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức <math>x^2 - 2</math> là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì <math>x^2 - 2</math> chia hết cho <math>x - \sqrt{2}</math>.

Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành <math>A</math> có đơn vị. Khi đó, đa thức trên <math>A</math> là một biểu thức <math>f</math> có dạng

:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>

trong đó <math>x</math> là biến số và <math>a_0, a_1, ..., a_n \in A</math>. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.

Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên <math>A</math> với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên <math>A</math> lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên <math>A</math>, ký hiệu là <math>A[x]</math>.

Ta gọi đa thức <math>f</math> là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của <math>f</math> là phần tử nghịch đảo trong <math>A</math>. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:

'''Bổ đề.''' Cho <math>g \in A[x]</math> là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức <math>f \in A[x]</math> dưới dạng

:<math>f = gh + v</math>

với <math>h, v \in A[x]</math> và <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.

Chú ý rằng nếu <math>A</math> là một trường thì mọi đa thức <math>g \in A[x]</math> đều có thể viết dưới dạng <math>g = ag_1</math>, trong đó <math>a</math> là hệ số đầu của <math>g</math> và <math>g_1</math> là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi <math>g_1</math> là đa thức chuẩn hoá của <math>g</math>. Ta có thể chia <math>f</math> cho <math>g</math> bằng cách chia <math>f</math> cho <math>g_1</math>. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức <math>g \ne 0</math> nếu <math>A</math> là một trường.

Ta gọi đa thức <math>f</math> là ''bất khả quy'' trong <math>A[x]</math> nếu <math>f</math> không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn <math>\text{deg }f</math> trong <math>A[x]</math>. Nếu <math>A</math> là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức <math>f \in A[x]</math> thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

Đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math> là một biểu thức <math>f</math> có dạng

:<math>f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},</math>

trong đó <math>x_1, ..., x_n</math> là các biến số và <math>c_{r_1, ..., r_n} \in A</math> với mọi bộ số nguyên <math>r_1, ..., r_n \ge 0</math> thoả mãn <math>r_1 + ... + r_n \le r</math> với <math>r \ge 0</math> là một số nguyên cho trước. Các phần tử <math>c_{r_1, ..., r_n}</math> được gọi là hệ số của <math>f</math>. Các thành phần <math>c_{r_1, ..., r_n}x_1^{r_1} ... x_n^{r_n}</math> được gọi là các ''hạng tử'' của <math>f</math>. Người ta hay dùng ký hiệu <math>f(x_1, ..., x_n)</math> thay cho <math>f</math> để chỉ <math>f</math> là đa thức của các biến <math>x_1, ..., x_n</math>.

Các biểu thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> được gọi là ''đơn thức''. Bậc của đơn thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> là tổng <math>r_1 + ... + r_n</math> của các số mũ. Nếu <math>r_1 = ... = r_n = 0</math> thì <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n} = 1</math>. Ta quy định bậc của 1 là <math>-\infty</math>. Bậc của đa thức <math>f \ne 0</math> là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của <math>f</math>. Ta ký hiệu bậc của <math>f</math> với <math>\text{deg }f</math>. Chú ý rằng <math>\text{deg }f \le 0</math> khi và chỉ khi <math>f \in A</math>.

Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là ''thứ tự từ điển'' coi <math>x_1, ..., x_n</math> như những chữ cái và đơn thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> như một chữ bao gồm <math>r_1</math> chữ cái <math>x_1, ..., r_n</math> chữ cái <math>x_n</math>. Như vậy, <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> sẽ đứng trước <math>x_1^{s_1}, ..., x_n^{s_n}</math> nếu <math>r_1 < s_1</math> hay <math>r_1 = s_1</math> nhưng <math>s_2 < r_2</math>, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi <math>1 < x_1 < x_2 < x^2_1 < x_1x_2 < x^2_2 < ... < x_1 x_2^{r-1} < x^r_2</math>. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc <math>r</math> dưới dạng

:<math>f = c_{0,0} + c_{10}x_1 + c_{01}x_2 + ... + c_{1,r-1} x_1 x^{r-1}_2 + c_{0,r} x^r_2. </math>

Nếu ta coi <math>x_1, ..., x_n</math> như các phần tử trong <math>A</math> thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math>. Tập các đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math> được gọi vành đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math>, ký hiệu là <math>A[x_1, ..., x_n]</math>. Ta có thể coi <math>A[x_1, ..., x_n]</math> là vành đa thức của biến <math>x_n</math> trên vành đa thức <math>(n - 1)</math> biến <math>A[x_1, ..., x_{n-1}]</math>, có nghĩa là

:<math>A[x_1, ..., x_n] := A[x_1, ..., x_{n-1}][x_n].</math>

Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.

Với mọi <math>a = (\alpha_1, ..., \alpha_n) \in A^n</math> ta ứng với đa thức <math>f</math> ở trên một phần tử <math>f(a) \in A</math> như sau:

:<math>f(a) = \sum_{r_1 + ... + r_n \le r} c_{r_1, ...,r_n} \alpha ^{r_1}_1 ... \alpha ^{r_n}_n.</math>

Nếu <math>f(a) = 0</math> thì ta gọi <math>a</math> là nghiệm của <math>f</math>. Ta có thể coi <math>f</math> là một hàm từ <math>A^n</math> vào <math>A</math> và tập nghiệm của <math>f</math> như là một hình hình học trong <math>A^n</math>. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.

Đa thức <math>f</math> được gọi là ''thuần nhất'' nếu mọi hạng tử khác không của <math>f</math> đều có cùng bậc. Ví dụ như <math>a_1x_1 + ... + a_nx_n</math> là đa thức thuần nhất. Nếu <math>a = (\alpha_1, ..., \alpha_n)</math> là nghiệm của đa thức thuần nhất <math>f</math> thì <math>\lambda a = \lambda \alpha_1, ..., \lambda \alpha_n</math> cũng là nghiệm của <math>f</math>. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc <math>(0, ..., 0)</math> của <math>A^n</math>.

Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của ''hình học xạ ảnh'' coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.

Đa thức

2021-04-20T04:57:35Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Đa thức''' là một biểu thức <math>f</math> có dạng

:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>

trong đó <math>x</math> là biến số và <math>a_0, a_1, ..., a_n</math> là những số cho trước, là ''đa thức''. Người ta hay dùng ký hiệu <math>f(x)</math> thay cho <math>f</math> để chỉ <math>f</math> là đa thức của biến <math>x</math>.

Các thành phần <math>a_0, a_1 x, ..., a_n x^n</math> được gọi là các hạng tử của <math>f</math>. Với mọi <math>i</math> = 0, 1, ..., <math>n</math>, số <math>a_i</math> được gọi là hệ số của <math>x^i</math> trong <math>f</math>. Nếu <math>a_n \ne 0</math> thì ''n'' được gọi là bậc của <math>f</math>, ký hiệu là <math>\text{deg }f</math>. Khi đó, ta gọi <math>a_n</math> là hệ số đầu của <math>f</math>.

Nếu <math>a_0 = a_1 = ... = a_n = 0</math> thì ta gọi <math>f</math> là ''đa thức không'', ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định <math>\text{deg } 0 = \infty</math> theo nghĩa <math>\text{deg } 0</math> nhỏ hơn <math>n</math> với mọi <math>n \ge 0</math>. Nếu <math>\text{deg }f = 0</math> thì <math>f = a_0 \ne 0</math> là một số. Nếu <math>\text{deg }f = 1</math> thì <math>f</math> được gọi là một ''đa thức tuyến tính''.

Nếu ta coi <math>x</math> như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

:<math>g = b_0 + b_1x + ... + b_mx^m</math>

là một đa thức khác với <math>m \le n</math> thì

:<math> f + g = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + ... + (a_n + b_n)x^n,</math>

trong đó <math>b_i = 0</math> với mọi <math>i > m</math>. Ta cũng dễ dàng thấy

:<math>fg = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0)x + ... + (a_nb_m)x^{m+n}.</math>

Ta không có phép chia hai đa thức <math>\frac{f}{g}</math> vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức <math>h</math> sao cho <math>f = gh</math>. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia <math>h</math> cho <math>g</math> theo nghĩa sau:

''Bổ đề.'' Cho <math>f</math> và <math>g</math> là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> sao cho

:<math>f = gh + v</math>

với <math>\text{deg } v < \text{deg } g</math>. Các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.

Ta gọi <math>h</math> là ''thương'' <math>v</math> là ''phần dư'' của phép chia <math>f</math> cho <math>g</math>. Điều kiện <math>\text{deg } v < \text{deg } g</math> tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.

Ta có thể xác định <math>h</math> và <math>v</math> theo thuật toán sau. Đặt <math>n = \text{deg } f</math> = deg ''f'' và <math>m = \text{deg } g</math>. Nếu <math>n < m</math> thì ta đặt <math>h = 0</math> và <math>v = f</math>. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu <math>n \ge m</math> thì ta xét đa thức

:<math>f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,</math>

trong đó <math>a</math> và <math>b</math> là hệ số đầu của <math>f</math> và <math>g</math>. Rõ ràng là <math>f</math> có thể viết dưới dạng <math>gh + v</math> nếu <math>f_1</math> có thể viết dưới dạng <math>gh_1 + v</math> với <math>\text{deg }v < \text{deg } g</math>. Ta tiếp tục quá trình trên với <math>f_1</math> và <math>g</math>. Do <math>\text{deg }f_1 < m = \text{deg }g</math> nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ <math>i</math> nào đó, có nghĩa là <math>f_i</math> có thể viết dưới dạng <math>gh_i + v</math> với <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Từ đây suy ra <math>f</math> có thể viết dưới dạng <math>gh + v</math>''gh'' + ''v'' với <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Thuật toán trên đây được gọi là ''thuật toán Ơclit''.

Nếu <math>f = gh</math> hay là <math>v = 0</math> thì ta nói <math>f</math> chia hết cho <math>g</math> hay <math>g</math> là ''ước'' của <math>f</math>.

Trong trường hợp <math>g = x - c</math> với <math>c</math> là một số nào đó thì <math>\text{deg }v < \text{deg }g = 1</math>. Nếu <math>\text{deg }v = 0</math> thì <math>v</math> là một số khác không. Nếu <math>\text{deg }v < 0</math> thì <math>v</math> chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

:<math>f = (x - c)h + v</math>

với <math>v</math> là một số nào đó.

Ta có thể coi mỗi đa thức <math>f</math> như một hàm số với

:<math>f(c) = a_0 + a_1c + ... + a_nc^n.</math>

Số <math>c</math> được gọi là nghiệm của <math>f</math> nếu <math>f(c) = 0</math>. Từ công thức <math>f = (x - c)h + v</math> ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của <math>f</math>.

'''Bổ đề.''' <math>f(c) = 0</math> khi và chỉ khi <math>f</math> chia hết cho <math>x - c</math>.

Nếu <math>c</math> là nghiệm của <math>f</math> thì ta có <math>f = (x - c)h</math> với <math>\text{deg }h = \text{deg }f - 1</math>. Người ta gọi số mũ <math>s</math> lớn nhất sao cho <math>f</math> chia hết cho <math>(x - c)s</math> là bội của nghiệm <math>c</math>, có nghĩa là <math>f = (x - c)sh</math> với <math>h(c) \ne 0</math>. Khi đó ta có thể coi <math>f</math> có <math>s</math> nghiệm <math>c</math>.

Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.

'''Định lý.''' Nếu <math>\text{deg }f = n</math> thì <math>f</math> có nhiều nhất <math>f</math> nghiệm.

Ta gọi đa thức <math>f</math> là bất khả quy nếu <math>f</math> không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn <math>\text{deg }f</math>. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.

Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức <math>x^2 - 2</math> là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì <math>x^2 - 2</math> chia hết cho <math>x - \sqrt{2}</math>.

Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành <math>A</math> có đơn vị. Khi đó, đa thức trên <math>A</math> là một biểu thức <math>f</math> có dạng

:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>

trong đó <math>x</math> là biến số và <math>a_0, a_1, ..., a_n \in A</math>. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.

Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên <math>A</math> với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên <math>A</math> lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên <math>A</math>, ký hiệu là <math>A[x]</math>.

Ta gọi đa thức <math>f</math> là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của <math>f</math> là phần tử nghịch đảo trong <math>A</math>. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:

'''Bổ đề.''' Cho <math>g \in A[x]</math> là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức <math>f \in A[x]</math> dưới dạng

:<math>f = gh + v</math>

với <math>h, v \in A[x]</math> và <math>\text{deg }v < \text{deg }g</math>. Các đa thức <math>h</math> và <math>v</math> được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.

Chú ý rằng nếu <math>A</math> là một trường thì mọi đa thức <math>g \in A[x]</math> đều có thể viết dưới dạng <math>g = ag_1</math>, trong đó <math>a</math> là hệ số đầu của <math>g</math> và <math>g_1</math> là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi <math>g_1</math> là đa thức chuẩn hoá của <math>g</math>. Ta có thể chia <math>f</math> cho <math>g</math> bằng cách chia <math>f</math> cho <math>g_1</math>. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức <math>g \ne 0</math> nếu <math>A</math> là một trường.

Ta gọi đa thức <math>f</math> là ''bất khả quy'' trong <math>A[x]</math> nếu <math>f</math> không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn <math>\text{deg }f</math> trong <math>A[x]</math>. Nếu <math>A</math> là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức <math>f \in A[x]</math> thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

Đa thức <math>n</math> biến trên <math>A</math> là một biểu thức <math>f</math> có dạng

:<math>f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},</math>

trong đó <math>x_1, ..., x_n</math> là các biến số và <math>c_{r_1, ..., r_n} \in A</math> với mọi bộ số nguyên <math>r_1, ..., r_n \ge 0</math> thoả mãn <math>r_1 + ... + r_n \le r</math> với <math>r \ge 0</math> là một số nguyên cho trước. Các phần tử <math>c_{r_1, ..., r_n}</math> được gọi là hệ số của <math>f</math>. Các thành phần <math>c_{r_1, ..., r_n}x_1^{r_1} ... x_n^{r_n}</math> được gọi là các ''hạng tử'' của <math>f</math>. Người ta hay dùng ký hiệu <math>f(x_1, ..., x_n)</math> thay cho <math>f</math> để chỉ <math>f</math> là đa thức của các biến <math>x_1, ..., x_n</math>.

Các biểu thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> được gọi là ''đơn thức''. Bậc của đơn thức <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n}</math> là tổng <math>r_1 + ... + r_n</math> của các số mũ. Nếu <math>r_1 = ... = r_n = 0</math> thì <math>x_1^{r_1}, ..., x_n^{r_n} = 1</math>. Ta quy định bậc của 1 là <math>-\infty</math>. Bậc của đa thức <math>f \ne 0</math> là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của <math>f</math>. Ta ký hiệu bậc của <math>f</math> với <math>\text{deg }f</math>. Chú ý rằng <math>\text{deg }f \le 0</math> khi và chỉ khi <math>f \in A</math>.

Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng

f = c0,0 + c10x1 + c01x2 + · · · + c1,r−1x1xr−12 + c0,rxr2.

Nếu ta coi x1, ..., xn như các phần tử trong A thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức n biến trên A. Tập các đa thức n biến trên A được gọi vành đa thức n biến trên A, ký hiệu là A[x1, ..., xn]. Ta có thể coi A[x1, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành đa thức (n − 1) biến A[x1, ..., xn−1], có nghĩa là

A[x1, ..., xn] := A[x1, ..., xn−1][xn].

Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.

Với mọi a = (α1, ..., αn) ∈ An ta ứng với đa thức f ở trên một phần tử f(a) ∈ A như sau:

f(a) = X r1+···+rn≤r cr1,...,rn α r1 1 · · · α rn n.

Nếu f(a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f. Ta có thể coi f là một hàm từ An vào A và tập nghiệm của f như là một hình hình học trong An. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.

Đa thức f được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của f đều có cùng bậc. Ví dụ như a1x1+· · ·+anxn là đa thức thuần nhất. Nếu a = (α1, ..., αn) là nghiệm của đa thức thuần nhất f thì λa = (λα1, ..., λαn) cũng là nghiệm của f. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc (0, ..., 0) của An.

Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.

Đa thức

2021-04-19T10:24:38Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Đa thức''' là một biểu thức <math>f</math> có dạng

:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>

trong đó <math>x</math> là biến số và <math>a_0, a_1, ..., a_n</math> là những số cho trước, là ''đa thức''. Người ta hay dùng ký hiệu <math>f(x)</math> thay cho <math>f</math> để chỉ <math>f</math> là đa thức của biến <math>x</math>.

Các thành phần <math>a_0, a_1 x, ..., a_n x^n</math> được gọi là các hạng tử của <math>f</math>. Với mọi <math>i</math> = 0, 1, ..., <math>n</math>, số <math>a_i</math> được gọi là hệ số của <math>x^i</math> trong <math>f</math>. Nếu <math>a_n \ne 0</math> thì ''n'' được gọi là bậc của <math>f</math>, ký hiệu là <math>\text{deg }f</math>. Khi đó, ta gọi <math>a_n</math> là hệ số đầu của <math>f</math>.

Nếu <math>a_0 = a_1 = ... = a_n = 0</math> thì ta gọi <math>f</math> là ''đa thức không'', ký hiệu cũng là 0. Để cho tiện, ta quy định <math>\text{deg } 0 = \infty</math> theo nghĩa <math>\text{deg } 0</math> nhỏ hơn <math>n</math> với mọi <math>n \ge 0</math>. Nếu <math>\text{deg }f = 0</math> thì <math>f = a_0 \ne 0</math> là một số. Nếu <math>\text{deg }f = 1</math> thì <math>f</math> được gọi là một ''đa thức tuyến tính''.

Nếu ta coi <math>x</math> như là một số thông thường thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân hai đa thức với nhau và vẫn nhận được kết quả là một đa thức. Ví dụ như nếu

:<math>g = b_0 + b_1x + ... + b_mx^m</math>

là một đa thức khác với <math>m \le n</math> thì

:<math> f + g = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + ... + (a_n + b_n)x^n,</math>

trong đó <math>b_i = 0</math> với mọi <math>i > m</math>. Ta cũng dễ dàng thấy

:<math>fg = (a_0b_0) + (a_0b_1 + a_1b_0)x + ... + (a_nb_m)x^{m+n}.</math>

Ta không có phép chia hai đa thức ''f''/''g'' vì nói chung ta không thể tìm thấy đa thức ''h'' sao cho ''f'' = ''gh''. Tuy nhiên ta luôn luôn có thể chia ''h'' cho ''g'' theo nghĩa sau:

Bổ đề. Cho ''f'' và ''g'' là hai đa thức khác không. Ta luôn tìm thấy các đa thức ''h'' và ''v'' sao cho

:<math>f = gh + v</math>

với deg ''v'' < deg ''g''. Các đa thức ''h'' và ''v'' được xác định một cách duy nhất với các tính chất trên.

Ta gọi ''h'' là thương ''v'' là phần dư của phép chia ''f'' cho ''g''. Điều kiện deg ''v'' < deg ''g'' tương tự như khi chia hai số tự nhiên cho nhau ta sẽ nhận được một phần dư nhỏ hơn số chia.

Ta có thể xác định ''h'' và ''v'' theo thuật toán sau. Đặt ''n'' = deg ''f'' và ''m'' = deg ''g''. Nếu ''n'' < ''m'' thì ta đặt ''h'' = 0 và ''v'' = ''f''. Khi đó thuật toán sẽ dừng. Nếu ''n'' ≥ ''m'' thì ta xét đa thức

:<math>f_1 := \frac{a}{b} x^{n-m} g,</math>

trong đó ''a'' và ''b'' là hệ số đầu của ''f'' và ''g''. Rõ ràng là ''f'' có thể viết dưới dạng ''gh'' + ''v'' nếu ''f''1 có thể viết dưới dạng ''gh''1 + ''v'' với deg ''v'' < deg ''g''. Ta tiếp tục quá trình trên với ''f''1 và ''g''. Do deg ''f''1 < ''m'' = deg ''g'' nên quá trình này phải dừng ở một bước thứ ''i'' nào đó, có nghĩa là ''fi'' có thể viết dưới dạng ''ghi'' + ''v'' với deg ''v'' < deg ''g''. Từ đây suy ra ''f'' có thể viết dưới dạng ''gh'' + ''v'' với deg ''v'' < deg ''g''. Thuật toán trên đây được gọi là ''thuật toán Ơclit''.

Nếu ''f'' = ''gh'' hay là ''v'' = 0 thì ta nói ''f'' chia hết cho ''g'' hay ''g'' là ước của ''f''.

Trong trường hợp ''g'' = ''x'' − ''c'' với ''c'' là một số nào đó thì deg ''v'' < deg ''g'' = 1. Nếu deg ''v'' = 0 thì ''v'' là một số khác không. Nếu deg ''v'' < 0 thì ''v'' chỉ có thể là không. Tóm lại ta luôn luôn có thể viết

:<math>f = (x - c)h + v</math>

với ''v'' là một số nào đó.

Ta có thể coi mỗi đa thức ''f'' như một hàm số với

:<math>f(c) = a_0 + a_1c + ... + a_nc^n.</math>

Số ''c'' được gọi là nghiệm của ''f'' nếu ''f(c)'' = 0. Từ công thức <math>f = (x - c)h + v</math> ta nhận được mối liên hệ sau giữa nghiệm và tính chia hết của ''f''.

'''Bổ đề.''' ''f''(''c'') = 0 khi và chỉ khi ''f'' chia hết cho ''x'' − ''c''.

Nếu ''c'' là nghiệm của ''f'' thì ta có ''f'' = (''x'' − ''c'')''h'' với deg ''h'' = deg ''f'' − 1. Người ta gọi số mũ ''s'' lớn nhất sao cho ''f'' chia hết cho (''x'' − ''c'')''s'' là bội của nghiệm ''c'', có nghĩa là ''f'' = (''x'' − ''c'')''sh'' với ''h''(''c'') ≠ 0. Khi đó ta có thể coi ''f'' có ''s'' nghiệm ''c''.

Ta có thể ước lượng số nghiệm của một đa thức như sau.

'''Định lý.''' Nếu deg ''f'' = ''n'' thì ''f'' có nhiều nhất ''n'' nghiệm.

Ta gọi đa thức ''f'' là bất khả quy nếu ''f'' không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn deg ''f''. Ví dụ như mọi đa thức tuyến tính đều là bất khả quy. Khái niệm bất khả quy mở rộng khái niệm số nguyên tố trong số học.

Thực ra tính bất khả quy phụ thuộc vào việc ta xét các đa thức trên tập hệ số nào. Nếu ta chỉ xét các đa thức có hệ số hữu tỷ thì đa thức ''x''2 − 2 là đa thức bất khả quy. Đa thức này không bất khả quy trên tập các số thực vì ''x''2 − 2 chia hết cho ''x'' −√2.

Tổng quát hơn ta có thể xét các đa thức trên một vành ''A'' có đơn vị. Khi đó, đa thức trên ''A'' là một biểu thức ''f'' có dạng

:<math>f = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n,</math>

trong đó ''x'' là biến số và ''a''0, ''a''1, ..., ''an'' ∈ A. Các khái niệm cơ bản liên quan đến đa thức được định nghĩa tương tự như trường hợp đa thức thông thường.

Do ta có thể cộng, trừ và nhân hai đa thức trên ''A'' với nhau nên tập hợp tất cả các đa thức trên ''A'' lập thành một vành được gọi là vành đa thức trên ''A'', ký hiệu là ''A''[''x''].

Ta gọi đa thức ''f'' là chuẩn hoá nếu hệ số đầu của ''f'' là phần tử nghịch đảo trong ''A''. Khi đó ta có thể mở rộng bổ đề về phép chia hai đa thức như sau:

'''Bổ đề.''' Cho ''g'' ∈ ''A''[''x''] là đa thức chuẩn hoá. Ta có thể viết mọi đa thức ''f'' ∈ ''A''[''x''] dưới dạng

:<math>f = gh + v</math>

với ''h'', ''v'' ∈ ''A''[''x''] và deg ''v'' < deg ''g''. Các đa thức ''h'' và ''v'' được xác định một cách duy nhất qua các tính chất trên.

Chú ý rằng nếu ''A'' là một trường thì mọi đa thức ''g'' ∈ ''A''[''x''] đều có thể viết dưới dạng ''g'' = ''ag''1, trong đó ''a'' là hệ số đầu của ''g'' và ''g''1 là đa thức chuẩn hoá. Khi đó ta gọi ''g''1 là đa thức chuẩn hoá của ''g''. Ta có thể chia ''f'' cho ''g'' bằng cách chia ''f'' cho ''g''1. Vì vậy định lý trên vẫn đúng cho mọi đa thức ''g'' ≠ 0 nếu ''A'' là một trường.

Ta gọi đa thức ''f'' là bất khả quy trong ''A''[''x''] nếu f không chia hết cho bất kỳ một đa thức bậc dương nhỏ hơn deg ''f'' trong ''A''[''x'']. Nếu A là một trường thì ta có thể phân tích mọi đa thức ''f'' ∈ ''A''[''x''] thành tích các đa thức bất khả quy và tập các đa thức chuẩn hoá của các đa thức bất khả quy xuất hiện trong một sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

Đa thức ''n'' biến trên ''A'' là một biểu thức ''f'' có dạng

:<math>f = \sum_{r_1+...+r_n \le r} c_{r_1, ..., r_n} x_1^{r_1} ... x_n^{r_n},</math>

trong đó ''x''1, ..., ''x''n là các biến số và ''c''''r''1,...,''r''''n'' ∈ ''A'' với mọi bộ số nguyên ''r''1, ..., ''r''''n'' ≥ 0 thoả mãn ''r''1 + ... + ''r''''n'' ≤ ''r'' với ''r'' ≥ 0 là một số nguyên cho trước. Các phần tử ''c''''r''1,...,''r''''n'' được gọi là hệ số của ''f''. Các thành phần ''c''''r''1,...,''r''''n'' ''x''1''r''1 ... ''x''n''r''n ''x'' được gọi là các ''hạng tử'' của f. Người ta hay dùng ký hiệu ''f''(''x''1, ..., ''x''n) thay cho ''f'' để chỉ ''f'' là đa thức của các biến ''x''1, ..., ''x''n.

Các biểu thức ''x''1''r''1 ... ''x''n''r''n được gọi là đơn thức. Bậc của đơn thức x r1 1 · · · x rn n là tổng r1 + · · · + rn của các số mũ. Nếu r1 = · · · = rn = 0 thì x r1 1 · · · x rn n = 1. Ta quy định bậc của 1 là −∞. Bậc của đa thức f 6= 0 là bậc lớn nhất của các đơn thức với hệ số khác không của f. Ta ký hiệu bậc của f với deg f. Chú ý rằng deg f ≤ 0 khi và chỉ khi f ∈ A.

Khi viết một đa thức nhiều biến người ta thường sắp xếp các hạng tử theo một thứ tự nào đó của các đơn thức. Thứ tự thường được sử dụng nhất là thứ tự từ điển coi x1, ..., xn như những chữ cái và đơn thức x r1 1· · · x rn n như một chữ bao gồm r1 chữ cái x1,..., rn chữ cái xn. Như vậy, x r1 1 · · · x rn n sẽ đứng trước x s1 1 · · · x sn n nếu r1 < s1 hay r1 = s1 nhưng s2 < r2, v.v. Theo thứ tự từ điển thì ta có thể coi 1 < x1 < x2 < x21 < x1x2 < x22 < · · · < x1xr−12 < xr2. Khi đó ta có thể viết mọi đa thức hai biến bậc r dưới dạng

f = c0,0 + c10x1 + c01x2 + · · · + c1,r−1x1xr−12 + c0,rxr2.

Nếu ta coi x1, ..., xn như các phần tử trong A thì ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ và nhân với các đa thức n biến trên A. Tập các đa thức n biến trên A được gọi vành đa thức n biến trên A, ký hiệu là A[x1, ..., xn]. Ta có thể coi A[x1, ..., xn] là vành đa thức của biến xn trên vành đa thức (n − 1) biến A[x1, ..., xn−1], có nghĩa là

A[x1, ..., xn] := A[x1, ..., xn−1][xn].

Điều này cho phép ta quy việc nghiên cứu vành đa thức nhiều biến về việc nghiên cứu vành đa thức một biến.

Với mọi a = (α1, ..., αn) ∈ An ta ứng với đa thức f ở trên một phần tử f(a) ∈ A như sau:

f(a) = X r1+···+rn≤r cr1,...,rn α r1 1 · · · α rn n.

Nếu f(a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f. Ta có thể coi f là một hàm từ An vào A và tập nghiệm của f như là một hình hình học trong An. Các khái niệm này cho ta một cầu nối giữa đại số và hình học.

Đa thức f được gọi là thuần nhất nếu mọi hạng tử khác không của f đều có cùng bậc. Ví dụ như a1x1+· · ·+anxn là đa thức thuần nhất. Nếu a = (α1, ..., αn) là nghiệm của đa thức thuần nhất f thì λa = (λα1, ..., λαn) cũng là nghiệm của f. Các nghiệm dạng này có thể coi như một đường thẳng đi qua điểm gốc (0, ..., 0) của An.

Vì vậy tập nghiệm của một đa thức thuần nhất là hợp của một số đường thẳng đi qua điểm gốc. Điều này dẫn đến sự ra đời của hình học xạ ảnh coi mỗi đường thẳng đi qua điểm gốc như là một điểm trong một không gian mới.

BKTT:Mục từ cần ưu tiên biên soạn

2021-04-14T09:26:19Z

Minhpc:

<center>''Danh sách các mục từ mà [[Đề án Biên soạn Bách khoa Toàn thư Việt Nam]] thỉnh cầu cộng đồng ưu tiên biên soạn.''</center>

'''Toán học, Cơ học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Gia tốc]]
*[[Đo dòng chảy]]
*[[Áp điện]]
*[[Ánh xạ]]
*[[Bài toán quyết định]]
*[[Bất đẳng thức mô men]]
*[[Liên thông]]
*[[Ánh xạ đóng]]
*[[Chiểu tô pô]]
*[[Biến ngẫu nhiên]]
</div>
'''Vật lý học, Thiên văn học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Chương trình Interkosmos]]
*[[Định luật đối xứng]]
*[[Đồng hồ nguyên tử]]
*[[Đồng vị]]
*[[Giả vectơ]]
*[[Giả vô hướng]]
*[[Giải thưởng Lenin]]
*[[Hawking Stephen]]
*[[Hệ thấp chiều]]
*[[Vật lý thiên văn]]
</div>
'''Hóa học, Công nghệ hóa học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Pauling Linus Carl]]
*[[Tập Đoàn dầu khí quốc gia Việt Nam]]
*[[Hóa thực vật]]
*[[Chuyển vị Hofmann]]
*[[Bảo vệ nhóm chức]]
*[[Sàng lọc ảo]]
*[[Tannin]]
*[[Nước thải sinh hoạt]]
*[[Ăn mòn điện hóa]]
*[[Quang phổ hấp thụ]]
</div>
'''Sinh học, Công nghệ sinh học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Động vật học]]
*[[Sán lá gan]]
*[[Bọ rùa (họ)]]
*[[Giáp chân chèo mê số]]
*[[Cấu trúc quần xã động vật đất]]
*[[Bò sát]]
*[[Ngành thân mềm]]
*[[Nấm kim châm]]
*[[Nuôi cấy mô và tế bào]]
*[[Nấm men]]
</div>
'''Địa chất học, Môi trường'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Địa chất Việt Nam]]
*[[Tạp chí Các khoa học về trái đất]]
*[[Chu kỳ kiến tạo]]
*[[Tổng hội Địa chất Việt Nam]]
*[[Thềm lục địa]]
*[[Các cuộc đại tuyệt chủng trong lịch sử tiến hóa Trái Đất]]
*[[Hệ thống môi trường nhân tạo]]
*[[Năng lượng hệ sinh thái]]
*[[Ô nhiễm điện từ trường]]
*[[Ao kỵ khí]]
</div>
'''Địa lý học, Địa lý thế giới'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Trái đất và hệ mặt trời]]
*[[Địa hình bề mặt trái đất]]
*[[Chu trình sinh địa hóa]]
*[[Địa mạo học và cổ địa lí]]
*[[Bán bình nguyên]]
*[[Các chuyên ngành của địa mạo học]]
*[[Cổ địa mạo]]
*[[Đầm phá]]
*[[Miệng núi lửa]]
*[[Nón Karst]]
</div>
'''Địa lý Việt Nam, Địa chính'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[An Nam Đại Quốc họa đồ của Louis Taberd, 1838]]
*[[Bài toán biên của trường trọng lực]]
*[[Gió chướng]]
*[[Học thuyết kinh tế - chính trị học về đất đai]]
*[[Khoa địa lý, trường đại học khoa học tự nhiên, đại học quốc gia Hà Nội]]
*[[Phân vùng địa lý tự nhiên biển - đảo Việt Nam]]
*[[Phân loại phức thể địa danh thao phức thể ngôn ngữ]]
*[[Địa lý học Việt Nam thời kỳ thuộc Pháp]]
*[[Vidal de La Blache, P. (1845 - 1918)]]
*[[Vùng du lịch duyên hải Nam Trung bộ]]
</div>
'''Công nghệ thông tin'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Dẫn lái kiến trúc]]
*[[Kiểm thử phần mềm]]
*[[Phát triển phần mềm Agile]]
*[[Mô hình dữ liệu ngữ nghĩa]]
*[[Nhà cung cấp nội dung số]]
*[[Hội tụ công nghệ]]
*[[Hội tụ truyền thông]]
*[[Chuyển đổi số]]
*[[Công nghiệp nội dung số]]
*[[Người máy]]
</div>
'''Nông nghiệp, Thủy lợi'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Cống lấy nước vào kênh]]
*[[Thiên tai liên quan đến nước]]
*[[Đất có vấn đề ở Đồng Bằng Sông Cửu Long]]
*[[Hệ thống máy móc chế biến chè Ô Long]]
*[[Hệ thống VAC]]
*[[Hội Thú y Việt Nam]]
*[[Lợn nái cơ bản]]
*[[Thực vật dẫn dụ côn trùng]]
*[[Bùi Huy Đáp]]
*[[Công nghệ vi sinh xử lý chất thải]]
</div>
'''Lâm nghiệp, Ngư nghiệp'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Khảo nghiệm hậu thế cây rừng]]
*[[Động thái rừng]]
*[[Sinh vật hại gỗ]]
*[[Đặc tính gỗ]]
*[[Trồng rừng thâm canh]]
*[[Nguồn lợi thủy sản]]
*[[Sinh trưởng của cá]]
*[[Hiệp định về cá Vịnh Bắc bộ Việt Nam - Trung Quốc]]
*[[Di truyền chọn giống thủy sản]]
*[[Các sản phẩm y sinh học từ rong biển]]
</div>
'''Hải dương học, Khí tượng thủy văn'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Nguyễn Văn Quý]]
*[[Dòng chảy tổng hợp]]
*[[Dòng chảy tối thiểu]]
*[[Bồi lắng cửa sông]]
*[[Quang học biển]]
*[[Khí nhà kính/Hiệu ứng khí nhà kính]]
*[[Ban đầu hóa]]
*[[Nhân tố hình thành khí hậu]]
*[[Chỉ thị sinh học]]
*[[Biến đổi khí hậu]]
</div>
'''Y học, Dược học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Cam thảo]]
*[[Cấy phân]]
*[[Kinh nguyệt]]
*[[Artemisinin]]
*[[Châm cứu]]
*[[Bệnh động kinh]]
*[[Kháng sinh]]
*[[Hồ Đắc Di]]
*[[Bệnh viện Chợ Rẫy]]
*[[Tạp chí Y học thực hành]]
</div>
'''Điện, Điện tử, Tự động hóa'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Hệ thống vi cơ quang điện tử]]
*[[An toàn bức xạ]]
*[[Mạng số tích hợp băng rộng B-ISDN]]
*[[Điện thoại]]
*[[Marconi]]
*[[Ghi lò]]
*[[Cách tay robot]]
*[[Tổng hội Kỹ sư điện, điện tử IEEE]]
*[[Điện khí hóa]]
*[[Bộ điều khiển logic khả trình]]
</div>
'''Xây dựng, Công nghệ vật liệu'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[60 năm ngày truyền thống ngành xây dựng]]
*[[Cọc khoan nhồi]]
*[[Nhà thép tiền chế]]
*[[Đường cao tốc Hà Nội - Hải Phòng]]
*[[Đồng Sỹ Nguyên]]
*[[Công trình bến cảng]]
*[[Thi công công trình biển]]
*[[Thông gió tự nhiên trong công trình dân dụng]]
*[[Dự án đầu tư xây dựng]]
*[[Bê tông cường độ cao]]
</div>
'''Giao thông, Vận tải'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Bến nhà rồng]]
*[[Cầu Thăng Long]]
*[[Hệ thống chiếu sáng đô thị]]
*[[Hội khoa học kỹ thuật cầu đường Việt Nam]]
*[[Lịch sử phát triển hàng không thế giới]]
*[[Nguyễn Đăng Chế]]
*[[Tai nạn hàng hải]]
*[[Tốc độ thiết kế]]
*[[Vách hầm]]
*[[Xe ô tô điện]]
</div>
'''Cơ khí, Mỏ, Luyện kim'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Khoáng vật nhiệt dịch]]
*[[Khoáng vật phong hóa]]
*[[Dung môi hòa tách]]
*[[Hòa tách thấm lọc]]
*[[Tạo khoáng trong tự nhiên]]
*[[Thủy luyện]]
*[[Tinh luyện]]
*[[Khoáng vật ngoại sinh]]
*[[Khoáng vật biến chất]]
*[[Thiêu oxi hóa]]
*[[Thiêu hoàn nguyên]]
</div>
'''Dệt, May, Giấy, Thực phẩm'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Trường Đại học Công nghệ Thực phẩm Matxcova]]
*[[Dầu dừa]]
*[[Chả rươi]]
*[[Lui Pasteur]]
*[[Tinh luyện dầu béo thực vật]]
*[[Chốt hãm trên trang phục]]
*[[Chất lượng sản phẩm dệt may]]
*[[Cơ cấu ba tang trên máy dệt thoi]]
*[[Giấy thấm]]
*[[Thái Luân]]
</div>
'''Văn học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Ai Tư Vãn]]
*[[Baroc]]
*[[Cách ngôn]]
*[[Chính Hữu]]
*[[Dân ca]]
*[[Hò]]
*[[Kho tàng truyện cổ tích Việt Nam]]
*[[Lão Hà Tiện]]
*[[Nhóm Đông Dương tạp chí]]
*[[Xã hội học văn học]]
</div>
'''Ngôn ngữ học, Hán Nôm'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[An nam đồ thuyết]]
*[[Âm điệu]]
*[[Chế phong]]
*[[Halliday M.A.K]]
*[[Hiệu điểm]]
*[[Hội Ngôn ngữ học]]
*[[Nói mỉa]]
*[[Phong cách học]]
*[[Ý nghĩa]]
*[[Trường phái Geneva]]
</div>
'''Văn hóa dân gian, Ngành nghề thủ công'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Văn hóa sinh thái]]
*[[Tổ nghề]]
*[[Huyền thoại hóa]]
*[[Hội Lim]]
*[[Cao Văn lầu]]
*[[Ruộng bậc thang]]
*[[Lễ thổi tai]]
*[[Ma rừng]]
*[[Sấm ký]]
*[[Bùa ngải]]
</div>
'''Lịch sử Việt Nam'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Bàn yêu sách của nhân dân An Nam]]
*[[Bắc thuộc và chống Bắc thuộc]]
*[[Cách mạng tháng Tám năm 1945]]
*[[Cải cách Hồ Quý Ly]]
*[[Chỉ thị Hòa để tiến]]
*[[Chính phủ Nguyễn Văn Thinh]]
*[[Cư dân Đá cũ An Khê]]
*[[Địa đạo Củ Chi]]
*[[Mạc Đăng Dung]]
*[[Nguyễn Ái Quốc - Hồ Chí Minh]]
</div>
'''Lịch sử thế giới'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Bồ Đào Nha đánh chiếm Hồi quốc Malacca]]
*[[Cải cách Tai Ka]]
*[[Hiệp sĩ phong kiến]]
*[[Khang Hữu Vi]]
*[[Sipay]]
*[[Chiến tranh Trung - Nhật]]
*[[Các trục liên minh]]
*[[Bè lũ bốn tên]]
*[[Đạo luật về Chính sách trung lập của Mĩ]]
*[[Cách mạng Cuba]]
</div>
'''Khảo cổ học, Dân tộc học – Nhân học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Ấn triện thời Lê Trung Hưng]]
*[[Bảo vật quốc gia (Văn hóa Đông Sơn)]]
*[[Bia đá]]
*[[Các trường phái khảo cổ học trên thế giới]]
*[[Hà Văn Tấn]]
*[[Cúng ma bản]]
*[[Dân tộc học Xô Viết]]
*[[Hỏa xá]]
*[[Pô Lăn]]
*[[Lewis Henry Morgan, xã hội cổ đại - thuyết tiến hóa thế kỷ XIX]]
</div>
'''Kinh tế học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Cấm vận kinh tế]]
*[[Cổ phần hóa]]
*[[Cơ quan Thông tin và Hợp tác Thương mại Quốc tế]]
*[[Chương trình Lương thực Thế giới]]
*[[Joseph E. Stiglitz]]
*[[Lý thuyết Heckscher-Ohlin]]
*[[Chuỗi cung ứng]]
*[[Hiệp định Đối tác Toàn diện và Tiến bộ xuyên Thái Bình Dương]]
*[[Kinh tế Cộng hoà Ba Lan]]
*[[Hiệp định thương mại Việt Nam-Hoa Kỳ]]
</div>
'''Tài chính, Ngân hàng, Tiền tệ'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Chương trình mục tiêu quốc gia]]
*[[Giá bán buôn]]
*[[Giá bán lẻ]]
*[[Hóa đơn]]
*[[Năm tài chính]]
*[[Ngân hàng chính sách xã hội]]
*[[Nguồn lực tài chính]]
*[[Tạp chí phố Wall]]
*[[Công ty Tín Thác]]
*[[Irving Fisher]]
</div>
'''Triết học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Bất khả tri luận]]
*[[Đặng Huy Trứ]]
*[[Hình nhi hạ]]
*[[Dương Minh học]]
*[[Khổng Học đăng]]
*[[Nội dung và Hình thức]]
*[[Đối tượng của triết học]]
*[[Hệ tư tưởng]]
*[[Hêgen G.V.F. (Georg Wilhelm Friedrich Hegel)]]
*[[Lý luận nhận thức]]
</div>
'''Tôn giáo, Xã hội học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Chăm Islam]]
*[[Đạo Tràng]]
*[[Đức Phật]]
*[[Hội Thánh Tin lành Việt Nam]]
*[[Lễ Phật Đản]]
*[[Lệch chuẩn xã hội]]
*[[Hôn nhân cận huyết]]
*[[Lao động đi làm việc ở nước ngoài]]
*[[Lý thuyết mạng lưới xã hội]]
*[[Mang thai hộ]]
</div>
'''Chính trị, Ngoại giao, Tổ chức'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Bàn về cách mạng Việt Nam]]
*[[Chủ nghĩa Biệt Lập]]
*[[Chuyến thăm pháp của chủ tịch Hồ Chí Minh]]
*[[Dân chủ hóa]]
*[[Giáo hội công giáo Việt Nam]]
*[[Hành chính công]]
*[[Ngã ba Đông Dương]]
*[[Ngôn ngữ ngoại giao]]
*[[Machiavelli Nicolo]]
*[[Tổ chức ảo]]
</div>
'''Quốc phòng'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Tiến công]]
*[[Ngoại khoa chiến tranh]]
*[[Súng phun lửa]]
*[[Pháo Đ-74]]
*[[Phòng tuyến Đờ Lát]]
*[[Mấy vấn đề nghệ thuật quân sự Việt Nam]]
*[[Đại đoàn 351]]
*[[ĐacGiăngLiƠ]]
*[[Phòng thủ dân sự]]
*[[Trận Xom]]
</div>
'''Luật học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Bản thể luận pháp luật]]
*[[Bộ quy tắc ứng xử trong luật quốc tế]]
*[[Can thiệp nhân đạo]]
*[[Chế độ quản thác]]
*[[Chỉ số của tình hình tội phạm]]
*[[Cơ chế điều chỉnh pháp luật]]
*[[Đàn hặc]]
*[[Hệ thống pháp luật Hồi Giáo]]
*[[Hệ tư tưởng pháp luật]]
*[[Luật 12 bảng]]
</div>
'''Tâm lý học, Giáo dục học'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Chủ nghĩa thực chứng logic]]
*[[Chủ nghĩa tâm linh]]
*[[Đa trí tuệ]]
*[[Định luật Weber]]
*[[Hiệp hội tâm lý học Mỹ]]
*[[Khách thể]]
*[[Phương thức hình thành nhân cách]]
*[[Phản ứng]]
*[[Thang đánh giá của Hamilton]]
*[[Trầm cảm hưng cảm]]
</div>

'''Mỹ thuật, Kiến trúc'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Bản gốc]]
*[[Bích họa]]
*[[Gốm Bát Tràng]]
*[[Michenlagelo]]
*[[Du kích tập bắn]]
*[[Bản sắc nơi chốn]]
*[[Chùa Phật Tích]]
*[[Đô thị hóa]]
*[[Frank Lloyd Wright]]
*[[Hồ Tây]]
</div>
'''Du lịch, Thể dục thể thao, Ẩm thực, Trang phục'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[Áo]]
*[[Bóng đá]]
*[[Điểm du lịch thành nhà Hồ]]
*[[Ẩm thực Huế]]
*[[Liên đoàn điền kinh]]
*[[Chất lượng du lịch]]
*[[Cháo hoa]]
*[[Đấu kiếm]]
*[[Áo dài cách tân]]
*[[Áo các dân tộc thiểu số vùng Tây Bắc]]
</div>
'''An ninh'''
<div style="column-count:5;-moz-column-count:5;-webkit-column-count:5">
*[[An ninh tổ quốc]]
*[[Chứng nhận đăng ký xe mô tô, xe máy]]
*[[Công ước quốc tế về kiểm soát ma túy]]
*[[Đạn đạo học]]
*[[Dân phòng]]
*[[Đối sách]]
*[[Giám định viên tư pháp]]
*[[Khiếu kiện đông người]]
*[[Khu di tích hòn đá bạc]]
*[[Rửa tiền]]
</div>

Lê Văn Thiêm

2021-04-09T09:26:53Z

Minhpc:

{{mới}}
[[Hình:Lê Văn Thiêm statue at Hanoi University of Education.jpg|nhỏ|350px|Tượng Lê Văn Thiêm trong khuôn viên [[Trường Đại học Sư phạm Hà Nội]]]]
'''Lê Văn Thiêm''' (sinh năm 1918, mất năm 1991) là một [[nhà toán học]] [[Việt Nam]], một trong những người đầu tiên xây dựng toán học Việt Nam hiện đại.<ref>[[Hà Huy Khoái]], ''[https://link.springer.com/article/10.1007/s40306-018-00316-z Le Van Thiem—the Founder of Contemporary Mathematics in Vietnam]'', [[Acta Mathematica Vietnamica]], 2020, số 45, tr.3–10, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/s40306-018-00316-z 10.1007/s40306-018-00316-z]</ref> Ông từng đảm nhiệm các vị trí Giám đốc [[Trường Đại học Sư phạm Khoa học Hà Nội]] (1954-1956), Phó Hiệu trưởng [[Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội]] (1957-1970), Viện trưởng đầu tiên của [[Viện Toán học]] (1970-1980), Chủ tịch đầu tiên của [[Hội Toán học Việt Nam]], Tổng biên tập đầu tiên của hai tờ báo toán học của Việt Nam là [[Acta Mathematica Vietnamica]] và [[Vietnam Journal of Mathematics]].

==Tiểu sử==
Lê Văn Thiêm sinh ngày 29 tháng 3 năm 1918 tại làng Trung Lễ, [[huyện Đức Thọ|Đức Thọ]], [[Hà Tĩnh]]. Trung Lễ là một làng cổ, thành lập cách đây khoảng 600 năm trên vùng đất trũng, quanh năm bị đe doạ vì nạn hạn hán, lụt lội. Dân Trung Lễ thuần nông, nghèo và hiếu học. Từ thế kỷ 15 đã có ông Trần Tước đỗ Tiến sĩ (Khoa Bình Thìn, 1496). Họ Lê ở Trung Lễ nổi tiếng về truyên thống Nho học và yêu nước. Cụ thân sinh ra Lê Văn Thiêm là ông Lê Văn Nhiễu (1869-1929), nhiều nơi viết là Nhiệu (theo cách phát âm của người Hà Tĩnh), đậu [[cử nhân]] Khoa Canh Tý (1900). Mẫu thân của cụ Cử Lê Văn Nhiễu, tức bà nội của Lê Văn Thiêm, là bà Phan Thị Dại, chị ruột nhà yêu nước [[Phan Đình Phùng]]. Chú ruột của Lê Văn Thiêm là ông Lê Văn Huân, đậu Giải nguyên Khoa Bính Ngọ (1906), tham gia phong trào yêu nước Duy Tân Hội, rồi Tân Việt Đảng, và tự sát trong nhà lao Vinh năm 1929. Cụ Lê Văn Nhiễu tuy đỗ đạt nhưng không ra làm quan, mà ở lại quê nhà dạy học, bốc thuốc, phụng dưỡng cha mẹ, nuôi dạy con cái. Người anh cả của Lê Văn Thiêm là Lê Văn Kỷ đậu [[Tiến sĩ]] năm Kỷ Mùi (1919) trong khoa thi cuối cùng của [[Triều Nguyễn]]. Anh thứ hai của Lê Văn Thiêm, ông Lê Văn Luân, là Bí thư Huyện uỷ [[Đảng Cộng sản Đông Dương]] [[huyện Đức Thọ]], bị [[Pháp]] xử tử hình năm 1931. Trong số 5 người chị gái của Lê Văn Thiêm có hai người tham gia phong trào cách mạng 1930-1931 và được công nhận là lão thành cách mạng.

Sinh ra trong một gia đình giàu truyền thống yêu nước, Lê Văn Thiêm sớm nuôi trong mình hoài bão học tập để phụng sự Tổ quốc. Năm 1941, Lê Văn Thiêm thi đỗ vào trường [[École Normale Supérieure]] ở Phố d’Ulm của [[Paris]] ([[Pháp]]). Tốt nghiệp École Normale, Lê Văn Thiêm làm nghiên cứu sinh tại [[Đại học Göttingen]] ([[Đức]]) dưới sự hướng dẫn của [[Hans Wittich]] và bảo vệ luận án Tiến sĩ Toán học về giải tích phức ngày 4 tháng 4 năm 1945.<ref>Le Van Thiem, ''[https://www.worldcat.org/title/uber-die-bestimmung-des-typus-einfach-zusammenhangender-offener-riemannscher-flachen/oclc/831034378 Über die Bestimmung des Typus einfach zusammenhängender offener Riemannscher Flächen]'', Luận văn Tiến sĩ tại [[Đại học Göttingen]] 1945, 55 trang, lưu trữ ngày 8 tháng 4 năm 1946 tại [[Thư viện Quốc gia Đức]] với mã định danh [http://d-nb.info/481693971 481693971], OCLC 831034378</ref> Ông đã từng học với những người thầy giỏi nhất thời đó, như [[Nevanlinna]], [[Valiron]], và nghiên cứu một lĩnh vực thời sự nhất thời bấy giờ là [[lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình]] (còn gọi là [[lý thuyết Nevanlinna]]). Ông bảo vệ luận án Tiến sĩ quốc gia Pháp năm 1949 với những kết quả mà ngày nay đã trở thành kinh điển.<ref>Lê Van Thiem, ''[https://www.worldcat.org/title/sur-le-probleme-dinversion-dans-la-theorie-de-la-distribution-des-valeurs-des-fonctions-meromorphes/oclc/32261334 Sur le problème d'inversion dans la théorie de la distribution des valeurs des fonctions méromorphes]'', Luận văn Tiến sĩ tại [[Đại học Paris]] 1949, xuất bản năm 1950 tại Paris bởi nhà xuất bản Gauthier-Villars, 48 trang, lưu trữ tại [[Thư viện Quốc gia Pháp]] với mã định danh [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb32379854x FRBNF32379854], OCLC 32261334</ref>

Nghe theo lời kêu gọi của Chủ tịch [[Hồ Chí Minh]], cuối năm 1949, ông đã rời con đường công danh ở Châu Âu để bí mật trở về nước tham gia kháng chiến. Từ Châu Âu, ông về [[Băng Cốc]], rồi từ đó đi qua [[Campuchia]] để về [[Nam Bộ]]. Ở Nam Bộ, Giáo sư Lê Văn Thiêm gia nhập [[Đảng Cộng sản Đông Dương]] và công tác tại Sở Giáo dục. Ông đã góp phần đào tạo nhiều giáo viên cho kháng chiến. Ít lâu sau, ông lên đường ra Việt Bắc nhận nhiệm vụ mới: lãnh đạo trung tâm đại học đầu tiên của nước Việt Nam dân chủ cộng hoà. Sau 6 tháng gian nan đi bộ từ Nam Bộ lên chiến khu Việt Bắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm được giao trọng trách Hiệu trưởng Trường Sư phạm cao cấp và Trường Khoa học cơ bản. Ông đã làm hết sức mình trên cương vị đó, và trở thành người đặt nền móng cho giáo dục đại học của nước Việt Nam mới, người thầy của hầu hết những nhà khoa học Việt Nam được đào tạo trong hơn mươi, mười lăm năm đầu tiên sau Cách mạng Tháng Tám.

Từ sau khi hoà bình lập lại, Giáo sư Lê Văn Thiêm được giao nhiều trọng trách: Giám đốc [[Trường Đại học Sư phạm Khoa học Hà Nội]] (1954-1956), Phó Hiệu trưởng [[Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội]] (1957-1970), Viện trưởng đầu tiên của [[Viện Toán học]] (1970-1980). Ông là [[đại biểu Quốc hội]] các khoá II và III. Ông cũng là Đại diện toàn quyền của Việt Nam tại [[Viện nghiên cứu hạt nhân Đupna]], [[Liên Xô]] (từ 1956 đến 1980), Chủ tịch đầu tiên của [[Hội Toán học Việt Nam]], Tổng biên tập đầu tiên của hai tờ báo toán học của Việt Nam là [[Acta Mathematica Vietnamica]] và [[Vietnam Journal of Mathematics]].

==Đóng góp==

===Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình===

[[Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình]], còn gọi là [[lý thyết Nevanlinna]], được xem là một trong những lý thuyết đẹp nhất của [[giải tích toán học]] thế kỷ 20. Có thể xem lý thuyết này là sự mở rộng của định lý cơ bản của [[đại số]].

Có ba “hòn đá tảng” của lý thuyết Nevanlinna: Đính lý cơ bản thứ nhất, Định lý cơ bản thứ hai, Quan hệ số khuyết. Đóng góp của Lê Văn Thiêm vào lý thuyết Nevanlinna chính là những kết quả về Bài toán ngược.

Nhắc lại rằng, để định lượng “số khuyết”, [[Rolf Herman Nevanlinna|Nevanlinna]] đưa ra các đại lượng sau:
:<math>\delta(a) = \liminf_{ r \to \infty} \frac{m(f, a, r)}{T(f, r)}</math>
:<math>\theta(a) = \limsup_{ r \to \infty} \frac{\bar{N}(f, a, r)}{T(f, r)}</math>
trong đó <math>\bar{N}</math>(''f'', ''a'', ''r'') là đại lượng được tính như ''N''(''f'', ''a'', ''r''), nhưng mỗi nghiệm của phương trình ''f''(''z'') = ''a'' chỉ được kể một lần (không tính bội).

Số ''δ''(''a'') được gọi là số khuyết của hàm tại giá trị ''a''. Nevanlinna chứng minh quan hệ số khuyết sau đây <math>\sum_{a \in \mathbb{C} \cup \infty}</math>(''δ''(''a'') + ''θ''(''a'')) ≤ 2.

Từ quan hệ số khuyết, một cách tự nhiên xuất hiện bài toán sau, thường được gọi là bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna, "Cho dãy hữu hạn hoặc vô hạn các điểm {''a''''k''} trong mặt phẳng phức <math>\mathbb{C}</math> (kể cả điểm vô cùng), và các số không âm tương ứng ''δ''(''a''''k'') , ''θ''(''a''''k'') thoả mãn các điều kiện sau: 0 < ''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'') ≤ 1, ''k'' = 1, 2, ... và <math> \sum_{k}</math>(''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'')) ≤ 2; tìm hàm phân hình có số khuyết (tương ứng, chỉ số bội) tại các điểm ''a''''k'' là ''δ''(''a''''k'') tương ứng, ''θ''(''a''''k'') và số khuyết (tương ứng, chỉ số bội) bằng 0 tại các điểm còn lại."

Nevanlinna (năm 1932) đã cho lời giải của bài toán trên trong trường hợp riêng với những giả thiết chặt sau đây:
# dãy {''a''''k''} là hữu hạn,
# ''δ''(''a''''k'') là các số hữu tỷ
# ''θ''(''a''''k'') = 0 với mọi ''k''.

Trong khoảng 15 năm tiếp theo kể từ kết quả đầu tiên của Nevanlinna, bài toán trên không tiến triển thêm được bước nào đáng kể. Cho đến năm 1949, Lê Văn Thiêm đã tiến một bước trong việc giải bài toán.<ref>Le-Van Thiem, ''[https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02565590 Über das Umkehrproblem der Wertverteilungslehre]'', [[Commentarii Mathematici Helvetici]], tháng 12 năm 1949, số 23, tr.26–49, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02565590 10.1007/BF02565590], MR 0030609</ref> Kết quả chính mà ông thu được là xây dựng nghiệm của bài toán ngược với những giả thiết sau đây:
# dãy {''a''''k''} là hữu hạn,
# ''δ''(''a''''k'') là các số hữu tỷ,
# nếu ''θ''(''a''''k'') > 0 thì ''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'') < 1,
# <math>\sum_{k}</math>(''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'')) = 2.

Đóng góp của Lê Văn Thiêm không chỉ là việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm bài toán ngược trong những tình huống tổng quát hơn so với công trình của Nevanlinna, mà điều quan trọng là lần đầu tiên, ông đưa ra công cụ ánh xạ á bảo giác và không gian Teichmuler vào việc giải bài toán ngược. Tư tưởng đó của ông đã được những nhà toán học khác sử dụng để thu được những kết quả mới cho bài toán ngược, gồm [[Goldberg]], [[Weitsman]], [[David Drasin]]. Cuối cùng, năm 1977, Drasin cho lời giải trọn vẹn của bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna, 45 năm sau khi bài toán được đặt ra.<ref>Drasin, ''[https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.acta/1485889951 The inverse problem of the Nevanlinna theory]'', Acta Mathematica, 1977, số 138, tr.83–151, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02392314 10.1007/BF02392314]</ref> Trong công trình của mình, Drasin cũng sử dụng những phương pháp mà Lê Văn Thiêm lần đầu tiên áp dụng.

Công trình về bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna đã đặt Lê Văn Thiêm vào hàng ngũ những tác giả kinh điển của lý thuyết này. Ngay khi công trình ra đời, người giới thiệu nó trên tờ [[American Mathematical Reviews]] chính là [[Lars Ahlfors]], người nhận [[Giải thưởng Fields]] đầu tiên năm 1936. Ahlfors cũng giới thiệu một số công trình tiếp theo của Lê Văn Thiêm. Cho đến tận hôm nay, hầu như cuốn sách nào về lý thuyết Nevanlinna đều nhắc đến công trình đầu tiên của Lê Văn Thiêm. Không phải nhà khoa học nào cũng có cái vinh dự được nhắc đến kết quả của mình 60 năm sau. Có thể tin rằng, các công trình đó của Lê Văn Thiêm sẽ còn được nhắc đến nhiều năm, như là một trong những cột mốc của lý thuyết hàm phân hình. Bài báo ''Beitrag zum Typenproblem der Riemannschen Flachen'' (Về phân loại diện Riemann) của Lê Văn Thiêm đăng trên tờ [[Commentarii mathematici Helvertici]] năm 1947<ref>Le-Van Thiem, ''[https://link.springer.com/article/10.1007/BF02568134 Beitrag zum Typenproblem der Riemannschen Flächen]'', [[Commentarii Mathematici Helvetici]], tháng 12 năm 1947, số 20, tr.270–287, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02568134 10.1007/BF02568134]</ref> chính là công trình toán học đầu tiên của người Việt Nam công bố trên tạp chí quốc tế. Có thể xem năm 1947 là năm mở đầu cho Lịch sử toán học Việt Nam hiện đại.

Trở về Việt Nam năm 1949 theo lời kêu gọi của Chủ tịch [[Hồ Chí Minh]], Giáo sư Lê Văn Thiêm tạm dừng các nghiên cứu toán học của mình để chuyên tâm vào các nhiệm vụ quan trọng được Nhà nước giao phó. Tuy vậy, khi có chủ trương thúc đẩy phong trào nghiên cứu khoa học trong các trường đại học, Giáo sư lại trở về với lý thuyết diện Riemann yêu thích của mình. Theo lời kể của ông, hai công trình đang trong tạp chí Sibirskii Matematicheski Journal và Acta Scientiarum Vietnamicarum vào các năm 1964, 1965 là kết quả của việc nghiên cứu một vấn đề mà ông suy nghĩ từ khi còn ở Pháp, nhưng chưa có dịp thực hiện. Trong các công trình đó, Lê Văn Thiêm đưa ra điều kiện để một mặt phủ Riemann thuộc kiểu hyperbolic thông qua việc tồn tại một đầu mút modula. Ông cũng đưa ra những điều kiện để một diện Riemann thuộc lớp OHB, tức là trên đó không tồn tại hàm điều hoà giới nội khác hằng số. Từ sau hai công trình kể trên, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển hẳn sang nghiên cứu các vấn đề toán học ứng dụng, theo chủ trương đưa khoa học ào phục vụ thực tiễn sản xuất và chiến đấu.

===Toán học ứng dụng===

Vốn là một chuyên gia về lý thuyết hàm phân hình và diện Riemann, những vấn đề của toán học lý thuyết, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển sang nghiên cứu và lãnh đạo nhóm nghiên cứu về toán ứng dụng. Điều đáng ngạc nhiên là trong số các công trình đầu tiên của ông về toán ứng dụng có công trình trở thành kinh điển trong lĩnh vực này: lời giải tường minh của bài toán thấm qua hai lớp đất. Bài toán thâm là vấn đề có ý nghĩa thực tiễn quan trọng, xuất hiện khi tính toán sự bền vững của các đê, đập nước, trữ lượng dầu trong các túi dầu, vấn đề rửa mặn vùng ven biển. . . Trong nhiều bài toán thấm, chẳng hạn khi xét nước thấm qua một con đê dài, ta đi đến mô hình bào toán thấm phẳng (tức là không phụ thuộc một chiều nào đó). Với một số giả thiết chấp nhận được, việc mô hình hoá toán học đưa bài toán thấm qua một môi trường đồng chất về việc xây dựng mọt hàm chỉnh hình thực hiện ánh xạ bảo giác miền thấm lên nửa mặt phẳng. Đó là việc rất khó khăn về mặt toán học, vì miền thấm thường rất phức tạp. Tuy nhiên, ngay trong trường hợp đó, ta đã phải xét một mô hình khá xa thực tiến: môi trường mà nước thấm qua là “đồng chất”, tức là chỉ có một lớp đất với cùng một hệ số thấm. Trong thực tiễn, thường có nhiều lớp với hệ số thấm khác nhau nằm dưới một công trình thuỷ lợi: lớp đất cát, lớp đất cát,. . . Đối với những trường hợp miền thấm không đồng chất, cho đến trước công trình của Lê Văn Thiêm, người ta chỉ mới có các phương pháp giải ần đúng. Trong công trình Sur un problème d’infiltration à travers un sol à deux couches (Về bài toán thấm qua hai lớp đất) đăng trên tạp chí Acta Sci.Vietnam. 1, 1964, pp. 3-9, Lê Văn Thiêm đã dùng Nguyên lý đối xứng trong giải tích phức để xây dựng được nghệm tường minh cho bài toán thấm qua hai lớp đất vứi hệ số thấm khác nhau. Đây là công trình đầu tiên trong lĩnh vực lý thuyết nước thâm cho phép xây dựng nghiệm giải tích của bài toán thấm không đồng chất. Điều này được khẳng định trong cuốn sách Lý thuyết chuyển động của nước ngầm của Palubarinova-Kochina xuất bản ở Matxcơva năm 1977.

Một hướng nghiên cứu ứng dụng mà Giáo sư Lê Văn Thiêm cùng các học trò của mình tiến hành trong nhiều năm là nổ định hướng. Phương pháp nổ định hướng do nhà toán học Nga Lavrenchiep đưa ra, dựa trên nguyên lý sau đây: khi có một vụ nổ lớn, dưới tác động của áp suất quá cao, các vật chất quanh tâm của vụ nổ chuyển động theo quy luật của chất lỏng lý tưởng, tức là không nhớt và không nén được. Chuyển động của chất lỏng lý tưởng có thể mô tả bằng một hàm giải tích. Nếu tìm được hàm giải tích này, ta có thể tính được áp lực quan tâm nổ, quỹ đạo chuyển động của vật chất gần tâm nổ. Nhận thấy đây là vấn đề có ý nghĩa thực tiễn lớn, Giáo sư Lê Văn Thiêm đã hướng dãn các học trò của mình tại Trường Đại học Tổng hợp Hà Nôi và Viện Toán học nghiên cứu áp dụng. Năm 1966, một nhóm các nhà toán học trẻ của hai cơ quan lên đường vào Nghệ An để tiến hành trên thực tế, Địa điểm làm việc là vùng Hoàng Mai thuộc địa phận huyện Quỳnh Lưu. Hoàng Mai là nơi gặp nhau của ba tuyến đường vào Nam: đường bộ, đường sắt, đường thuỷ (kênh Nhà Lê). Vì thế, đây trở thành một trong những trọng điểm đánh phá của máy bay Mỹ. Do đường sắt và đường bộ bị hư hại nghiêm trọng, việc vận chuyển qua kênh Nhà Lê trở nên rất quan trọng. Con kênh được đào thừ thời Lê nên đến nay đã cạn. Vấn đề cấp thiết đặt ra là phải nạo vét lòng kênh để các thuyền trọngt ải lớn có thể đi qua. Các đơn vị Thanh niên xung phong được giao nhiệm vụ này. Tuy vậy, không thể tập trung một lực lượng lớn, vì má bay Mỹ bắn phá ngày đêm. Giáo sư Lê Văn Thiêm đề xuất dùng phương pháp nổ định hướng để nạo vét lòng kênh. Mục tiêu đặt ra là làm thế nào để sau khi nổ, hầu hết đất đá văng lên bờ, chứ không rơi lại xuống lòng kênh. Các vụ nổ được tiến hành vào lúc thuỷ triều xuống thấp nhất để có hiệu quả cao nhất. Vì vậy, nhiều lúc phải nổ vào những “giờ cao điểm”, tức là những giờ mà máy bay Mỹ bắn phá ác liệt nhất. Thực tế đã chứng tỏ, phương pháp nổ định hướng có tác dụng thiết thực, góp phần tăng khả năng vận chuyển qua kênh Nhà Lê, giảm nhẹ tổn thất về người và của. Phương pháp nổ định hướng đó cũng được áp dụng trong việc xây dựng những con đường chiến lược trong rừng. Các đơn vị Thanh niên xung phong đã cùng nhóm học trò nói trên của Giáo sư Lê Văn Thiêm áp dụng lý thuyết nổ định hướng trong việc phá đá, bạ ta-luy, hất những cây to chắn đường xuống vực trong quá trình làm đường. Giáo sư Lê Văn Thiêm đã viết tài liệu hướng dẫn cho Thanh niên xung phong để ho tự làm lấy sau khi nhóm nghiên cứu rút khỏi hiện trường. Tiếc rằng bản tài liệu đó ngày nay không tìm lại được.

Sau ngày Việt Nam tái thống nhất, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển vào công tác tại [[Thành phố Hồ Chí Minh]]. Ông đã lập nên Phòng Toán học ứng dụng, nghiên cứu các vấn đề toán học đặt ra trong lý thuyết đàn hồi và chuyển động của chất lỏng nhớt. Các vấn đề toán học ứng dụng mà Giáo sư Lê Văn Thiêm quan tâm nghiên cứu đều là những vấn đề được đặt ra trong thực tiễn Việt Nam: xây dựng đê điều và các công trình thuỷ lợi, cải tạo các ruộng nhiễm mặn vùng ven biển, tính toán trữ lượng dầu khí, nạo vét lòng kênh để phục vụ giao thông thời chiến. Ngay khi giải quyết các nhiệm vụ ứng dụng trước mắt, với trình độ cao về khoa học cơ bản, ông đã có những đóng góp quan trọng vào sự phát triển của lý thuyết.

===Toán học Việt Nam===

Với những công trình khoa học xuất sắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm là người viết trang đầu tiên cửa lịch sử toán học Việt Nam hiện đại. Ông cũng là một trong những người đầu tiên đặt nền móng xây dựng toán học Việt Nam. Uy tín của ông đã từng là nguyên nhân khiến nhiều thanh niên tài năng tìm đường lên chiến khu Việt Bắc để nghiên cứu và giảng dạy toán học: [[Hoàng Tụy]], [[Nguyễn Cảnh Toàn]]. Không chỉ lôi cuốn, khuyến khích họ bằng tiếng tăm của mình, Giáo sư Lê Văn Thiêm đã dồn tâm sức để đào tạo lớp thanh niên đầy nhiệt huyết của những ngày đầu cách mạng. “Vốn liếng” của ông khi đó thật ít ỏi, đó chỉ là một ít sách mà ông và một số giáo sư khác cố gắng mang theo mình suốt chặng đường từ Châu Âu đến chiến khu. Ông luôn khuyến khích những tài năng trẻ đi sâu vào nghiên cứu khoa học, và cố gắng tạo cho họ những điều kiện tốt nhất có thể. Ngay cả sau khi hoà bình lập lại, các trường đại học ở Việt Nam hầu như chưa có giáo trình đại học về toán bằng tiếng Việt. Vậy mà một trong những quyết tâm lớn của nhà nước Việt Nam mới là giảng dạy tiếng Việt ở bậc đại học. Lê Văn Thiêm đã dịch và viết các giáo trình, từ Hàm biến phức Xác suất thống kê.

Nhận thức rõ tầm quan trọng của Toán học trong việc xây dựng nền khoa học nước nhà, Giáo sư Lê Văn Thiêm cùng với các giáo sư Tạ Quang Bửu, Hoàng Tuỵ đã vạch một chiến lược lâu dài phát triển Toán học Việt Nam. Sự ra đời của Phòng Nghiên cứu Toán năm 1962 (trực thuộc Uỷ ban Khoa học và Kỹ thuật Nhà nước) là một cột mốc quan trọng trong quá trình xây dựng nền toán học Việt Nam. Năm 1969, Thủ tướng Phạm Văn Đồng ký quyết định thành lập Viện Toán học thuộc Uỷ ban khoa học và Kỹ thuật nhà nước. Năm 1970, Giáo sư Lê Văn Thiêm, lúc đó đang là Phó Hiệu trưởng Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội, được chuyển về giữ chức vụ Phó Viện trưởng, phụ trách Viện Toán học. Từ lúc đó, Viện Toán học chính thức đi vào hoạt động. Với sự lãnh đạo của Giáo sư Lê Văn Thiêm, ngay từ khi thành lập, Phòng nghiên cứu Toán, sau này là Viện Toán học, đã chú trọng phát triển toàn diện: nghiên cứu cơ bản, nghiên cứu ứng dụng và đào tạo. Những sinh viên giỏi tốt nghiệp Đại học Tổng hợp Hà Nội và các địa học nước noài được chính Giáo sư Lê Văn Thiêm tuyển chọn về Viện Toán học, và được cử đi tiếp tục nghiên cứu, học tập ở nước ngoài. Chính nhờ chiến lược đào tạo cơ bản đó của Giáo sư Lê Văn Thiêm mà Viện Toán học, từ chỗ chỉ có hơn 20 cán bộ năm 1970, đến nay đã trở thành một Viện nghiên cứu hàng đầu cả nước.

Giáo sư Lê Văn Thiêm, cùng với Giáo sư Hoàng Tuỵ, là những người đầu tiên gây dựng Khoa Toán của Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội. Ông luôn kiên trì phương châm giữa vững chất lượng đào tạo, ngay cả trong những năm chiến tranh, khi nhà trường phải sơ tán vào vùng núi Việt Bắc. Ông cũng đã phải trải qua nhiều cuộc đấu tranh gay go trong nội bộ Khoa Toán và Trường Đại học Tổng hợp trong những năm 60 của thế kỷ 20 để giữ vứng chiến lược đúng đắn đó. Nhờ thế, Khoa Toán của Đại học Tổng hợp Hà Nội (nay là Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học quốc gia Hà Nội) đã đào tạo nên nhiều nhà toán học hàng đầu trong cả nước.

Giáo sư Lê Văn Thiêm cũng là Chủ tịch đầu tiên của Hội Toán học Việt Nam. Ông là lãnh đạo và là hạt nhân gắn kết cộng đồng toán học Việt Nam. Giáo sư Lê Văn Thiêm là một trong những người sáng lập tờ [[báo Toán học và Tuổi trẻ]], và trực tiếp viết bài cho báo ngay từ những số đầu tiên. Ông cũng trực tiếp ra đề thi chọn học sinh giỏi toàn Miền Bắc những năm 1963-1964. Ngay khi cả nước đang trong chiến tranh, máy bay Mỹ bắn phá dữ dội Miền bắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm là người đứng ra sáng lập tờ báo Toán học và Vật lý bằng tiếng nước ngoài đầu tiên của Việt Nam: tờ [[Acta Scientiarum Vietnamicarum]] (Sectio Mathematicarum et Physicarum). Phần toán học của tờ báo đó ngày nay trở thành tờ [[Acta Mathematica Vietnamica]], tờ báo có uy tín nhất về toán của Việt Nam, có mặt ở thư viện của nhiều trường đại học lớn trên thế giới. Việc cho ra đời một tờ báo nghiên cứu toán học (bằng tiếng Anh, Pháp, Nga, Đức) trong chiến tranh là điều hiếm có trên thế giới. Nhiều nhà khoa học nước ngoài đã tỏ ý ngạc nhiên và khâm phục khi thấy Việt Nam, một đất nước đang phải đương đầu với cuộc chiến tranh tàn khốc ở cả hai miền, lại nghĩ đến việc ra một tờ tạp chí nghiên cứu khoa học bằng tiếng nước ngoài. Việc làm đó chứng tỏ tầm nhìn xa của các nhà lãnh đạo khoa học Việt nam, và cả sự tin tưởng vào thắng lợi tất yếu của sự nghiệp cách mạng.

Sự phát triển của Toán học Việt Nam, và của khoa học cơ bản Việt Nam nói chung từ sau Cách mạng Tháng Tám mang đậm dấu ấn của Giáo sư Lê Văn Thiêm.

==Tham khảo==
<references/>

Lê Văn Thiêm

2021-04-09T09:15:43Z

Minhpc:

{{mới}}
[[Hình:Lê Văn Thiêm statue at Hanoi University of Education.jpg|nhỏ|350px|Tượng Lê Văn Thiêm trong khuôn viên [[Trường Đại học Sư phạm Hà Nội]]]]
'''Lê Văn Thiêm''' (sinh năm 1918, mất năm 1991) là một [[nhà toán học]] [[Việt Nam]], một trong những người đầu tiên xây dựng toán học Việt Nam hiện đại.<ref>[[Hà Huy Khoái]], ''[https://link.springer.com/article/10.1007/s40306-018-00316-z Le Van Thiem—the Founder of Contemporary Mathematics in Vietnam]'', [[Acta Mathematica Vietnamica]], 2020, số 45, tr.3–10, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/s40306-018-00316-z 10.1007/s40306-018-00316-z]</ref> Ông từng đảm nhiệm các vị trí Giám đốc [[Trường Đại học Sư phạm Khoa học Hà Nội]] (1954-1956), Phó Hiệu trưởng [[Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội]] (1957-1970), Viện trưởng đầu tiên của [[Viện Toán học]] (1970-1980), Chủ tịch đầu tiên của [[Hội Toán học Việt Nam]], Tổng biên tập đầu tiên của hai tờ báo toán học của Việt Nam là [[Acta Mathematica Vietnamica]] và [[Vietnam Journal of Mathematics]].

==Tiểu sử==
Lê Văn Thiêm sinh ngày 29 tháng 3 năm 1918 tại làng Trung Lễ, [[huyện Đức Thọ|Đức Thọ]], [[Hà Tĩnh]]. Trung Lễ là một làng cổ, thành lập cách đây khoảng 600 năm trên vùng đất trũng, quanh năm bị đe doạ vì nạn hạn hán, lụt lội. Dân Trung Lễ thuần nông, nghèo và hiếu học. Từ thế kỷ 15 đã có ông Trần Tước đỗ Tiến sĩ (Khoa Bình Thìn, 1496). Họ Lê ở Trung Lễ nổi tiếng về truyên thống Nho học và yêu nước. Cụ thân sinh ra Lê Văn Thiêm là ông Lê Văn Nhiễu (1869-1929), nhiều nơi viết là Nhiệu (theo cách phát âm của người Hà Tĩnh), đậu [[cử nhân]] Khoa Canh Tý (1900). Mẫu thân của cụ Cử Lê Văn Nhiễu, tức bà nội của Lê Văn Thiêm, là bà Phan Thị Dại, chị ruột nhà yêu nước [[Phan Đình Phùng]]. Chú ruột của Lê Văn Thiêm là ông Lê Văn Huân, đậu Giải nguyên Khoa Bính Ngọ (1906), tham gia phong trào yêu nước Duy Tân Hội, rồi Tân Việt Đảng, và tự sát trong nhà lao Vinh năm 1929. Cụ Lê Văn Nhiễu tuy đỗ đạt nhưng không ra làm quan, mà ở lại quê nhà dạy học, bốc thuốc, phụng dưỡng cha mẹ, nuôi dạy con cái. Người anh cả của Lê Văn Thiêm là Lê Văn Kỷ đậu [[Tiến sĩ]] năm Kỷ Mùi (1919) trong khoa thi cuối cùng của [[Triều Nguyễn]]. Anh thứ hai của Lê Văn Thiêm, ông Lê Văn Luân, là Bí thư Huyện uỷ [[Đảng Cộng sản Đông Dương]] [[huyện Đức Thọ]], bị [[Pháp]] xử tử hình năm 1931. Trong số 5 người chị gái của Lê Văn Thiêm có hai người tham gia phong trào cách mạng 1930-1931 và được công nhận là lão thành cách mạng.

Sinh ra trong một gia đình giàu truyền thống yêu nước, Lê Văn Thiêm sớm nuôi trong mình hoài bão học tập để phụng sự Tổ quốc. Năm 1941, Lê Văn Thiêm thi đỗ vào trường [[École Normale Supérieure]] ở Phố d’Ulm của [[Paris]] ([[Pháp]]). Tốt nghiệp École Normale, Lê Văn Thiêm làm nghiên cứu sinh tại [[Đại học Göttingen]] ([[Đức]]) dưới sự hướng dẫn của [[Hans Wittich]] và bảo vệ luận án Tiến sĩ Toán học về giải tích phức ngày 4 tháng 4 năm 1945.<ref>Le Van Thiem, ''[https://www.worldcat.org/title/uber-die-bestimmung-des-typus-einfach-zusammenhangender-offener-riemannscher-flachen/oclc/831034378 Über die Bestimmung des Typus einfach zusammenhängender offener Riemannscher Flächen]'', Luận văn Tiến sĩ tại [[Đại học Göttingen]] 1945, 55 trang, lưu trữ ngày 8 tháng 4 năm 1946 tại [[Thư viện Quốc gia Đức]] với mã định danh [http://d-nb.info/481693971 481693971], OCLC 831034378</ref> Ông đã từng học với những người thầy giỏi nhất thời đó, như [[Nevanlinna]], [[Valiron]], và nghiên cứu một lĩnh vực thời sự nhất thời bấy giờ là [[lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình]] (còn gọi là [[lý thuyết Nevanlinna]]). Ông bảo vệ luận án Tiến sĩ quốc gia Pháp năm 1949 với những kết quả mà ngày nay đã trở thành kinh điển.<ref>Lê Van Thiem, ''[https://www.worldcat.org/title/sur-le-probleme-dinversion-dans-la-theorie-de-la-distribution-des-valeurs-des-fonctions-meromorphes/oclc/32261334 Sur le problème d'inversion dans la théorie de la distribution des valeurs des fonctions méromorphes]'', Luận văn Tiến sĩ tại [[Đại học Paris]] 1949, xuất bản năm 1950 tại Paris bởi nhà xuất bản Gauthier-Villars, 48 trang, lưu trữ tại [[Thư viện Quốc gia Pháp]] với mã định danh [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb32379854x FRBNF32379854], OCLC 32261334</ref>

Nghe theo lời kêu gọi của Chủ tịch [[Hồ Chí Minh]], cuối năm 1949, ông đã rời con đường công danh ở Châu Âu để bí mật trở về nước tham gia kháng chiến. Từ Châu Âu, ông về [[Băng Cốc]], rồi từ đó đi qua [[Campuchia]] để về [[Nam Bộ]]. Ở Nam Bộ, Giáo sư Lê Văn Thiêm gia nhập [[Đảng Cộng sản Đông Dương]] và công tác tại Sở Giáo dục. Ông đã góp phần đào tạo nhiều giáo viên cho kháng chiến. Ít lâu sau, ông lên đường ra Việt Bắc nhận nhiệm vụ mới: lãnh đạo trung tâm đại học đầu tiên của nước Việt Nam dân chủ cộng hoà. Sau 6 tháng gian nan đi bộ từ Nam Bộ lên chiến khu Việt Bắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm được giao trọng trách Hiệu trưởng Trường Sư phạm cao cấp và Trường Khoa học cơ bản. Ông đã làm hết sức mình trên cương vị đó, và trở thành người đặt nền móng cho giáo dục đại học của nước Việt Nam mới, người thầy của hầu hết những nhà khoa học Việt Nam được đào tạo trong hơn mươi, mười lăm năm đầu tiên sau Cách mạng Tháng Tám.

Từ sau khi hoà bình lập lại, Giáo sư Lê Văn Thiêm được giao nhiều trọng trách: Giám đốc [[Trường Đại học Sư phạm Khoa học Hà Nội]] (1954-1956), Phó Hiệu trưởng [[Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội]] (1957-1970), Viện trưởng đầu tiên của [[Viện Toán học]] (1970-1980). Ông là [[đại biểu Quốc hội]] các khoá II và III. Ông cũng là Đại diện toàn quyền của Việt Nam tại [[Viện nghiên cứu hạt nhân Đupna]], [[Liên Xô]] (từ 1956 đến 1980), Chủ tịch đầu tiên của [[Hội Toán học Việt Nam]], Tổng biên tập đầu tiên của hai tờ báo toán học của Việt Nam là [[Acta Mathematica Vietnamica]] và [[Vietnam Journal of Mathematics]].

==Đóng góp==

===Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình===

[[Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình]], còn gọi là [[lý thyết Nevanlinna]], được xem là một trong những lý thuyết đẹp nhất của [[giải tích toán học]] thế kỷ 20. Có thể xem lý thuyết này là sự mở rộng của định lý cơ bản của [[đại số]].

Có ba “hòn đá tảng” của lý thuyết Nevanlinna: Đính lý cơ bản thứ nhất, Định lý cơ bản thứ hai, Quan hệ số khuyết. Đóng góp của Lê Văn Thiêm vào lý thuyết Nevanlinna chính là những kết quả về Bài toán ngược.

Nhắc lại rằng, để định lượng “số khuyết”, [[Rolf Herman Nevanlinna|Nevanlinna]] đưa ra các đại lượng sau:
:<math>\delta(a) = \liminf_{ r \to \infty} \frac{m(f, a, r)}{T(f, r)}</math>
:<math>\theta(a) = \limsup_{ r \to \infty} \frac{\bar{N}(f, a, r)}{T(f, r)}</math>
trong đó <math>\bar{N}</math>(''f'', ''a'', ''r'') là đại lượng được tính như ''N''(''f'', ''a'', ''r''), nhưng mỗi nghiệm của phương trình ''f''(''z'') = ''a'' chỉ được kể một lần (không tính bội).

Số ''δ''(''a'') được gọi là số khuyết của hàm tại giá trị ''a''. Nevanlinna chứng minh quan hệ số khuyết sau đây <math>\sum_{a \in \mathbb{C} \cup \infty}</math>(''δ''(''a'') + ''θ''(''a'')) ≤ 2.

Từ quan hệ số khuyết, một cách tự nhiên xuất hiện bài toán sau, thường được gọi là bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna, "Cho dãy hữu hạn hoặc vô hạn các điểm {''a''''k''} trong mặt phẳng phức <math>\mathbb{C}</math> (kể cả điểm vô cùng), và các số không âm tương ứng ''δ''(''a''''k'') , ''θ''(''a''''k'') thoả mãn các điều kiện sau: 0 < ''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'') ≤ 1, ''k'' = 1, 2, ... và <math> \sum_{k}</math>(''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'')) ≤ 2; tìm hàm phân hình có số khuyết (tương ứng, chỉ số bội) tại các điểm ''a''''k'' là ''δ''(''a''''k'') tương ứng, ''θ''(''a''''k'') và số khuyết (tương ứng, chỉ số bội) bằng 0 tại các điểm còn lại."

Nevanlinna (năm 1932) đã cho lời giải của bài toán trên trong trường hợp riêng với những giả thiết chặt sau đây:
# dãy {''a''''k''} là hữu hạn,
# ''δ''(''a''''k'') là các số hữu tỷ
# ''θ''(''a''''k'') = 0 với mọi ''k''.

Trong khoảng 15 năm tiếp theo kể từ kết quả đầu tiên của Nevanlinna, bài toán trên không tiến triển thêm được bước nào đáng kể. Cho đến năm 1949, Lê Văn Thiêm đã tiến một bước trong việc giải bài toán.<ref>Le-Van Thiem, ''[https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02565590 Über das Umkehrproblem der Wertverteilungslehre]'', [[Commentarii Mathematici Helvetici]], tháng 12 năm 1949, số 23, tr.26–49, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02565590 10.1007/BF02565590], MR 0030609</ref> Kết quả chính mà ông thu được là xây dựng nghiệm của bài toán ngược với những giả thiết sau đây:
# dãy {''a''''k''} là hữu hạn,
# ''δ''(''a''''k'') là các số hữu tỷ,
# nếu ''θ''(''a''''k'') > 0 thì ''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'') < 1,
# <math>\sum_{k}</math>(''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'')) = 2.

Đóng góp của Lê Văn Thiêm không chỉ là việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm bài toán ngược trong những tình huống tổng quát hơn so với công trình của Nevanlinna, mà điều quan trọng là lần đầu tiên, ông đưa ra cộng cụ ánh xạ á bảo giác và không gian Teichmuler vào việc giải bài toán ngược. Tư tưởng đó của ông đã được những nhà toán học khác sử dụng để thu được những kết quả mới cho bài toán ngược, gồm [[Goldberg]], [[Weitsman]], [[David Drasin]]. Cuối cùng, năm 1977, Drasin cho lời giải trọn vẹn của bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna, 45 năm sau khi bài toán được đặt ra.<ref>Drasin, ''[https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.acta/1485889951 The inverse problem of the Nevanlinna theory]'', Acta Mathematica, 1977, số 138, tr.83–151, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02392314 10.1007/BF02392314]</ref> Trong công trình của mình, Drasin cũng sử dụng những phương pháp mà Lê Văn Thiêm lần đầu tiên áp dụng.

Công trình về bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna đã đặt Lê Văn Thiêm vào hàng ngũ những tác gia kinh điển của lý thuyết này. Ngay khi công trình ra đời, người giới thiệu nó trên tờ [[American Mathematical Reviews]] chính là [[Lars Ahlfors]], người nhận [[Giải thưởng Fields]] đầu tiên năm 1936. Ahlfors cũng giới thiệu một số công trình tiếp theo của Lê Văn Thiêm. Cho đến tận hôm nay, hầu như cuốn sách nào về lý thuyết Nevanlinna đều nhắc đến công trình đầu tiên của Lê Văn Thiêm. Không phải nhà khoa học nào cũng có cái vinh dự được nhắc đến kết quả của mình 60 năm sau. Có thể tin rằng, các công trình đó của Lê Văn Thiêm sẽ còn được nhắc đến nhiều năm, như là một trong những cột mốc của lý thuyết hàm phân hình. Bài báo ''Beitrag zum Typenproblem der Riemannschen Flachen'' (Về phân loại diện Riemann) của Lê Văn Thiêm đăng trên tờ [[Commentarii mathematici Helvertici]] năm 1947<ref>Le-Van Thiem, ''[https://link.springer.com/article/10.1007/BF02568134 Beitrag zum Typenproblem der Riemannschen Flächen]'', [[Commentarii Mathematici Helvetici]], tháng 12 năm 1947, số 20, tr.270–287, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02568134 10.1007/BF02568134]</ref> chính là công trình toán học đầu tiên của người Việt Nam công bố trên tạp chí quốc tế. Có thể xem năm 1947 là năm mở đầu cho Lịch sử toán học Việt Nam hiện đại.

Trở về Việt Nam năm 1949 theo lời kêu gọi của Chủ tịch [[Hồ Chí Minh]], Giáo sư Lê Văn Thiêm tạm dừng các nghiên cứu toán học của mình để chuyên tâm vào các nhiệm vụ quan trọng được Nhà nước giao phó. Tuy vậy, khi có chủ trương thúc đẩy phong trào nghiên cứu khoa học trong các trường đại học, Giáo sư lại trở về với lý thuyết diện Riemann yêu thích của mình. Theo lời kể của ông, hai công trình đang trong tạp chí Sibirskii Matematicheski Journal và Acta Scientiarum Vietnamicarum vào các năm 1964, 1965 là kết quả của việc nghiên cứu một vấn đề mà ông suy nghĩ từ khi còn ở Pháp, nhưng chưa có dịp thực hiện. Trong các công trình đó, Lê Văn Thiêm đưa ra điều kiện để một mặt phủ Riemann thuộc kiểu hyperbolic thông qua việc tồn tại một đầu mút modula. Ông cũng đưa ra những điều kiện để một diện Riemann thuộc lớp OHB, tức là trên đó không tồn tại hàm điều hoà giới nội khác hằng số. Từ sau hai công trình kể trên, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển hẳn sang nghiên cứu các vấn đề toán học ứng dụng, theo chủ trương đưa khoa học ào phục vụ thực tiễn sản xuất và chiến đấu.

===Toán học ứng dụng===

Vốn là một chuyên gia về lý thuyết hàm phân hình và diện Riemann, những vấn đề của toán học lý thuyết, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển sang nghiên cứu và lãnh đạo nhóm nghiên cứu về toán ứng dụng. Điều đáng ngạc nhiên là trong số các công trình đầu tiên của ông về toán ứng dụng có công trình trở thành kinh điển trong lĩnh vực này: lời giải tường minh của bài toán thấm qua hai lớp đất. Bài toán thâm là vấn đề có ý nghĩa thực tiễn quan trọng, xuất hiện khi tính toán sự bền vững của các đê, đập nước, trữ lượng dầu trong các túi dầu, vấn đề rửa mặn vùng ven biển. . . Trong nhiều bài toán thấm, chẳng hạn khi xét nước thấm qua một con đê dài, ta đi đến mô hình bào toán thấm phẳng (tức là không phụ thuộc một chiều nào đó). Với một số giả thiết chấp nhận được, việc mô hình hoá toán học đưa bài toán thấm qua một môi trường đồng chất về việc xây dựng mọt hàm chỉnh hình thực hiện ánh xạ bảo giác miền thấm lên nửa mặt phẳng. Đó là việc rất khó khăn về mặt toán học, vì miền thấm thường rất phức tạp. Tuy nhiên, ngay trong trường hợp đó, ta đã phải xét một mô hình khá xa thực tiến: môi trường mà nước thấm qua là “đồng chất”, tức là chỉ có một lớp đất với cùng một hệ số thấm. Trong thực tiễn, thường có nhiều lớp với hệ số thấm khác nhau nằm dưới một công trình thuỷ lợi: lớp đất cát, lớp đất cát,. . . Đối với những trường hợp miền thấm không đồng chất, cho đến trước công trình của Lê Văn Thiêm, người ta chỉ mới có các phương pháp giải ần đúng. Trong công trình Sur un problème d’infiltration à travers un sol à deux couches (Về bài toán thấm qua hai lớp đất) đăng trên tạp chí Acta Sci.Vietnam. 1, 1964, pp. 3-9, Lê Văn Thiêm đã dùng Nguyên lý đối xứng trong giải tích phức để xây dựng được nghệm tường minh cho bài toán thấm qua hai lớp đất vứi hệ số thấm khác nhau. Đây là công trình đầu tiên trong lĩnh vực lý thuyết nước thâm cho phép xây dựng nghiệm giải tích của bài toán thấm không đồng chất. Điều này được khẳng định trong cuốn sách Lý thuyết chuyển động của nước ngầm của Palubarinova-Kochina xuất bản ở Matxcơva năm 1977.

Một hướng nghiên cứu ứng dụng mà Giáo sư Lê Văn Thiêm cùng các học trò của mình tiến hành trong nhiều năm là nổ định hướng. Phương pháp nổ định hướng do nhà toán học Nga Lavrenchiep đưa ra, dựa trên nguyên lý sau đây: khi có một vụ nổ lớn, dưới tác động của áp suất quá cao, các vật chất quanh tâm của vụ nổ chuyển động theo quy luật của chất lỏng lý tưởng, tức là không nhớt và không nén được. Chuyển động của chất lỏng lý tưởng có thể mô tả bằng một hàm giải tích. Nếu tìm được hàm giải tích này, ta có thể tính được áp lực quan tâm nổ, quỹ đạo chuyển động của vật chất gần tâm nổ. Nhận thấy đây là vấn đề có ý nghĩa thực tiễn lớn, Giáo sư Lê Văn Thiêm đã hướng dãn các học trò của mình tại Trường Đại học Tổng hợp Hà Nôi và Viện Toán học nghiên cứu áp dụng. Năm 1966, một nhóm các nhà toán học trẻ của hai cơ quan lên đường vào Nghệ An để tiến hành trên thực tế, Địa điểm làm việc là vùng Hoàng Mai thuộc địa phận huyện Quỳnh Lưu. Hoàng Mai là nơi gặp nhau của ba tuyến đường vào Nam: đường bộ, đường sắt, đường thuỷ (kênh Nhà Lê). Vì thế, đây trở thành một trong những trọng điểm đánh phá của máy bay Mỹ. Do đường sắt và đường bộ bị hư hại nghiêm trọng, việc vận chuyển qua kênh Nhà Lê trở nên rất quan trọng. Con kênh được đào thừ thời Lê nên đến nay đã cạn. Vấn đề cấp thiết đặt ra là phải nạo vét lòng kênh để các thuyền trọngt ải lớn có thể đi qua. Các đơn vị Thanh niên xung phong được giao nhiệm vụ này. Tuy vậy, không thể tập trung một lực lượng lớn, vì má bay Mỹ bắn phá ngày đêm. Giáo sư Lê Văn Thiêm đề xuất dùng phương pháp nổ định hướng để nạo vét lòng kênh. Mục tiêu đặt ra là làm thế nào để sau khi nổ, hầu hết đất đá văng lên bờ, chứ không rơi lại xuống lòng kênh. Các vụ nổ được tiến hành vào lúc thuỷ triều xuống thấp nhất để có hiệu quả cao nhất. Vì vậy, nhiều lúc phải nổ vào những “giờ cao điểm”, tức là những giờ mà máy bay Mỹ bắn phá ác liệt nhất. Thực tế đã chứng tỏ, phương pháp nổ định hướng có tác dụng thiết thực, góp phần tăng khả năng vận chuyển qua kênh Nhà Lê, giảm nhẹ tổn thất về người và của. Phương pháp nổ định hướng đó cũng được áp dụng trong việc xây dựng những con đường chiến lược trong rừng. Các đơn vị Thanh niên xung phong đã cùng nhóm học trò nói trên của Giáo sư Lê Văn Thiêm áp dụng lý thuyết nổ định hướng trong việc phá đá, bạ ta-luy, hất những cây to chắn đường xuống vực trong quá trình làm đường. Giáo sư Lê Văn Thiêm đã viết tài liệu hướng dẫn cho Thanh niên xung phong để ho tự làm lấy sau khi nhóm nghiên cứu rút khỏi hiện trường. Tiếc rằng bản tài liệu đó ngày nay không tìm lại được.

Sau ngày Việt Nam tái thống nhất, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển vào công tác tại [[Thành phố Hồ Chí Minh]]. Ông đã lập nên Phòng Toán học ứng dụng, nghiên cứu các vấn đề toán học đặt ra trong lý thuyết đàn hồi và chuyển động của chất lỏng nhớt. Các vấn đề toán học ứng dụng mà Giáo sư Lê Văn Thiêm quan tâm nghiên cứu đều là những vấn đề được đặt ra trong thực tiễn Việt Nam: xây dựng đê điều và các công trình thuỷ lợi, cải tạo các ruộng nhiễm mặn vùng ven biển, tính toán trữ lượng dầu khí, nạo vét lòng kênh để phục vụ giao thông thời chiến. Ngay khi giải quyết các nhiệm vụ ứng dụng trước mắt, với trình độ cao về khoa học cơ bản, ông đã có những đóng góp quan trọng vào sự phát triển của lý thuyết.

===Toán học Việt Nam===

Với những công trình khoa học xuất sắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm là người viết trang đầu tiên cửa lịch sử toán học Việt Nam hiện đại. Ông cũng là một trong những người đầu tiên đặt nền móng xây dựng toán học Việt Nam. Uy tín của ông đã từng là nguyên nhân khiến nhiều thanh niên tài năng tìm đường lên chiến khu Việt Bắc để nghiên cứu và giảng dạy toán học: [[Hoàng Tụy]], [[Nguyễn Cảnh Toàn]]. Không chỉ lôi cuốn, khuyến khích họ bằng tiếng tăm của mình, Giáo sư Lê Văn Thiêm đã dồn tâm sức để đào tạo lớp thanh niên đầy nhiệt huyết của những ngày đầu cách mạng. “Vốn liếng” của ông khi đó thật ít ỏi, đó chỉ là một ít sách mà ông và một số giáo sư khác cố gắng mang theo mình suốt chặng đường từ Châu Âu đến chiến khu. Ông luôn khuyến khích những tài năng trẻ đi sâu vào nghiên cứu khoa học, và cố gắng tạo cho họ những điều kiện tốt nhất có thể. Ngay cả sau khi hoà bình lập lại, các trường đại học ở Việt Nam hầu như chưa có giáo trình đại học về toán bằng tiếng Việt. Vậy mà một trong những quyết tâm lớn của nhà nước Việt Nam mới là giảng dạy tiếng Việt ở bậc đại học. Lê Văn Thiêm đã dịch và viết các giáo trình, từ Hàm biến phức Xác suất thống kê.

Nhận thức rõ tầm quan trọng của Toán học trong việc xây dựng nền khoa học nước nhà, Giáo sư Lê Văn Thiêm cùng với các giáo sư Tạ Quang Bửu, Hoàng Tuỵ đã vạch một chiến lược lâu dài phát triển Toán học Việt Nam. Sự ra đời của Phòng Nghiên cứu Toán năm 1962 (trực thuộc Uỷ ban Khoa học và Kỹ thuật Nhà nước) là một cột mốc quan trọng trong quá trình xây dựng nền toán học Việt Nam. Năm 1969, Thủ tướng Phạm Văn Đồng ký quyết định thành lập Viện Toán học thuộc Uỷ ban khoa học và Kỹ thuật nhà nước. Năm 1970, Giáo sư Lê Văn Thiêm, lúc đó đang là Phó Hiệu trưởng Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội, được chuyển về giữ chức vụ Phó Viện trưởng, phụ trách Viện Toán học. Từ lúc đó, Viện Toán học chính thức đi vào hoạt động. Với sự lãnh đạo của Giáo sư Lê Văn Thiêm, ngay từ khi thành lập, Phòng nghiên cứu Toán, sau này là Viện Toán học, đã chú trọng phát triển toàn diện: nghiên cứu cơ bản, nghiên cứu ứng dụng và đào tạo. Những sinh viên giỏi tốt nghiệp Đại học Tổng hợp Hà Nội và các địa học nước noài được chính Giáo sư Lê Văn Thiêm tuyển chọn về Viện Toán học, và được cử đi tiếp tục nghiên cứu, học tập ở nước ngoài. Chính nhờ chiến lược đào tạo cơ bản đó của Giáo sư Lê Văn Thiêm mà Viện Toán học, từ chỗ chỉ có hơn 20 cán bộ năm 1970, đến nay đã trở thành một Viện nghiên cứu hàng đầu cả nước.

Giáo sư Lê Văn Thiêm, cùng với Giáo sư Hoàng Tuỵ, là những người đầu tiên gây dựng Khoa Toán của Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội. Ông luôn kiên trì phương châm giữa vững chất lượng đào tạo, ngay cả trong những năm chiến tranh, khi nhà trường phải sơ tán vào vùng núi Việt Bắc. Ông cũng đã phải trải qua nhiều cuộc đấu tranh gay go trong nội bộ Khoa Toán và Trường Đại học Tổng hợp trong những năm 60 của thế kỷ 20 để giữ vứng chiến lược đúng đắn đó. Nhờ thế, Khoa Toán của Đại học Tổng hợp Hà Nội (nay là Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học quốc gia Hà Nội) đã đào tạo nên nhiều nhà toán học hàng đầu trong cả nước.

Giáo sư Lê Văn Thiêm cũng là Chủ tịch đầu tiên của Hội Toán học Việt Nam. Ông là lãnh đạo và là hạt nhân gắn kết cộng đồng toán học Việt Nam. Giáo sư Lê Văn Thiêm là một trong những người sáng lập tờ [[báo Toán học và Tuổi trẻ]], và trực tiếp viết bài cho báo ngay từ những số đầu tiên. Ông cũng trực tiếp ra đề thi chọn học sinh giỏi toàn Miền Bắc những năm 1963-1964. Ngay khi cả nước đang trong chiến tranh, máy bay Mỹ bắn phá dữ dội Miền bắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm là người đứng ra sáng lập tờ báo Toán học và Vật lý bằng tiếng nước ngoài đầu tiên của Việt Nam: tờ [[Acta Scientiarum Vietnamicarum]] (Sectio Mathematicarum et Physicarum). Phần toán học của tờ báo đó ngày nay trở thành tờ [[Acta Mathematica Vietnamica]], tờ báo có uy tín nhất về toán của Việt Nam, có mặt ở thư viện của nhiều trường đại học lớn trên thế giới. Việc cho ra đời một tờ báo nghiên cứu toán học (bằng tiếng Anh, Pháp, Nga, Đức) trong chiến tranh là điều hiếm có trên thế giới. Nhiều nhà khoa học nước ngoài đã tỏ ý ngạc nhiên và khâm phục khi thấy Việt Nam, một đất nước đang phải đương đầu với cuộc chiến tranh tàn khốc ở cả hai miền, lại nghĩ đến việc ra một tờ tạp chí nghiên cứu khoa học bằng tiếng nước ngoài. Việc làm đó chứng tỏ tầm nhìn xa của các nhà lãnh đạo khoa học Việt nam, và cả sự tin tưởng vào thắng lợi tất yếu của sự nghiệp cách mạng.

Sự phát triển của Toán học Việt Nam, và của khoa học cơ bản Việt Nam nói chung từ sau Cách mạng Tháng Tám mang đậm dấu ấn của Giáo sư Lê Văn Thiêm.

==Tham khảo==
<references/>

Lê Văn Thiêm

2021-04-09T08:56:22Z

Minhpc:

{{mới}}
[[Hình:Lê Văn Thiêm statue at Hanoi University of Education.jpg|nhỏ|350px|Tượng Lê Văn Thiêm trong khuôn viên [[Trường Đại học Sư phạm Hà Nội]]]]
'''Lê Văn Thiêm''' (sinh năm 1918, mất năm 1991) là một [[nhà toán học]] [[Việt Nam]], một trong những người đầu tiên xây dựng toán học Việt Nam hiện đại.<ref>[[Hà Huy Khoái]], ''[https://link.springer.com/article/10.1007/s40306-018-00316-z Le Van Thiem—the Founder of Contemporary Mathematics in Vietnam]'', [[Acta Mathematica Vietnamica]], 2020, số 45, tr.3–10, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/s40306-018-00316-z 10.1007/s40306-018-00316-z]</ref> Ông từng đảm nhiệm các vị trí Giám đốc [[Trường Đại học Sư phạm Khoa học Hà Nội]] (1954-1956), Phó Hiệu trưởng [[Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội]] (1957-1970), Viện trưởng đầu tiên của [[Viện Toán học]] (1970-1980), Chủ tịch đầu tiên của [[Hội Toán học Việt Nam]], Tổng biên tập đầu tiên của hai tờ báo toán học của Việt Nam là [[Acta Mathematica Vietnamica]] và [[Vietnam Journal of Mathematics]].

==Tiểu sử==
Lê Văn Thiêm sinh ngày 29 tháng 3 năm 1918 tại làng Trung Lễ, [[huyện Đức Thọ|Đức Thọ]], [[Hà Tĩnh]]. Trung Lễ là một làng cổ, thành lập cách đây khoảng 600 năm trên vùng đất trũng, quanh năm bị đe doạ vì nạn hạn hán, lụt lội. Dân Trung Lễ thuần nông, nghèo và hiếu học. Từ thế kỷ 15 đã có ông Trần Tước đỗ Tiến sĩ (Khoa Bình Thìn, 1496). Họ Lê ở Trung Lễ nổi tiếng về truyên thống Nho học và yêu nước. Cụ thân sinh ra Lê Văn Thiêm là ông Lê Văn Nhiễu (1869-1929), nhiều nơi viết là Nhiệu (theo cách phát âm của người Hà Tĩnh), đậu [[cử nhân]] Khoa Canh Tý (1900). Mẫu thân của cụ Cử Lê Văn Nhiễu, tức bà nội của Lê Văn Thiêm, là bà Phan Thị Dại, chị ruột nhà yêu nước [[Phan Đình Phùng]]. Chú ruột của Lê Văn Thiêm là ông Lê Văn Huân, đậu Giải nguyên Khoa Bính Ngọ (1906), tham gia phong trào yêu nước Duy Tân Hội, rồi Tân Việt Đảng, và tự sát trong nhà lao Vinh năm 1929. Cụ Lê Văn Nhiễu tuy đỗ đạt nhưng không ra làm quan, mà ở lại quê nhà dạy học, bốc thuốc, phụng dưỡng cha mẹ, nuôi dạy con cái. Người anh cả của Lê Văn Thiêm là Lê Văn Kỷ đậu [[Tiến sĩ]] năm Kỷ Mùi (1919) trong khoa thi cuối cùng của [[Triều Nguyễn]]. Anh thứ hai của Lê Văn Thiêm, ông Lê Văn Luân, là Bí thư Huyện uỷ [[Đảng Cộng sản Đông Dương]] [[huyện Đức Thọ]], bị [[Pháp]] xử tử hình năm 1931. Trong số 5 người chị gái của Lê Văn Thiêm có hai người tham gia phong trào cách mạng 1930-1931 và được công nhận là lão thành cách mạng.

Sinh ra trong một gia đình giàu truyền thống yêu nước, Lê Văn Thiêm sớm nuôi trong mình hoài bão học tập để phụng sự Tổ quốc. Năm 1941, Lê Văn Thiêm thi đỗ vào trường [[École Normale Supérieure]] ở Phố d’Ulm của [[Paris]] ([[Pháp]]). Tốt nghiệp École Normale, Lê Văn Thiêm làm nghiên cứu sinh tại [[Đại học Göttingen]] ([[Đức]]) dưới sự hướng dẫn của [[Hans Wittich]] và bảo vệ luận án Tiến sĩ Toán học về giải tích phức ngày 4 tháng 4 năm 1945.<ref>Le Van Thiem, ''[https://www.worldcat.org/title/uber-die-bestimmung-des-typus-einfach-zusammenhangender-offener-riemannscher-flachen/oclc/831034378 Über die Bestimmung des Typus einfach zusammenhängender offener Riemannscher Flächen]'', Luận văn Tiến sĩ tại [[Đại học Göttingen]] 1945, 55 trang, lưu trữ ngày 8 tháng 4 năm 1946 tại [[Thư viện Quốc gia Đức]] với mã định danh [http://d-nb.info/481693971 481693971], OCLC 831034378</ref> Ông đã từng học với những người thầy giỏi nhất thời đó, như [[Nevanlinna]], [[Valiron]], và nghiên cứu một lĩnh vực thời sự nhất thời bấy giờ là [[lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình]] (còn gọi là [[lý thuyết Nevanlinna]]). Ông bảo vệ luận án Tiến sĩ quốc gia Pháp năm 1949 với những kết quả mà ngày nay đã trở thành kinh điển.<ref>Lê Van Thiem, ''[https://www.worldcat.org/title/sur-le-probleme-dinversion-dans-la-theorie-de-la-distribution-des-valeurs-des-fonctions-meromorphes/oclc/32261334 Sur le problème d'inversion dans la théorie de la distribution des valeurs des fonctions méromorphes]'', Luận văn Tiến sĩ tại [[Đại học Paris]] 1949, xuất bản năm 1950 tại Paris bởi nhà xuất bản Gauthier-Villars, 48 trang, lưu trữ tại [[Thư viện Quốc gia Pháp]] với mã định danh [https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb32379854x FRBNF32379854], OCLC 32261334</ref>

Nghe theo lời kêu gọi của Chủ tịch [[Hồ Chí Minh]], cuối năm 1949, ông đã rời con đường công danh ở Châu Âu để bí mật trở về nước tham gia kháng chiến. Từ Châu Âu, ông về [[Băng Cốc]], rồi từ đó đi qua [[Campuchia]] để về [[Nam Bộ]]. Ở Nam Bộ, Giáo sư Lê Văn Thiêm gia nhập [[Đảng Cộng sản Đông Dương]] và công tác tại Sở Giáo dục. Ông đã góp phần đào tạo nhiều giáo viên cho kháng chiến. Ít lâu sau, ông lên đường ra Việt Bắc nhận nhiệm vụ mới: lãnh đạo trung tâm đại học đầu tiên của nước Việt Nam dân chủ cộng hoà. Sau 6 tháng gian nan đi bộ từ Nam Bộ lên chiến khu Việt Bắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm được giao trọng trách Hiệu trưởng Trường Sư phạm cao cấp và Trường Khoa học cơ bản. Ông đã làm hết sức mình trên cương vị đó, và trở thành người đặt nền móng cho giáo dục đại học của nước Việt Nam mới, người thầy của hầu hết những nhà khoa học Việt Nam được đào tạo trong hơn mươi, mười lăm năm đầu tiên sau Cách mạng Tháng Tám.

Từ sau khi hoà bình lập lại, Giáo sư Lê Văn Thiêm được giao nhiều trọng trách: Giám đốc [[Trường Đại học Sư phạm Khoa học Hà Nội]] (1954-1956), Phó Hiệu trưởng [[Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội]] (1957-1970), Viện trưởng đầu tiên của [[Viện Toán học]] (1970-1980). Ông là [[đại biểu Quốc hội]] các khoá II và III. Ông cũng là Đại diện toàn quyền của Việt Nam tại [[Viện nghiên cứu hạt nhân Đupna]], [[Liên Xô]] (từ 1956 đến 1980), Chủ tịch đầu tiên của [[Hội Toán học Việt Nam]], Tổng biên tập đầu tiên của hai tờ báo toán học của Việt Nam là [[Acta Mathematica Vietnamica]] và [[Vietnam Journal of Mathematics]].

==Đóng góp==

===Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình===

[[Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình]], còn gọi là [[lý thyết Nevanlinna]], được xem là một trong những lý thuyết đẹp nhất của [[giải tích toán học]] thế kỷ 20. Có thể xem lý thuyết này là sự mở rộng của định lý cơ bản của [[đại số]].

Có ba “hòn đá tảng” của lý thuyết Nevanlinna: Đính lý cơ bản thứ nhất, Định lý cơ bản thứ hai, Quan hệ số khuyết. Đóng góp của Lê Văn Thiêm vào lý thuyết Nevanlinna chính là những kết quả về Bài toán ngược.

Nhắc lại rằng, để định lượng “số khuyết”, [[Rolf Herman Nevanlinna|Nevanlinna]] đưa ra các đại lượng sau:
:<math>\delta(a) = \liminf_{ r \to \infty} \frac{m(f, a, r)}{T(f, r)}</math>
:<math>\theta(a) = \limsup_{ r \to \infty} \frac{\bar{N}(f, a, r)}{T(f, r)}</math>
trong đó <math>\bar{N}</math>(''f'', ''a'', ''r'') là đại lượng được tính như ''N''(''f'', ''a'', ''r''), nhưng mỗi nghiệm của phương trình ''f''(''z'') = ''a'' chỉ được kể một lần (không tính bội).

Số ''δ''(''a'') được gọi là số khuyết của hàm tại giá trị ''a''. Nevanlinna chứng minh quan hệ số khuyết sau đây <math>\sum_{a \in \mathbb{C} \cup \infty}</math>(''δ''(''a'') + ''θ''(''a'')) ≤ 2.

Từ quan hệ số khuyết, một cách tự nhiên xuất hiện bài toán sau, thường được gọi là bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna, "Cho dãy hữu hạn hoặc vô hạn các điểm {''a''''k''} trong mặt phẳng phức <math>\mathbb{C}</math> (kể cả điểm vô cùng), và các số không âm tương ứng ''δ''(''a''''k'') , ''θ''(''a''''k'') thoả mãn các điều kiện sau: 0 < ''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'') ≤ 1, ''k'' = 1, 2, ... và <math> \sum_{k}</math>(''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'')) ≤ 2; tìm hàm phân hình có số khuyết (tương ứng, chỉ số bội) tại các điểm ''a''''k'' là ''δ''(''a''''k'') tương ứng, ''θ''(''a''''k'') và số khuyết (tương ứng, chỉ số bội) bằng 0 tại các điểm còn lại."

Nevanlinna (năm 1932) đã cho lời giải của bài toán trên trong trường hợp riêng với những giả thiết chặt sau đây:
# dãy {''a''''k''} là hữu hạn,
# ''δ''(''a''''k'') là các số hữu tỷ
# ''θ''(''a''''k'') = 0 với mọi ''k''.

Trong khoảng 15 năm tiếp theo kể từ kết quả đầu tiên của Nevanlinna, bài toán trên không tiến triển thêm được bước nào đáng kể. Cho đến năm 1949, Lê Văn Thiêm đã tiến một bước trong việc giải bài toán.<ref>Le-Van Thiem, ''[https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02565590 Über das Umkehrproblem der Wertverteilungslehre]'', [[Commentarii Mathematici Helvetici]], tháng 12 năm 1949, số 23, tr.26–49, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02565590 10.1007/BF02565590], MR 0030609</ref> Kết quả chính mà ông thu được là xây dựng nghiệm của bài toán ngược với những giả thiết sau đây:
# dãy {''a''''k''} là hữu hạn,
# ''δ''(''a''''k'') là các số hữu tỷ,
# nếu ''θ''(''a''''k'') > 0 thì ''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'') < 1,
# <math>\sum_{k}</math>(''δ''(''a''''k'') + ''θ''(''a''''k'')) = 2.

Đóng góp của Lê Văn Thiêm không chỉ là việc chứng minh sự tồn tại của nghiệm bài toán ngược trong những tình huống tổng quát hơn so với công trình của Nevanlinna, mà điều quan trọng là lần đầu tiên, ông đưa ra cộng cụ ánh xạ á bảo giác và không gian Teichmuler vào việc giải bài toán ngược. Tư tưởng đó của ông đã được những nhà toán học khác sử dụng để thu được những kết quả mới cho bài toán ngược, gồm [[Goldberg]], [[Weitsman]], [[David Drasin]]. Cuối cùng, năm 1977, Drasin cho lời giải trọn vẹn của bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna, 45 năm sau khi bài toán được đặt ra.<ref>Drasin, ''[https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.acta/1485889951 The inverse problem of the Nevanlinna theory]'', Acta Mathematica, 1977, số 138, tr.83–151, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02392314 10.1007/BF02392314]</ref> Trong công trình của mình, Drasin cũng sử dụng những phương pháp mà Lê Văn Thiêm lần đầu tiên áp dụng.

Công trình về bài toán ngược của lý thuyết Nevanlinna đã đặt Lê Văn Thiêm vào hàng ngũ những tác gia kinh điển của lý thuyết này. Ngay khi công trình ra đời, người giới thiệu nó trên tờ [[American Mathematical Reviews]] chính là [[Lars Ahlfors]], người nhận [[Giải thưởng Fields]] đầu tiên năm 1936. Ahlfors cũng giới thiệu một số công trình tiếp theo của Lê Văn Thiêm. Cho đến tận hôm nay, hầu như cuốn sách nào về lý thuyết Nevanlinna đều nhắc đến công trình đầu tiên của Lê Văn Thiêm. Không phải nhà khoa học nào cũng có cái vinh dự được nhắc đến kết quả của mình 60 năm sau. Có thể tin rằng, các công trình đó của Lê Văn Thiêm sẽ còn được nhắc đến nhiều năm, như là một trong những cột mốc của lý thuyết hàm phân hình. Bài báo ''Beitrag zum Typenproblem der Riemannschen Flachen'' (Về phân loại diện Riemann) của Lê Văn Thiêm đăng trên tờ [[Commentarii mathematici Helvertici]] năm 1947<ref>Le-Van Thiem, ''[https://link.springer.com/article/10.1007/BF02568134 Beitrag zum Typenproblem der Riemannschen Flächen]'', [[Commentarii Mathematici Helvetici]], tháng 12 năm 1947, số 20, tr.270–287, [[DOI]] [https://doi.org/10.1007/BF02568134 10.1007/BF02568134]</ref> chính là công trình toán học đầu tiên của người Việt Nam công bố trên tạp chí quốc tế. Có thể xem năm 1947 là năm mở đầu cho Lịch sử toán học Việt Nam hiện đại.

Trở về Việt Nam năm 1949 theo lời kêu gọi của Chủ tịch [[Hồ Chí Minh]], Giáo sư Lê Văn Thiêm tạm dừng các nghiên cứu toán học của mình để chuyên tâm vào các nhiệm vụ quan trọng được Nhà nước giao phó. Tuy vậy, khi có chủ trương thúc đẩy phong trào nghiên cứu khoa học trong các trường đại học, Giáo sư lại trở về với lý thuyết diện Riemann yêu thích của mình. Theo lời kể của ông, hai công trình đang trong tạp chí Sibirskii Matematicheski Journal và Acta Scientiarum Vietnamicarum vào các năm 1964, 1965 là kết quả của việc nghiên cứu một vấn đề mà ông suy nghĩ từ khi còn ở Pháp, nhưng chưa có dịp thực hiện. Trong các công trình đó, Lê Văn Thiêm đưa ra điều kiện để một mặt phủ Riemann thuộc kiểu hyperbolic thông qua việc tồn tại một đầu mút modula. Ông cũng đưa ra những điều kiện để một diện Riemann thuộc lớp OHB, tức là trên đó không tồn tại hàm điều hoà giới nội khác hằng số. Từ sau hai công trình kể trên, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển hẳn sang nghiên cứu các vấn đề toán học ứng dụng, theo chủ trương đưa khoa học ào phục vụ thực tiễn sản xuất và chiến đấu.

===Toán học ứng dụng===

Vốn là một chuyên gia về lý thuyết hàm phân hình và diện Riemann, những vấn đề của toán học lý thuyết, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển sang nghiên cứu và lãnh đạo nhóm nghiên cứu về toán ứng dụng. Điều đáng ngạc nhiên là trong số các công trình đầu tiên của ông về toán ứng dụng có công trình trở thành kinh điển trong lĩnh vực này: lời giải tường minh của bài toán thấm qua hai lớp đất. Bài toán thâm là vấn đề có ý nghĩa thực tiễn quan trọng, xuất hiện khi tính toán sự bền vững của các đê, đập nước, trữ lượng dầu trong các túi dầu, vấn đề rửa mặn vùng ven biển. . . Trong nhiều bài toán thấm, chẳng hạn khi xét nước thấm qua một con đê dài, ta đi đến mô hình bào toán thấm phẳng (tức là không phụ thuộc một chiều nào đó). Với một số giả thiết chấp nhận được, việc mô hình hoá toán học đưa bài toán thấm qua một môi trường đồng chất về việc xây dựng mọt hàm chỉnh hình thực hiện ánh xạ bảo giác miền thấm lên nửa mặt phẳng. Đó là việc rất khó khăn về mặt toán học, vì miền thấm thường rất phức tạp. Tuy nhiên, ngay trong trường hợp đó, ta đã phải xét một mô hình khá xa thực tiến: môi trường mà nước thấm qua là “đồng chất”, tức là chỉ có một lớp đất với cùng một hệ số thấm. Trong thực tiễn, thường có nhiều lớp với hệ số thấm khác nhau nằm dưới một công trình thuỷ lợi: lớp đất cát, lớp đất cát,. . . Đối với những trường hợp miền thấm không đồng chất, cho đến trước công trình của Lê Văn Thiêm, người ta chỉ mới có các phương pháp giải ần đúng. Trong công trình Sur un problème d’infiltration à travers un sol à deux couches (Về bài toán thấm qua hai lớp đất) đăng trên tạp chí Acta Sci.Vietnam. 1, 1964, pp. 3-9, Lê Văn Thiêm đã dùng Nguyên lý đối xứng trong giải tích phức để xây dựng đuwocj nghệm tường minh cho bài toán thấm qua hai lớp đất vứi hệ số thấm khác nhau. Đây là công trình đầu tiên trong lĩnh vực lý thuyết nước thâm cho phép xây dựng nghiệm giải tích của bài toán thấm không đồng chất. Điều này đuuwocj khẳng định trong cuốn sách Lý thuyết chuyển động của nước ngầm của Palubarinova-Kochina xuất bản ở Matxcơva năm 1977.

Một hướng nghiên cứu ứng dụng mà Giáo sư Lê Văn Thiêm cùng các học trò của mình tiến hành trong nhiều năm là nổ định hướng. Phương pháp nổ định hướng do nhà toán học Nga Lavrenchiep đưa ra, dựa trên nguyên lý sau đây: khi có một vụ nổ lớn, dưới tác động của áp suất quá cao, các vật chất quanh tâm của vụ nổ chuyển động theo quy luật của chất lỏng lý tưởng, tức là không nhớt và không nén được. Chuyển động của chất lỏng lý tưởng có thể mô tả bằng một hàm giải tích. Nếu tìm được hàm giải tích này, ta có thể tính được áp lực quan tâm nổ, quỹ đạo chuyển động của vật chất gần tâm nổ. Nhận thấy đây là vấn đề có ý nghĩa thực tiễn lớn, Giáo sư Lê Văn Thiêm đã hướng dãn các học trò của mình tại Trường Đại học Tổng hợp Hà Nôi và Viện Toán học nghiên cứu áp dụng. Năm 1966, một nhóm các nhà toán học trẻ của hai cơ quan lên đường vào Nghệ An để tiến hành trên thực tế, Địa điểm làm việc là vùng Hoàng Mai thuộc địa phận huyện Quỳnh Lưu. Hoàng Mai là nơi gặp nhau của ba tuyến đường vào Nam: đường bộ, đường sắt, đường thuỷ (kênh Nhà Lê). Vì thế, đây trở thành một trong những trọng điểm đánh phá của máy bay Mỹ. Do đường sắt và đường bộ bị hư hại nghiêm trọng, việc vận chuyển qua kênh Nhà Lê trở nên rất quan trọng. Con kênh được đào thừ thời Lê nên đến nay đã cạn. Vấn đề cấp thiết đặt ra là phải nạo vét lòng kênh để các thuyền trọngt ải lớn có thể đi qua. Các đơn vị Tanh niên xung phong đuwocj giao nhiệm vụ nà. Tuy vậy, không thể tập trung một lực lượng lớn, vì má bay Mỹ bắn phá ngày đêm. Giáo sư Lê Văn Thiêm đề xuất dùng phương pháp nổ định hướng để nạo vét lòng kênh. Mục tiêu đặt ra là làm thế nào để sau khi nổ, hầu hết đất đá văng lên bờ, chứ không rơi lại xuống lòng kênh. Các vụ nổ được tiến hành vào lúc thuỷ triều xuống thấp nhất để có hiệu quả cao nhất. Vì vậy, nhiều lúc phải nổ vào những “giờ cao điểm”, tức là những giờ mà máy bay Mỹ bắn phá ác liệt nhất. Thực tế đã chứng tỏ, phương pháp nổ định hướng có tác dụng thiết thực, góp phần tăng khả năng vận chuyển qua kênh Nhà Lê, giảm nhẹ tổn thất về người và của. Phương pháp nổ định hướng đó cũng được áp dụng trong việc xây dựng những con đường chiến lược trong rừng. Các đơn vị Thanh niên xung phong đã cùng nhóm học trò nói trên của Giáo sư Lê Văn Thiêm áp dụng lý thuyết nổ định hướng trong việc phá đá, bạ ta-luy, hất những cây to chắn đường xuống vực trong quá trình làm đường. Giáo sư Lê Văn Thiêm đã viết tài liệu hướng dẫn cho Thanh niên xung phong để ho tự làm lấy sau khi nhóm nghiên cứu rút khỏi hiện trường. Tiếc rằng bản tài liệu đó ngày nay không tìm lại được.

Sau ngày Việt Nam tái thống nhất, Giáo sư Lê Văn Thiêm chuyển vào công tác tại [[Thành phố Hồ Chí Minh]]. Ông đã lập nên Phòng Toán học ứng dụng, nghiên cứu các vấn đề toán học đặt ra trong lý thuyết đàn hồi và chuyển động của chất lỏng nhớt. Các vấn đề toán học ứng dụng mà Giáo sư Lê Văn Thiêm quan tâm nghiên cứu đều là những vấn đề được đặt ra trong thực tiễn Việt Nam: xây dựng đê điều và các công trình thuỷ lợi, cải tạo các ruộng nhiễm mặn vùng ven biển, tính toán trữ lượng dầu khí, nạo vét lòng kênh để phục vụ giao thông thời chiến. Ngay khi giải quyết các nhiệm vụ ứng dụng trước mắt, với trình độ cao về khoa học cơ bản, ông đã có những đóng góp quan trọng vào sự phát triển của lý thuyết.

===Toán học Việt Nam===

Với những công trình khoa học xuất sắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm là người viết trang đầu tiên cửa lịch sử toán học Việt Nam hiện đại. Ông cũng là một trong nhữn người đầu tiên đặt nền móng xây dựng toán học Việt Nam. Uy tín của ông đã từng là nguyên nhân khiến nhiều thanh niên tài năng tìm đường lên chiến khu Việt Bắc để nghiên cứu và giảng dạy toán học: [[Hoàng Tụy]], [[Nguyễn Cảnh Toàn]]. Không chỉ lôi cuốn, khuyến khích họ bằng tiếng tăm của mình, Giáo sư Lê Văn Thiêm đã dồn tâm sức để đào tạo lớp thanh niên đầy nhiệt huyết của những ngày đầu cách mạng. “Vốn liếng” của ông khi đó thật ít ỏi, đó chỉ là một ít sách mà ông và một số giáo sư khác cố gắng mang theo mình suốt chặng đường từ Châu Âu đến chiến khu. Ông luôn khuyến khích những tài năng trẻ đi sâu vào nghiên cứu khoa học, và cố gắng tạo cho họ những điều kiện tốt nhất có thể. Ngay cả sau khi hoà bình lập lại, các trường đại học ở Việt Nam hầu như chưa có giáo trình đại học về toán bằng tiếng Việt. Vậy mà mọt trong những quyết tâm lớn của nhà nước Việt Nam mới là giảng dạy tiếng Việt ở bậc đại học. Lê Văn Thiêm đã dịch và viết các giáo trình, từ Hàm biến phức Xác suất thống kê.

Nhận thức rõ tầm quan trọng của Toán học trong việc xây dựng nền khoa học nước nhà, Giáo sư Lê Văn Thiêm cùng với các giáo sư Tạ Quang Bửu, Hoàng Tuỵ đã vạch một chiến lược lâu dài phát riển Toán học Việt Nam. Sự ra đời của Phòng Nghiên cứu Toán năm 1962 (trực thuộc Uỷ ban Khoa học và Kỹ thuật Nhà nước) là một cột mốc quan trọng trong quá trình xây dựng nền toán học Việt Nam. Năm 1969, THủ tướng Phạm Văn Đồng ký quyết định thành lập Viện Toán học thuộc Uỷ ban khoa học và Kỹ thuật nhà nước. Năm 1970, Giáo sư Lê Văn Thiêm, lúc đó đang là Phó Hiệu trưởng Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội, được chuyển về giữ chức vụ Phó Viện trưởng, phụ trách Viện Toán học. Từ lúc đó, Viện Toán học chính thức đi vào hoạt động. Với sự lãnh đạo của Giáo sư Lê Văn Thiêm, ngay từ khi thành lập, Phòng nghiên cứu Toán, sau này là Viện Toán học, đã chú trọng phát triển toàn diện: nghiên cứu cơ bản, nghiên cứu ứng dụng và đào tạo. Những sinh viên giỏi tốt nghiệp Đại học Tổng hợp Hà Nội và các địa học nước noài được chính Giáo sư Lê Văn Thiêm tuyển chọn về Viện Toán học, và được cử đi tiếp tục nghiên cứu, học tập ở nước ngoài. Chính nhờ chiến lược đào tạo cơ bản đó của Giáo sư Lê Văn Thiêm mà Viện Toán học, từ chỗ chỉ có hơn 20 cán bộ năm 1970, đến nay đã trở thành một Viện nghiên cứu hàng đầu cả nước.

Giáo sư Lê Văn Thiêm, cùng với Giáo sư Hoàng Tuỵ, là những người đầu tiên gây dựng Khoa Toán của Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội. Ông luôn kiên trì phương châm giữa vững chất lượng đào tạo, ngay cả trong những năm chiến tranh, khi nhà trường phải sơ tán vào vùng núi Việt Bắc. Ông cũng đã phải trải qua nhiều cuộc đấu tranh gay go trong nội bộ Khoa Toán và Trường Đại học Tổng hợp trong những năm 60 của thế kỷ 20 để giữ vứng chiến lược đúng đắn đó. Nhờ thế, Khoa Toán của Đại học Tổng hợp Hà Nội (nay là Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học quốc gia Hà Nội) đã dào tạo nên nhiều nhà toán học hàng đầu trong cả nước.

Giáo sư Lê Văn Thiêm cũng là Chủ tịch đầu tiên của Hội Toán học Việt Nam. Ông là lãnh đạo và là hạt nhân gắn kết cộng đồng toán học Việt Nam. Giáo sư Lê Văn Thiêm là một trong những người sáng lập tờ [[báo Toán học và Tuổi trẻ]], và trực tiếp viết bài cho báo ngay từ những số đầu tiên. Ông cũng trực tiếp ra đề thi chọn học sinh giỏi toàn Miền Bắc những năm 1963-1964. Ngay khi cả nước đang trong chiến tranh, máy bay Mỹ bắn phá dữ dội Miền bắc, Giáo sư Lê Văn Thiêm là người đứng ra sáng lập tờ báo Toán học và Vật lý bằng tiếng nước ngoài đầu tiên của Việt Nam: tờ [[Acta Scientiarum Vietnamicarum]] (Sectio Mathematicarum et Physicarum). Phần toán học của tờ báo đó ngày nay trở thành tờ [[Acta Mathematica Vietnamica]], tờ báo có uy tín nhất về toán của Việt Nam, có mặt ở thư viện của nhiều trường đại học lớn trên thế giới. Việc cho ra đời một tờ báo nghiên cứu toán học (bằng tiếng Anh, Pháp, Nga, Đức) trong chiến tranh là điều hiếm có trên thế giới. Nhiều nhà khoa học nước ngoài đã tỏ ý ngạc nhiên và khâm phục khi thấy Việt Nam, một đất nước đang phải đương đầu với cuộc chiến tranh tàn khốc ở cả hai miền, lại nghĩ đến việc ra một tờ tạp chí nghiên cứu khoa học bằng tiếng nước ngoài. Việc làm đó chứng tỏ tầm nhìn xa của các nhà lãnh đạo khoa học Việt nam, và cả sự tin tưởng vào thắng lợi tất yếu của sự nghiệp cách mạng.

Sự phát triển của Toán học Việt Nam, và của khoa học cơ bản Việt Nam nói chung từ sau Cách mạng Tháng Tám mang đậm dấu ấn của Giáo sư Lê Văn Thiêm.

==Tham khảo==
<references/>

MOS

2021-02-02T02:53:20Z

Minhpc:

{{mới}}
'''MOS''' (mean opinion score) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu suất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

MOS là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một MOS tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
MOS được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (bình thường)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

MOS được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N người.

==Các tính chất của MOS==
MOS tuân theo các tính chất và thành kiến toán học nhất định. Nói chung thì có cuộc tranh luận đang diễn ra về sự hữu ích của MOS để xác định chất lượng trải nghiệm bằng một giá trị vô hướng.

Khi nhận được kết quả MOS bằng thang đánh giá phân loại, nó được dựa trên - giống như thang đo Likert - một loại thang đo thứ tự. Trong trường hợp này, xếp hạng của các thứ bậc được biết rõ ràng, còn khoảng cách giữa các thứ bậc thì không. Vì thế, việc tính trung bình cộng của các số đo đơn lẻ để lấy xu hướng chung là không chính xác về mặt lý thuyết toán học; nên sử dụng điểm ở giữa thay vì trung bình cộng. Nhưng trong thực tế và trong định nghĩa của MOS, việc sử dụng trung bình cộng là việc chấp nhận được.

Khi sử dụng các thang đánh giá phân loại, mỗi người sẽ thấy khoảng cách giữa các thứ bậc khác nhau. Ví dụ như là khoảng cách giữa ''bình thường'' và ''tốt'' sẽ lớn hơn khoảng cách giữa ''tốt'' và ''xuất xắc''. Khoảng cách giữa các thứ bậc này cũng còn tùy thuộc vào ngôn ngữ mà thang đánh giá được dịch sang. Tuy nhiên, có những nghiên cứu không thể chứng minh được ảnh hưởng đáng kể của bản dịch của thang đo đối với kết quả nhận được.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.
* Đ. T. Hạnh, Đ. V. Chuyết, and V. Đ. Hoà (Aug. 2017) GIẢI PHÁP CẢI TIẾN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG TRUYỀN VIDEO TRÊN MÔI TRƯỜNG WIRELESS LAN doi: 10.15625/vap.2017.00025.

MOS

2021-02-02T02:52:53Z

Minhpc:

{{mới}}
'''MOS''' (mean opinion score) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu suất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

MOS là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
MOS được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (bình thường)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

MOS được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N người.

==Các tính chất của MOS==
MOS tuân theo các tính chất và thành kiến toán học nhất định. Nói chung thì có cuộc tranh luận đang diễn ra về sự hữu ích của điểm số đánh giá trung bình để xác định chất lượng trải nghiệm bằng một giá trị vô hướng.

Khi nhận được kết quả MOS bằng thang đánh giá phân loại, nó được dựa trên - giống như thang đo Likert - một loại thang đo thứ tự. Trong trường hợp này, xếp hạng của các thứ bậc được biết rõ ràng, còn khoảng cách giữa các thứ bậc thì không. Vì thế, việc tính trung bình cộng của các số đo đơn lẻ để lấy xu hướng chung là không chính xác về mặt lý thuyết toán học; nên sử dụng điểm ở giữa thay vì trung bình cộng. Nhưng trong thực tế và trong định nghĩa của điểm số đánh giá trung bình, việc sử dụng trung bình cộng là việc chấp nhận được.

Khi sử dụng các thang đánh giá phân loại, mỗi người sẽ thấy khoảng cách giữa các thứ bậc khác nhau. Ví dụ như là khoảng cách giữa ''bình thường'' và ''tốt'' sẽ lớn hơn khoảng cách giữa ''tốt'' và ''xuất xắc''. Khoảng cách giữa các thứ bậc này cũng còn tùy thuộc vào ngôn ngữ mà thang đánh giá được dịch sang. Tuy nhiên, có những nghiên cứu không thể chứng minh được ảnh hưởng đáng kể của bản dịch của thang đo đối với kết quả nhận được.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.
* Đ. T. Hạnh, Đ. V. Chuyết, and V. Đ. Hoà (Aug. 2017) GIẢI PHÁP CẢI TIẾN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG TRUYỀN VIDEO TRÊN MÔI TRƯỜNG WIRELESS LAN doi: 10.15625/vap.2017.00025.

MOS

2021-02-02T02:42:51Z

Minhpc:

{{mới}}
'''MOS''' (mean opinion score) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu suất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

MOS là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
MOS được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (bình thường)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

MOS được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N người.

==Các tính chất của điểm số đánh giá trung bình==
MOS tuân theo các tính chất và thành kiến toán học nhất định. Nói chung thì có cuộc tranh luận đang diễn ra về sự hữu ích của điểm số đánh giá trung bình để xác định chất lượng trải nghiệm bằng một giá trị vô hướng.

Khi nhận được kết quả MOS bằng thang đánh giá phân loại, nó được dựa trên - giống như thang đo Likert - một loại thang đo thứ tự. Trong trường hợp này, xếp hạng của các thứ bậc được biết rõ ràng, còn khoảng cách giữa các thứ bậc thì không. Vì thế, việc tính trung bình cộng của các số đo đơn lẻ để lấy xu hướng chung là không chính xác về mặt lý thuyết toán học; nên sử dụng điểm ở giữa thay vì trung bình cộng. Nhưng trong thực tế và trong định nghĩa của điểm số đánh giá trung bình, việc sử dụng trung bình cộng là việc chấp nhận được.

Khi sử dụng các thang đánh giá phân loại, mỗi người sẽ thấy khoảng cách giữa các thứ bậc khác nhau. Ví dụ như là khoảng cách giữa ''bình thường'' và ''tốt'' sẽ lớn hơn khoảng cách giữa ''tốt'' và ''xuất xắc''. Khoảng cách giữa các thứ bậc này cũng còn tùy thuộc vào ngôn ngữ mà thang đánh giá được dịch sang. Tuy nhiên, có những nghiên cứu không thể chứng minh được ảnh hưởng đáng kể của bản dịch của thang đo đối với kết quả nhận được.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.
* Đ. T. Hạnh, Đ. V. Chuyết, and V. Đ. Hoà (Aug. 2017) GIẢI PHÁP CẢI TIẾN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG TRUYỀN VIDEO TRÊN MÔI TRƯỜNG WIRELESS LAN doi: 10.15625/vap.2017.00025.

Điểm số đánh giá trung bình

2021-02-02T02:41:14Z

Minhpc: Minhpc đã đổi Điểm số đánh giá trung bình thành MOS: Thay tên

#đổi [[MOS]]

MOS

2021-02-02T02:41:14Z

Minhpc: Minhpc đã đổi Điểm số đánh giá trung bình thành MOS: Thay tên

{{mới}}
'''Điểm số đánh giá trung bình''' (mean opinion score, MOS) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu suất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

Điểm số đánh giá trung bình là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
Điểm số đánh giá trung bình được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (bình thường)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

Điểm số đánh giá trung bình được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N người.

==Các tính chất của điểm số đánh giá trung bình==
Điểm số đánh giá trung bình tuân theo các tính chất và thành kiến toán học nhất định. Nói chung thì có cuộc tranh luận đang diễn ra về sự hữu ích của điểm số đánh giá trung bình để xác định chất lượng trải nghiệm bằng một giá trị vô hướng.

Khi nhận được kết quả điểm số đánh giá trung bình bằng thang đánh giá phân loại, nó được dựa trên - giống như thang đo Likert - một loại thang đo thứ tự. Trong trường hợp này, xếp hạng của các thứ bậc được biết rõ ràng, còn khoảng cách giữa các thứ bậc thì không. Vì thế, việc tính trung bình cộng của các số đo đơn lẻ để lấy xu hướng chung là không chính xác về mặt lý thuyết toán học; nên sử dụng điểm ở giữa thay vì trung bình cộng. Nhưng trong thực tế và trong định nghĩa của điểm số đánh giá trung bình, việc sử dụng trung bình cộng là việc chấp nhận được.

Khi sử dụng các thang đánh giá phân loại, mỗi người sẽ thấy khoảng cách giữa các thứ bậc khác nhau. Ví dụ như là khoảng cách giữa ''bình thường'' và ''tốt'' sẽ lớn hơn khoảng cách giữa ''tốt'' và ''xuất xắc''. Khoảng cách giữa các thứ bậc này cũng còn tùy thuộc vào ngôn ngữ mà thang đánh giá được dịch sang. Tuy nhiên, có những nghiên cứu không thể chứng minh được ảnh hưởng đáng kể của bản dịch của thang đo đối với kết quả nhận được.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.
* Đ. T. Hạnh, Đ. V. Chuyết, and V. Đ. Hoà (Aug. 2017) GIẢI PHÁP CẢI TIẾN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG TRUYỀN VIDEO TRÊN MÔI TRƯỜNG WIRELESS LAN doi: 10.15625/vap.2017.00025.

MOS

2021-02-02T02:35:07Z

Minhpc:

MOS

2021-01-28T09:45:15Z

Minhpc:

MOS

2021-01-28T09:02:40Z

Minhpc:

MOS

2021-01-28T07:07:01Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Điểm số đánh giá trung bình''' (mean opinion score, MOS) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu suất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

Điểm số đánh giá trung bình là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
Điểm số đánh giá trung bình được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (bình thường)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

Điểm số đánh giá trung bình được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N người.

==Các tính chất của điểm số đánh giá trung bình==
Điểm số đánh giá trung bình tuân theo các tính chất và thành kiến toán học nhất định. Nói chung thì có cuộc tranh luận đang diễn ra về sự hữu ích của điểm số đánh giá trung bình để xác định chất lượng trải nghiệm bằng một giá trị vô hướng.

Khi nhận được kết quả điểm số đánh giá trung bình bằng thang đánh giá phân loại, nó được dựa trên - giống như thang đo Likert - một loại thang đo thứ tự. Trong trường hợp này, xếp hạng của các thứ tự được biết rõ ràng, còn khoảng cách giữa các thứ tự thì không. Vì thế, việc tính trung bình cộng của các số đo đơn lẻ để lấy xu hướng chung là không chính xác về mặt lý thuyết toán học; nên sử dụng điểm ở giữa thay vì trung bình cộng. Nhưng trong thực tế và trong định nghĩa của điểm số đánh giá trung bình, việc sử dụng trung bình cộng là việc chấp nhận được.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.

MOS

2021-01-26T06:09:59Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Điểm số đánh giá trung bình''' (mean opinion score, MOS) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu suất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

Điểm số đánh giá trung bình là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
Điểm số đánh giá trung bình được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (trung bình)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

Điểm số đánh giá trung bình được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N người.

==Các tính chất của điểm số đánh giá trung bình==
Điểm số đánh giá trung bình tuân theo các tính chất và thành kiến toán học nhất định. Nói chung thì có cuộc tranh luận đang diễn ra về sự hữu ích của điểm số đánh giá trung bình để xác định chất lượng trải nghiệm bằng một giá trị vô hướng.

Khi nhận được kết quả điểm số đánh giá trung bình bằng thang đánh giá phân loại, nó được dựa trên - giống như thang đo Likert - một loại thang đo thứ tự. Trong trường hợp này, xếp hạng của các thứ tự được biết rõ ràng, còn khoảng cách giữa các thứ tự thì không. Vì thế, việc tính trung bình cộng của các số đo đơn lẻ để lấy xu hướng chung là không chính xác về mặt lý thuyết toán học; nên sử dụng điểm ở giữa thay vì trung bình cộng. Nhưng trong thực tế và trong định nghĩa của điểm số đánh giá trung bình, việc sử dụng trung bình cộng là việc chấp nhận được.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.

MOS

2021-01-26T03:13:31Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Điểm số đánh giá trung bình''' (mean opinion score, MOS) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu suất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

Điểm số đánh giá trung bình là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
Điểm số đánh giá trung bình được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (trung bình)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

Điểm số đánh giá trung bình được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N người.

==Các tính chất của điểm số đánh giá trung bình==
Điểm số đánh giá trung bình tuân theo các tính chất và thành kiến toán học nhất định. Nói chung thì có cuộc tranh luận đang diễn ra về sự hữu ích của điểm số đánh giá trung bình để xác định chất lượng trải nghiệm bằng một giá trị vô hướng.

Khi nhận được kết quả điểm số đánh giá trung bình bằng thang đánh giá phân loại, nó được dựa trên - giống như thang đo Likert - một loại thang đo thứ tự. Trong trường hợp này, xếp hạng của các thứ tự được biết rõ ràng, còn khoảng cách giữa các thứ tự thì không. Vì thế, việc tính trung bình cộng của các số đo đơn lẻ để lấy xu hướng chung là không chính xác về mặt lý thuyết toán học; nên sử dụng điểm ở giữa thay vì trung bình cộng.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.

MOS

2021-01-26T03:03:06Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Điểm số đánh giá trung bình''' (mean opinion score, MOS) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu suất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

Điểm số đánh giá trung bình là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
Điểm số đánh giá trung bình được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (trung bình)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

Điểm số đánh giá trung bình được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N người.

==Các tính chất của điểm số đánh giá trung bình==
Điểm số đánh giá trung bình tuân theo các tính chất và thành kiến toán học nhất định. Nói chung thì có cuộc tranh luận đang diễn ra về sự hữu ích của điểm số đánh giá trung bình để xác định chất lượng trải nghiệm bằng một giá trị vô hướng.

Khi nhận được kết quả điểm số đánh giá trung bình bằng thang đánh giá phân loại, nó được dựa trên - giống như thang Likert - một loại thang thứ tự. Trong trường hợp này, xếp hạng của các thứ tự được biết rõ ràng, còn khoảng cách giữa các thứ tự thì không. Vì thế, việc tính trung bình cộng của các số đo đơn lẻ để lấy xu hướng chung là không chính xác về mặt lý thuyết toán học; nên sử dụng điểm ở giữa thay vì trung bình cộng.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.

MOS

2021-01-26T02:18:52Z

Minhpc:

MOS

2021-01-26T02:09:00Z

Minhpc:

MOS

2021-01-25T02:07:37Z

Minhpc:

MOS

2021-01-22T09:52:31Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Mean opinion score''' (MOS) (điểm số đánh giá trung bình) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu xuất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

Điểm số đánh giá trung bình là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
Điểm số đánh giá trung bình được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (trung bình)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

Điểm số đánh giá trung bình được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N nhân chủ.

==Tài liệu tham khảo==
* ITU-T Rec. P.10 (2006) Vocabulary for performance and quality of service.

MOS

2021-01-22T08:14:16Z

Minhpc:

MOS

2021-01-22T08:11:05Z

Minhpc: Tạo trang mới với nội dung “{{mới}} '''Mean opinion score''' (MOS) (điểm số đánh giá trung bình) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng tr…”

{{mới}}
'''Mean opinion score''' (MOS) (điểm số đánh giá trung bình) là một thước đo được dùng trong lĩnh vực chất lượng trải nghiệm và kỹ thuật viễn thông, đại diện cho chất lượng tổng thể của một hệ thống. Nó là trung bình cộng của tất cả các giá trị độc lập dựa trên một thang đo đã được định sẵn mà một người gán cho ý kiến cá nhân của họ về hiệu xuất của chất lượng hệ thống. Những đánh giá này thường được tập hợp lại trong những bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan, nhưng những đánh giá này cũng có thể được ước lượng theo thuật toán.

Điểm số đánh giá trung bình là một thước đo thông thường dùng để đánh giá chất lượng âm thanh và video nhưng không chỉ giới hạn ở những phương thức đó. Liên minh Viễn Thông Quốc tế (ITU-T) đã định nghĩa một vài cách để đề cập đến một điểm số đánh giá trung bình tùy vào điểm số được lấy từ bài kiểm tra chất lượng về cuộc đối thoại, nghe, nói hoặc nghe nhìn.

==Thang điểm đánh giá và định nghĩa toán học==
Điểm số đánh giá trung bình được diễn tả bằng một số hữu tỉ, thường từ 1 đến 5, trong đó 1 là chất lượng thấp nhất và 5 là chất lượng cao nhất. Có thể có các quãng đánh giá trung bình khác, tùy thuộc vào thước đo được dùng trong các bài kiểm tra trước đó. Thước đo thể loại tuyệt đối đánh giá là một thước đo được sử dụng phổ biến
{| class="wikitable"
! Điểm số !! Đánh giá
|-
| 5 || Excellent (xuất xắc)
|-
| 4 || Good (tốt)
|-
| 3 || Fair (trung bình)
|-
| 2 || Poor (kém)
|-
| 1 || Bad (tồi)
|}

Các thước đo chất lượng chuẩn khác có thể được tìm thấy trong các đề cử của ITU-T. Ví dụ như một thước đo tiếp diễn từ 1 đến 100. Thang đo nào được dùng tùy thuộc vào mục đích của bài kiểm tra. Trong nhiều tình huống thì không có nhiều khác biệt thống kê đáng kể giữa các xếp hạng cho cùng một hệ thống khi mà các kết quả đó được thu về từ các thước đo khác nhau.

Điểm số đánh giá trung bình được tính là trung bình cộng của tất cả các kết quả đơn lẻ của một tác động trong một bài kiểm tra đánh giá chất lượng chủ quan.

<math>MOS = \frac{\sum_{n=1}^{N} R_n}{N}</math>

trong đó R là đánh giá đơn lẻ cho một hệ thống bởi N nhân chủ.

Chiến lược công nghệ thông tin

2021-01-21T02:20:29Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Chiến lược công nghệ thông tin''' là kế hoạch tổng thể bao gồm các mục tiêu, các nguyên tắc định hướng cho các giải pháp chiến lược liên quan tới việc sử dụng công nghệ thông tin (công nghệ thông tin) trong một tổ chức. Các giải pháp chiến lược công nghệ thông tin thực hiện tầm nhìn của tổ chức, phục vụ cho việc tái cơ cấu qui trình nghiệp vụ, cải cách thể chế và chuyển đổi hạ tầng. Chiến lược công nghệ thông tin được xây dựng đồng bộ với chiến lược phát triển của tổ chức, tầm nhìn của lãnh đạo và dựa trên đánh giá hiện trạng thực tế. Chiến lược công nghệ thông tin bao gồm hướng dẫn triển khai phát triển, quản lý và sử các nguồn lực công nghệ thông tin để tổ chức phát triển hiệu quả hơn, thể hiện qua các chỉ tiêu hiệu quả then chốt (KPI).

Chiến lược công nghệ thông tin là chiến lược ứng dụng công nghệ bao trùm và chủ đạo cho mọi tổ chức ngày nay, thúc đẩy các quá trình đổi mới sáng tạo, tái cơ cấu qui trình nghiệp vụ, cải cách thể chế, cải cách hành chính và chuyển đổi số. Mặc dù chiến lược công nghệ thông tin tập trung vào việc phát triển hạ tầng thông tin, nó còn đóng vai trò quan trọng trong việc thúc đẩy nhận thức và kỹ năng sử dụng công nghệ thông tin của nguồn nhân lực. Chiến lược công nghệ thông tin cần hướng tới việc đồng bộ hóa với chiến lược nghiệp vụ của tổ chức.

Qui trình phát triển chiến lược công nghệ thông tin bắt đầu bằng việc xác định tầm nhìn dựa trên chiến lược phát triển của tổ chức hoặc/và định hướng của lãnh đạo, từ đó ứng dụng các phương pháp như kiến trúc công nghệ thông tin, KTHDV, khung tương hợp để xây dựng khung chiến lược. Khung chiến lược là cơ sở để xây dựng các bộ câu hỏi điều tra.

Đánh giá thực trạng về ứng dụng công nghệ thông tin là bước quan trọng không thể bỏ qua trong việc xây dựng chiến lược công nghệ thông tin của tổ chức. Đánh giá càng chính xác, sâu sát, chiến lược sẽ càng sắc nét, dễ triển khai có hiệu quả. Đánh giá thực trạng công nghệ thông tin thường sử dụng các bộ câu hỏi điều tra về các chỉ tiêu định tính, định lượng về các nguồn lực của tổ chức, hệ thống văn bản pháp lý, cơ chế và các qui trình hoạt động của tổ chức. Các số liệu điều tra thu được sẽ được sử dụng để phân tích đánh giá thực trạng ứng dụng công nghệ thông tin của tổ chức.

Các phương pháp phân tích thường được sử dụng bao gồm phương pháp SWOT, PEST và mô hình trưởng thành. SWOT đánh giá dựa trên các mặt mạnh điểm yếu, thách thức và cơ hội phát triển của tổ chức. Chiến lược công nghệ thông tin sẽ bao gồm các giải pháp phát huy thế mạnh, hạn chế điểm yếu, đối diện với thách thức và tận dụng cơ hội để phát triển. PEST phân tích các khía cạnh và các điều kiện chính trị, kinh tế, xã hội và công nghệ ảnh hưởng tới chiến lược công nghệ thông tin. Đánh giá theo mô hình trưởng thành phân chia sự phát triển thành các giai đoạn khác nhau, mỗi giai đoạn có những chỉ tiêu được ưu tiên, đôi khi xung đột về sử dụng nguồn lực, cần phải lựa chọn tối ưu trong mỗi giai đoạn (xt. SWOT; PEST; Mô hình trưởng thành).

Rà soát các sở cứ pháp lý có liên quan cũng là một khâu quan trọng trong việc đánh giá hiện trạng ứng dụng công nghệ thông tin của tổ chức. Các sở cứ pháp lý có thể là chủ trương chính sách của quốc gia, cam kết quốc tế, chiến lược phát triển kinh tế xã hội, các chủ trương hoặc chỉ đạo của lãnh đạo tổ chức đã thành văn bản chính thức. Đôi khi trong giai đoạn đầu của việc xây dựng chiến lược công nghệ thông tin cần phải thúc đẩy ban hành các văn bản này.

Người chịu trách nhiệm soạn thảo chiến lược công nghệ thông tin của tổ chức là lãnh đạo công nghệ thông tin (CIO) hoặc thành viên của ban lãnh đạo được phân công chính thức. Tổ soạn thảo chiến lược sẽ gồm các thành viên bộ phận chuyên trách về công nghệ thông tin, bộ phận hành chính tổng hợp, tổ chức cán bộ, kế hoạch đầu tư, tài chính và pháp chế. Chiến lược công nghệ thông tin của tổ chức cần phải được ban hành chính thức bằng văn bản do cấp có thẩm quyền cao nhất phê duyệt để có tính pháp lý trong quá trình thực hiện. (xt. CIO)

Cấu trúc của một bản chiến lược công nghệ thông tin cần bao gồm các phần tóm tắt, định hướng chiến lược, các mục tiêu chiến lược, các giải pháp chiến lược và tổ chức thực hiện chiến lược.

Tóm tắt chiến lược công nghệ thông tin gồm các phần sau đây:

* Lợi ích của tổ chức;

* Mục tiêu và phạm vi;

* Cách tiệm cận và phạm vi;

* Liên hệ với chiến lược nghiệp vụ;

* Yêu cầu về nguồn lực (nhân lực, nguồn đầu tư, tóm tắt các dự án trọng yếu).

Định hướng chiến lược công nghệ thông tin bao gồm:

* Tầm nhìn;

* Phạm vi;

* Sở cứ pháp lý;

* Kết quả phân tích SWOT, PEST, Mô hình trưởng thành;

* Xu hướng phát triển công nghệ thông tin trên thế giới.

Mục tiêu chiến lược công nghệ thông tin bao gồm:

* Mục tiêu tổng quát;

* Mục tiêu cụ thể;

* Các nhóm chỉ tiêu định lượng.

Giải pháp chiến lược công nghệ thông tin bao gồm:

* Các nguyên lý hướng dẫn cho các hoạt động thực hiện chiến lược;

* Các dự án then chốt trong chiến lược.

Tổ chức thực hiện chiến lược công nghệ thông tin bao gồm:

* Các đơn vị thực hiện các giải pháp chiến lược;

* Nguồn lực thực hiện chiến lược;

* Cá nhân và tổ chức chịu trách nhiệm theo dõi, đôn đốc và đánh giá việc thực hiện chiến lược và quản lý thay đổi.

Phương pháp luận lập kế hoạch chiến lược có từ thời Hy Lạp cổ đại, được áp dụng trong quân sự. Từ nguyên gốc Hy Lạp của chiến lược là strategos nghĩa là “tướng quân”. Tại trận chiến Marathon (năm 490 trước Công nguyên). hội đồng các strategos đã tư vấn cho nhà cầm quyền các biện pháp để giành chiến thắng. Dần dần chiến lược mang ý nghĩa “bức tranh lớn”.

Trong những năm 1920, tại Đại học Harvard, người ta đã phát triển Mô hình Chính sách Harvard, để xác định các mục tiêu và thể chế, thành sợi chỉ xuyên suốt hoạt động của các công ty. Chiến lược thống nhất nguồn lực, quản trị thông tin, trách nhiệm xã hội, cấu trúc tổ chức và các giải pháp cải thiện hiệu quả kinh tế.

Cuối những năm 1950, chiến lược chuyển tử chính sách tổ chức sang quản trị rủi ro, tăng trưởng và thị trường. Tới những năm 1960, lập kế hoạch chiến lược là công cụ quản lý chuẩn mực cho mọi công ty lớn.

Cho đến giữa những năm 1980, lập kế hoạch chiến lược chủ yếu là ở doanh nghiệp, nguyên Bộ trưởng Quốc Phòng Hoa Kì là Mc Namara, vốn là Tổng giám đốc tập đoàn Ford và sau này là Tổng thống Carter thúc đẩy cải cách hành chính và hướng Chinh phủ Liên bang vào các dịch vụ công, đưa các phương pháp quản lý ngân sách theo hiệu quả giống như trong doanh nghiệp.

Chiến lược công nghệ thông tin ra đời vào cuối những năm 1990, khi các hệ thống thông tin tại các công ty lớn được số hóa để ứng dụng công nghệ thông tin. Phương pháp luận Kiến trúc cơ quan xí nghiệp được hình thành vào những năm 2000 để trợ giúp cho chiến lược công nghệ thông tin trong khu vực công và các doanh nghiệp.

Chiến lược công nghệ thông tin có thể áp dụng cho nhiều tổ chức khác nhau vd. chiến lược công nghệ thông tin quốc gia, vd. chiến lược công nghệ thông tin cơ quan nhà nước, vd. chiến lược công nghệ thông tin cho các tập đoàn và công ty lớn, vd. chiến lược công nghệ thông tin của doanh nghiệp nhỏ và vừa, vd. chiến lược công nghệ thông tin của các doanh nghiệp công nghệ thông tin.

Chiến lược công nghệ thông tin trong quá trình chuyển đổi số và trong cách mạng công nghiệp 4. 0 sẽ có những thay đổi phù hợp với mục tiêu, ý nghĩa và sử dụng các công nghệ mới như Trí tuệ nhân tạo, Internet vạn vật, Ứng dụng thông minh, Người máy, In 3D, … (xt. Quá trình chuyển đổi số; Cách mạng công nghiệp 4. 0; Trí tuệ nhân tạo; Internet vạn vật; Ứng dụng thông minh; Người máy; In 3D).

Ngày 6/5/2005, Thủ tướng Chính phủ đã ban hành Quyết định số 246/2005/QĐ-TTg phê duyệt Chiến lược phát triển công nghệ thông tin&TT Việt Nam đến năm 2010 và định hướng đến năm 2020. Sau năm 2010, không có chiến lược công nghệ thông tin ở mức quốc gia.

Năm 2015, Bộ Thông tin và Truyền thông yêu cầu các Bộ, Ngành, Địa phương xây dựng Kiến trúc tổng thể về công nghệ thông tin để làm cơ sở hướng dẫn việc lập kế hoạch và phân bổ kinh phí ứng dụng công nghệ thông tin.

Những năm 1980, chiến lược công nghệ thông tin đã phổ biến ở nhiều quốc gia, công ty đa quốc gia và các tổ chức lớn trên thế giới. Vào những năm 1990, các nghiên cứu điều tra đã chỉ ra rằng 75% các dự án ứng dụng công nghệ thông tin thất bại một phần hoặc thất bại hoàn toàn, theo khuyến cáo của nhiều tổ chức trên thế giới đặc biệt là chính phủ Hoa Kì, các tổ chức bắt đầu sử dụng Kiến trúc cơ quan xí nghiệp, Kiến trúc SOA và Kiến trúc Chính phủ Điện tử để thay thế chiến lược công nghệ thông tin thực hiện việc ứng dụng công nghệ thông tin. Sự cần thiết của chiến lược công nghệ thông tin là vấn để cần tranh cãi.

==Tài liệu tham khảo==

* J. C. Henderson và N. Venkatraman, Strategic alignment: Leveraging information technology for transforming organizations. -IBM research (2013).

* P. A. Strassmann, The Business Value of Computers: An Executive's Guide. -The Information Economic Press (1990) ISBN 0-9620413-2-7.

* Quyết định của Thủ tướng số 246/2005/QĐ-TTg ngày 6/5/2005 về việc phê duyệt Chiến lược phát triển Công nghệ thông tin và Truyền thông đến năm 2010 và định hướng tới năm 2020.

* S. W. Floyd và C. Wolf, (2010). Technology Strategy. -Encyclopedia of technology and innovation management, V. K. Narayanan và G. C. O'Connor, G. C. (biên tập). Wiley, pp. 125–128. ISBN 1-4051-6049-7.

Cảnh quan Tây Nguyên

2021-01-21T02:16:01Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Tây Nguyên''' là một vùng kinh tế trọng điểm của đất nước, một khu vực lãnh thổ có vị trí địa lý, vị thế địa chính trị, an ninh quốc phòng quan trọng, một địa bàn chiến lược trong hành lang kinh tế Đông - Tây nối liền Việt Nam - Lào - Cămpuchia và Thái Lan, nơi có tiềm năng hết sức lớn cho phát triển, đặc biệt là sự phát triển của một số ngành sản xuất, kinh tế có thế mạnh và hiệu quả cao như nông - lâm - công nghiệp và du lịch - dịch vụ. Việc nghiên cứu cảnh quan - một hướng nghiên cứu mang tính tổng hợp cao về tiềm năng tự nhiên, tài nguyên lãnh thổ, thành lập bản đồ cảnh quan, phân tích đánh giá làm sáng tỏ đặc điểm đặc trưng của các đơn vị cảnh quan Tây Nguyên và trên cơ sở đó luận giải về đặc điểm phân hóa đa dạng, phức tạp nhưng có quy luật theo không gian và thời gian, xác định các chức năng cả tự nhiên và xã hội của từng đơn vị cảnh quan sẽ là cơ sở khoa học để tiến hành đánh giá nhằm xác định và khẳng định được những thế mạnh mang tính tiềm năng hết sức lớn của vùng cho phát triển KT-XH nói chung cũng như cho phát triển một số ngành sản xuất, kinh tế rất đặc biệt, đặc thù và để đề xuất định hướng và các giải pháp sử dụng chúng một cách phù hợp, hiệu quả.

Áp dụng các nguyên tắc chung trong phân loại và xây dựng bản đồ cảnh quan từ các công trình kinh điển của các nhà cảnh quan trên Thế giới và ở Việt Nam, áp dụng liên hợp các phương pháp chuyên ngành và tổng hợp của địa lý học, cảnh quan học đã đưa ra được trên lãnh thổ vùng Tây Nguyên một hệ thống phân loại cảnh quan gồm 7 cấp: hệ - phục hệ - lớp - phụ lớp - kiểu - phụ kiểu và nhóm loại cảnh quan cũng như xây dựng được bản đồ cảnh quan vùng Tây Nguyên với 01 hệ, 01 phụ hệ, 04 lớp, 08 phụ lớp, 08 kiểu, 14 phụ kiểu và ...loại cảnh quan với các đặc điểm đặc trưng nổi bật là:

Về đặc điểm cấu trúc cảnh quan vùng Tây Nguyên, có thể thấy rõ tính phân hóa đa dạng, phức tạp nhưng có quy luật theo không gian và thời gian qua đặc điểm cấu trúc đứng và cấu trúc ngang trên lãnh thổ.

Về bản chất, đặc điểm cấu trúc đứng của các cảnh quan được xác định bởi sự tham gia của các thành phần tự nhiên như địa chất, địa hình, khí hậu, thủy văn, lớp phủ thực vật và lớp phủ thổ nhưỡng vào quá trình phát sinh và phát triển của cảnh quan. Trong tự nhiên, mỗi một đơn vị cảnh quan được cấu tạo bởi các hợp phần và mối quan hệ giữa các khối vật chất cấu thành nên cảnh quan đó. Cấu trúc đứng của cảnh quan thể hiện sự sắp xếp của các nhân tố thành tạo cảnh quan, mối quan hệ tác động qua lại giữa các hợp phần của cảnh quan tạo nên những đặc trưng riêng cho từng cảnh quan khu vực. Theo đó, trong cấu trúc đứng của cảnh quan Tây Nguyên, các yếu tố thành phần thành tạo cảnh quan có những đặc điểm khá đặc thù so với các khu vực lãnh thổ khác, đó là:

Về cấu tạo địa chất, vùng Tây Nguyên có thể thấy sự có mặt khá đầy đủ các thành tạo cơ bản như trầm tích, phun trào, xâm nhập, biến chất có tuổi từ Arkei đến Đệ tứ. Các thành tạo Arkei, Proterozoi chỉ lộ ra ở Gia Lai, Kontum và Đak Lak, còn ở Lâm Đồng chủ yếu gặp các thành tạo Mesozoi và Kainozoi.

Địa hình Tây Nguyên khá đa dạng, ngoài những núi cao thung lũng sâu hiểm trở còn có những cao nguyên, bình sơn nguyên lớn, những miền trũng và đồng bằng khá rộng, là những thung lũng giữa núi và những dải bồi tích các sông lớn. Địa hình núi cao, bao bọc cả 3 mặt bắc, đông và nam của vùng. Phía bắc được khống chế bởi dãy núi Ngọc Linh là dãy núi đồ sộ nhất ở bắc Tây Nguyên, chạy dài theo hướng tây bắc - đông nam với chiều dài đến gần 200 km. Phía đông được án ngữ bởi những dãy núi nối tiếp nhau thành một bức tường ngăn cách Tây Nguyên với dải đồng bằng ven biển duyên hải Nam Trung bộ, trong đó có những dãy núi chính như dãy An Khê, dãy Chư Đju, dãy Vọng Phu, dãy Tây Khánh Hòa, dãy Chư Yang Sin, dãy Bi Đúp. Phía Nam, được bao bọc bới những dãy của Trường Sơn Nam với những dãy Brai An, Bơ Nam So Rlung.

Các cao nguyên và bình sơn nguyên của Tây Nguyên: phân bố ở những độ cao khác nhau từ 300 - 400 m đến trên 1.500 - 1.700 m, phân bố rộng khắp từ bắc vào nam như cao nguyên Kon Plong nằm giữa dãy An Khê và dãy Ngọc Linh với độ cao trung bình 1.100 - 1.300 m; cao nguyên Kon Hà Nừng có bề mặt phân cắt mạnh, cao 700 - 1.000 m, thấp dần về phía nam còn 500 - 600 m; cao nguyên Pleiku có dạng vòm, địa hình tương đối bằng phẳng, độ cao từ 750 - 800 m, nghiêng dần về phía nam; cao nguyên Buôn Mê Thuột có bề mặt địa hình khá bằng phẳng, độ cao ở phía bắc 800 m, giảm mạnh về phía nam con 400 m và về phía tây còn 300 m; cao nguyên M’Đrắk có bề mặt lượn sóng cao trung bình 500 m, thỉnh thoảng còn sót những đỉnh cao 1.000 m; cao nguyên Di Linh có dạng một thung lũng kéo dài theo phương đông - tây, cao từ 800 - 1.000 m; cao nguyên Đà Lạt là bề mặt san bằng cổ, ở phía bắc cao 1.600 m, giảm dần ở phía nam còn 1.400 m, có các đỉnh núi sót cao trên 2.000 m.

Các miền trũng và đồng bằng: từ bắc vào nam gồm trũng núi Kon Tum chạy dọc theo sông Pô Kô khoảng 45 km bề mặt khá bằng phẳng; trũng An Khê là kiểu thung lũng giữa núi bị san bằng và mở rộng (15 km) cao 400 - 500 m; bình sơn nguyên Ea Súp là một đồng bằng bóc mòn có những chỏm núi sót, khá bằng phẳng, độ cao 140 - 300 m, thoải dần về phía tây; vùng trũng Cheo Reo - Phú Túc nằm trùng với địa hào sông Ba, bề mặt khá bằng phẳng, chỉ có một ít đồi sót; trũng Krông Pắk - Lăk vốn là một thung lũng bóc mòn với nhiều núi sót đã biến thành một cánh đồng tích tụ với đầm lầy và hồ Lăk. Nhìn chung địa hình vùng có sự chia cắt và phân bậc mạnh nhưng nhìn chung phần cao nhất chiếm ưu thế ở phía bắc và phía đông, nghiêng dần về phía nam và phía tây. Điều này ảnh hưởng rất lớn đến điều kiện thủy văn khu vực, đặc biệt chế độ dòng chảy và khả năng giữ nước.

Cùng với yếu tố địa chất, địa hình thì khí hậu cũng là yếu tố thành tạo cảnh quan của vùng. Trên nền chung của khí hậu nhiệt đới gió mùa cận xích đạo của miền khí hậu phía nam, khí hậu Tây Nguyên nổi lên một số yếu tố riêng biệt, quyết định bởi độ cao địa hình và tác dụng chắn gió của dãy Trường Sơn. Ở đây hình thành một kiểu khí hậu đặc trưng được gọi là khá hậu nhiệt đới gió mùa cao nguyên với những nét tiêu biểu như chế độ nhiệt có xu thế hạ thấp có tính quy luật nhiệt độ không khí theo độ cao địa hình. Khu vực có độ cao địa hình dưới 500 m như ở thung lũng sông Ba, Srêpôk, Krông Pắk, Sa Thầy... nhiệt độ trung bình trên 24°C, ở độ cao 500 - 800 m đạt 21 - 23°C, 800 - 1.000 m đạt 19 - 21°C, riêng các vùng cao trên 1.550 m (Đà Lạt...) đạt dưới 19°C. Chế độ mưa rất không đồng đều theo không gian và thời gian, mùa mưa lượng mưa trung bình năm đạt 2.000 - 2.400 mm như ở Kon Tum, Gia Lai, Di Linh, đặc biệt tại Bảo Lộc (2.867 mm), lượng mưa 1.200 - 1.800 mm ở Đăk Lăk, Cheo Reo - Phú Túc, mùa khô tại bắc và trung Tây Nguyên chỉ đạt 1 - 2 mm/tháng còn phía nam lượng mưa đạt 10-50 mm/tháng.

Chế độ thuỷ văn của các sông, suối Tây Nguyên chịu ảnh hưởng trực tiếp của chế độ mưa hàng năm. Phần lớn sông suối của vùng là phần thượng lưu của những hệ thống sông chính chảy xuống các đồng bằng ven biển Nam Trung Bộ, Đông Nam Bộ và sang Campuchia. Các sông suối ở Tây Nguyên tập trung trong ba hệ thống chính: hệ thống sông Ba, hệ thống sông Mê Kông (gồm hai hệ thống nhánh là Se San và Srêpốk), hệ thống sông Đồng Nai, địa phận tỉnh Lâm Đồng. Ở Tây Nguyên còn có hàng loạt hồ tự nhiên và nhân tạo có khả năng tích trữ hàng tỷ m3 nước, có tác dụng điều tiết dòng chảy, phục vụ các yêu cầu phát triển thủy lợi, thủy điện, cung cấp nước, cải thiện môi trường. Mùa khô nước các sông cạn kiệt gây khó khăn cho việc cung cấp nước cho sản xuất nông nghiệp và giao thông trên các sông lớn.

Cấu trúc lớp phủ thổ nhưỡng của vùng khá phong phú và đa dạng do chịu tác động tương hỗ giữa nhiều nhân tố tự nhiên khác cũng rất phức tạp, hình thành nên 9 nhóm đất chính gồm: Đất phù sa, đất lầy và than bùn, đất xám, đất đỏ và xám nâu vùng bán khô hạn, đất đen, đất đỏ vàng, đất mùn vàng đỏ trên núi, đất thung lũng, đất xói mòn trơ xỏi đá. Trong các nhóm kể trên phổ biến nhất là đất đỏ vàng và đất mùn vàng đỏ trên núi. Đất đỏ vàng (đất feralit hay “đất đỏ”) là loại đất tiêu biểu của vùng có diện phân bố rộng (khoảng 66% tổng diện tích đất tự nhiên toàn vùng), là sản phẩm phong hóa chủ yếu của bazan, thường phân bố ở độ cao dưới 1.000 m, tập trung ở các cao nguyên Pleiku, Buôn Ma Thuột, Di Linh, Đặk Nông, ngoài ra còn gặp lẻ tẻ ở Kon Hà Nừng, Kon Plong. Nhờ có độ phì nhiêu lớn, đất đỏ vàng đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển nông nghiệp ở Tây Nguyên, đây là địa bàn canh tác chủ yếu các loại cây công nghiệp (cà phê, cao su, chè...) và cây thực phẩm. Đất đỏ vàng phát triển trên các đá macma axit chiếm diện tích rất rộng (trên 38% diện tích tự nhiên của Tây Nguyên) nhưng do phân bố trên các vùng núi cao, địa hình dốc, bị xói mòn mạnh, độ phì nhiêu thấp nên loại đất này chỉ đóng vai trò thứ yếu trong nông nghiệp. Các loại đất khác chỉ phân bố trên từng vùng hẹp nên ít có ý nghĩa đối với nông nghiệp.

Đối với lớp phủ thực vật, cùng với điều kiện của các nhân tố thành tạo kể trên, với mỗi loại đất có thể có một hay một số kiểu thảm thực vật. Do tác động của quá trình nhân tác trong một thời gian dài, thảm thực vật nguyên sinh - kiểu rừng kín thường xanh vốn rất phong phú của vùng đã dần được thay thế bằng các thảm thực vật nhân tác, trảng cỏ và cây bụi thứ sinh.

Từ đặc điểm mang tính đặc thù của các nhân tố thành tạo cảnh quan như đã nêu ở trên, có thể khẳng định tính phong phú, đa dạng trong cấu trúc đứng của cảnh quan vùng Tây Nguyên. Tuy vậy đặc điểm nổi bật thấy rõ là cấu trúc đứng mang tính điển hình, chiếm ưu thế của cảnh quan ở vùng là các cảnh quan cao nguyên. Đặc điểm nổi bật này cùng với những đặc điểm riêng trong cấu trúc ngang của cảnh quan sẽ là những ưu thế vượt trội, đặc biệt của vùng cho các mục tiêu ứng dụng thực tiễn.

Về đặc điểm cấu trúc ngang cảnh quan Tây Nguyên, thể hiện qua các đặc điểm phân hoá theo không gian lãnh thổ và mối liên hệ chặt chẽ giữa các đơn vị được phân chia ở cấp cao (lớp và phụ lớp cảnh quan) với các cấp thấp hơn (kiểu, phụ kiểu cảnh quan và loại cảnh quan). Sự tương tác giữa điều kiện sinh khí hậu đặc trưng của từng khu vực với đặc điểm riêng của các dạng địa hình đã tạo nên những nét đặc thù, sự phân hoá đặc trưng, được thể hiện thông qua hệ thống phân loại cùng với những đặc điểm cảnh quan khu vực như sau:

Hệ cảnh quan: toàn bộ vùng Tây Nguyên nằm trong hệ cảnh quan nhiệt đới gió mùa, không chịu ảnh hưởng của gió mùa Đông Bắc, có sự phân hóa mùa khô. Chế độ nhiệt có xu thế hạ thấp một cách có quy luật nhiệt độ không khí theo độ cao địa hình, vùng thấp dưới 500 m (thung lũng sông Ba, Krông Pắk, Sa Thầy...) nhiệt độ trung bình trên 24°C, lên tới độ cao trên 1.550 m nhiệt độ chỉ còn dưới 19°C. Tuy nhiên, biên độ dao động ngày của nhiệt độ không khí Tây Nguyên lớn nhất so với cả nước, trung bình từ 9 - 11°C, các tháng II và III có biên độ dao động ngày lớn nhất, các tháng VII và VIII nhỏ nhất nên có ảnh hưởng đến sinh hoạt và sản xuất.

Lớp cảnh quan. là cấp phân dị có đặc điểm hình thái kiến tạo rõ nét, dựa trên đặc trưng hình thái phát sinh của đại địa hình lãnh thổ, được đặc trưng bởi tính đồng nhất tương đối của hai quá trình lớn: quá trình bóc mòn và tích tụ, do các khối địa hình khác nhau về vị trí phân bố và độ cao chi phối. Sự phân dị địa hình của Tây Nguyên đã tạo ra ba lớp cảnh quan là: lớp cảnh quan núi, lớp cảnh quan cao nguyên, lớp cảnh quan đồi và trũng giữa núi. Trong đó, lớp cảnh quan núi chiếm 53% diện tích tự nhiên toàn vùng, tập trung bao bọc 3 mặt của Tây Nguyên: phía bắc của tỉnh Kon Tum; phía đông của tỉnh Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông; phía nam của tỉnh Lâm Đồng. Lớp cảnh quan cao nguyên phân bố tại trên địa phận các tỉnh Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông và Lâm Đồng. Phân bố ở những độ cao khác nhau, như cao nguyên Kon Plông độ cao trung bình 1.100 - 1.300 m (nằm giữa dãy An Khê và Ngọc Linh ở phía bắc của vùng); cao nguyên Kon Hà Nừng cao 700 - 1.000 m; cao nguyên Pleiku dạng vòm, địa hình tương đối bằng phẳng, độ cao 400 - 800 m; cao nguyên Buôn Mê Thuột với bề mặt địa hình khá bằng phẳng, độ cao 400 - 800 m; cao nguyên M’Đrăk có bề mặt lượn sóng độ cao trung bình 500 m; cao nguyên Di Linh - dạng thung lũng kéo dài, cao 800 - 1.000 m; cao nguyên Đắk Nông là khối nâng dạng vòm, cao 800 - 1.000 m; cao nguyên Đà Lạt là bề mặt san bằng cổ, cao 1.400 -1.600 m. Lớp cảnh quan đồi và trũng giữa núi phân bố trên địa phận các tỉnh Kon Tum, Đắk Lắk, Lâm Đồng. Điển hình là trũng giữa núi Kon Tum chạy dọc theo sông Pô Kô, bề mặt khá bằng phẳng; trũng An Khê (Gia Lai) là kiểu thung lũng giữa núi bị san bằng và mở rộng cao 400 - 500 m; bình nguyên Ea Súp có những chỏm núi sót, khá bằng phẳng, độ cao 140 - 300m, thoải dần về phía Tây; vùng trũng Cheo Reo - Phú Túc (Gia Lai) nằm trùng với địa hào sông Ba có bề mặt khá bằng phẳng và có một vài đồi sót; trũng Krông Pắk - Lắk là một thung lũng bóc mòn với nhiều núi sót đã biến thành một cánh đồng tích tụ với đầm lầy và hồ Lắk.

Trong phạm vi các lớp cảnh quan, ở Tây Nguyên còn chia ra các phụ lớp cảnh quan theo hình thái địa hình và tác động của quy luật đai cao.

Trong lớp cảnh quan núi có 3 phụ lớp gồm: Phụ lớp cảnh quan núi cao: với độ cao > 1.800 m tại khu vực Chư Păh (Gia Lai) và Lắk - Krông Bông (Đắk Lắk). Thổ nhưỡng đặc trưng là đất mùn vàng nhạt trên núi cao (A) và đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa); Phụ lớp cảnh quan núi trung bình: với độ cao 1.200 - 1.800 m tại vùng núi Ngọc Linh, Kon Tum, vùng cao nguyên Kon Plong, vùng núi thấp Chutrian, Gia Lai, vùng núi trung bình Chư Yang Sin, Lâm Đồng, vùng núi thấp Nam Jerbi, Đắk Nông, vùng núi thấp Bon Om Po Tê, Đắk Nông. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất mùn đỏ vàng trên đá sét và biến chất (Hs), đất mùn vàng đỏ trên đá macma axit (Ha), đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq); Phụ lớp cảnh quan núi thấp: với độ cao 600 - 1.200 m tại vùng núi thấp Ngọc Linh, vùng núi thấp Sa Thầy tỉnh Kon Tum, vùng núi thấp Chutrian, vùng núi thấp Chư Đôn - Chư Tion phía Nam Gia Lai, vùng núi thấp Krông Năng, vùng sơn nguyên M’Đrắk, vùng núi trung bình Chư Yang Sin phía Nam Đắk Lắk, vùng núi trung bình Chư Yang Sin phía Tây Lâm Đồng, vùng núi thấp Bon Om Po Tê, Đắk Nông. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq), đất xám trên đá macma axit (Xa) và đất phù sa được bồi chua (Pbc).

Lớp cảnh quan cao nguyên có 2 phụ lớp: Phụ lớp cảnh quan cao nguyên cao: với độ cao 600 - 800 m phân bố tại vùng cao nguyên Kon Plông, vùng núi sót bóc mòn trên đá xâm nhập - cao nguyên Pleiku, vùng cao nguyên Buôn Ma Thuột, vùng bazan cổ - cao nguyên Đắk Nông, vùng bình sơn Đà Lạt. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất mùn đỏ vàng trên đá sét và đá biến chất (Hs), đất mùn vàng đỏ trên đá macma axit (Ha), đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất dốc tụ (D), đất nâu thẫm trên sản phẩm phong hóa của đá bọt và đá bazan (Ru), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa được bồi chua (Pbc) và không được bồi chua (Pc); Phụ lớp cảnh quan cao nguyên thấp: với độ cao 1.200 - 1.800 m tại vùng cao nguyên Buôn Ma Thuột, vùng sơn nguyên M’đrăk, vùng trũng Krông Pach – Lắk tỉnh Đắk Lắk, vùng bán bình nguyên Cư Jút, vùng cao nguyên Đắk Nông, vùng bán bình nguyên Krông Nô - Đắk Nông, vùng cao nguyên Bắc Cát Tiên - Đạ Tẻh tỉnh Lâm Đồng. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq), đất nâu vàng trên phù sa cổ (Fp), đất xói mòn trơ sỏi đá (E), đất đen trên sản phẩm bồi tụ (Rk), đất nâu thẫm trên sản phẩm phong hóa của đá bọt và đá bazan (Ru), đất xám trên phù sa cổ (X), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa được bồi chua (Pbc) và không được bồi chua (Pc), đất phù sa glây (Pg)

Trong lớp cảnh quan đồi và trũng giữa núi chia ra 3 phụ lớp gồm: Phụ lớp cảnh quan đồi cao: với độ cao 200 - 500 m tại vùng đồi cao Cát Tiên - Đạ Tẻh, Lâm Đồng. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất nâu đỏ trên đá macma bazơ và trung tính (Fk), đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq), đất dốc tụ (D), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa được bồi chua (Pbc) và không được bồi chua (Pc), đất phù sa glay (Pg); Phụ lớp cảnh quan thung lũng giữa núi: với độ cao 200 - 300 m tại vùng trũng giữa núi Sa Thầy - Kon Tum, vùng trũng Krông Pắk - Lắk thuộc Đắk Lắk. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất dốc tụ (D), đất nâu thẫm trên sản phẩm phong hóa của đá bọt và đá bazan (Ru), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa glay (Pg), đất phù sa có tầng loang lổ đỏ vàng (Pf); Phụ lớp cảnh quan bán bình nguyên: với độ cao 200 - 300 m tại vùng bán bình nguyên Ea Súp ở Đắk Lắk. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa glay (Pg), đất phù sa có tầng loang lổ đỏ vàng (Pf).

Với đặc điểm sinh khí hậu, trong hệ thống phân loại, vùng Tây Nguyên được chia ra hai kiểu cảnh quan chính đó là kiểu cảnh quan rừng kín thường xanh nhiệt đới ẩm mưa mùa và kiểu cảnh quan rừng kín thường xanh nhiệt đới nửa rụng lá. 2 kiểu cảnh quan này được phân bố trong tất cả các loại cảnh quan của vùng Tây Nguyên với 308 loại cảnh quan, trong đó: HST rừng kín hỗn giao lá rộng, lá kim với 47 đơn vị cảnh quan được phân bố trên 7 phụ lớp cảnh quan (trừ phụ lớp bán bình nguyên); HST rừng lá kim với 19 đơn vị cảnh quan được phân bố trên 4 phụ lớp cảnh quan (trừ phụ lớp cảnh quan núi cao, cao nguyên thấp, đồi cao, bán bình nguyên); HST rừng tre nứa với đơn vị cảnh quan được phân bố trên 6 phụ lớp cảnh quan (trừ phụ lớp núi cao, bán bình nguyên); HST rừng kín nửa rụng lá với 18 đơn vị cảnh quan được phân bố trên 3 phụ lớp cảnh quan (trừ phụ lớp cảnh quan núi cao, núi trung bình, cao nguyên cao, đồi cao, thung lũng giữa núi); HST rừng rụng lá thứ sinh với 15 đơn vị cảnh quan được phân bố ở 3 phụ lớp: phụ lớp núi thấp 4 đơn vị, phụ lớp cao nguyên cao 5 và phụ lớp cao nguyên thấp 6 đơn vị; HST rừng trồng với 21 đơn vị cảnh quan phân bố trên 4 phụ lớp: phụ lớp cảnh quan núi trung bình với 3 đơn vị, phụ lớp cảnh quan núi thấp 7 đơn vị cảnh quan, phụ lớp cảnh quan cao nguyên cao với 5 đơn vị và phụ lớp cảnh quan cao nguyên thấp có 6 đơn vị cảnh quan; HST cây bụi trảng cỏ với 48 đơn vị cảnh quan phân bố trên 7 phụ lớp cảnh quan: phụ lớp núi thấp với 8 đơn vị, phụ lớp cảnh quan cao nguyên cao 9 đơn vị, phụ lớp cao nguyên thấp 13 đơn vị, phụ lớp cảnh quan đồi cao 4 đơn vị, phụ lớp cảnh quan thung lũng giữa núi 4 đơn vị và phụ lớp cảnh quan bán bình nguyên với 2 đơn vị; HST cây công nghiệp với 48 đơn vị cảnh quan phân bố trên 5 phụ lớp cảnh quan : phụ lớp núi thấp 6 đơn vị, phụ lớp cao nguyên cao 11 đơn vị, phụ lớp cao nguyên thấp 19 đơn vị, phụ lớp thung lũng giữa núi 6 đơn vị, phụ lớp bán bình nguyên với 6 đơn vị; HST cây nông nghiệp với 62 đơn vị được phân bố trên 7 phụ lớp cảnh quan. Trong đó, ở phụ lớp núi trung bình 2 đơn vị, phụ lớp núi thấp 9 đơn vị, phụ lớp cao nguyên cao 11 đơn vị, phụ lớp cao nguyên thấp 21 đơn vị, phụ lớp đồi cao 7 đơn vị, phụ lớp thung lũng giữa núi 7 đơn vị, phụ lớp bán bình nguyên với 5 đơn vị cảnh quan.

Loại cảnh quan là đơn vị cơ sở của hệ thống phân vị cảnh quan của khu vực nghiên cứu. Sự hình thành của các dạng cảnh quan liên quan chặt chẽ với quy luật tự nhiên và quy luật mang tính địa phương. Nó được thể hiện qua mối tương tác giữa các đặc điểm hình thái địa hình, đặc điểm dòng chảy, các loại đất, các nhóm thảm thực vật.

- Lớp cảnh quan núi có 90 đơn vị cảnh quan. Trong đó, phụ lớp cảnh quan núi cao có 2 đơn vị cảnh quan, 31 đơn vị cảnh quan ở phụ lớp cảnh quan núi trung bình và 57 đơn vị ở phụ lớp cảnh quan núi thấp.

- Lớp cảnh quan cao nguyên có 157 đơn vị cảnh quan. Trong đó, phụ lớp cảnh quan cao nguyên cao có 63 đơn vị cảnh quan, phụ lớp cảnh quan cao nguyên thấp với 94 đơn vị cảnh quan.

- Lớp cảnh quan đồi và trũng giữa núi có 61 đơn vị cảnh quan : phụ lớp đồi cao 18 đơn vị, phụ lớp thung lũng giữa núi 25 đơn vị cảnh quan và phụ lớp bán bình nguyên 18 đơn vị cảnh quan.

Về đặc điểm động lực cảnh quan Tây Nguyên, có thể thấy trong quá trình hình thành, phát triển và biến đổi, cảnh quan luôn chịu ảnh hưởng của nhiều các tác động động lực, đã tạo nên nhịp thở của môi trường và từ đó cũng tạo nên nhịp điệu sống của khối vật chất sống trong cảnh quan. Về bản chất, vùng Tây Nguyên nằm trên nền chung của khí hậu nhiệt đới gió mùa cận xích đạo của miền khí hậu phía Nam, có kiểu khí hậu đặc trưng là khí hậu nhiệt đới gió mùa cao nguyên. Hàng năm tổng bức xạ mặt trời ở Tây Nguyên đạt 235 - 240 kcal/cm2/năm, ít biến đổi trong năm. Chính nguồn năng lượng này là động lực chính cho các quá trình phát sinh và phát triển các cảnh quan của Tây Nguyên. Quá trình sử dụng và chuyển hóa các nguồn năng lượng trong các cảnh quan là quá trình có tính chất tổng hợp các chuyển hóa năng lượng đó ở các khối vật chất khác nhau cấu thành nên chúng. Năng lượng bức xạ Mặt trời cung cấp năng lượng cho quá trình phong hóa, đồng thời nó còn tham gia vào các quá trình hình thành đất, vào thành phần nước,… Mặt khác, năng lượng bức xạ Mặt trời còn tham gia vào phản ứng hóa học trong sự chuyển hóa các chất trong tự nhiên, là động lực thúc đẩy các quá trình ngoại lực di chuyển, vận chuyển các vật chất trong khối các vật chất sống. Đối với giới sinh vật, năng lượng bức xạ Mặt trời mang tính chất sống còn. Qua quá trình quang hợp, cây xanh hấp thụ và cải biến trực tiếp năng lượng này để tạo ra sinh khối xanh, đó là nguồn cung cấp năng lượng cho chuỗi dinh dưỡng sinh vật. Do hàng năm nhận được một lượng bức xạ không nhỏ, sinh vật có điều kiện sinh trưởng và phát triển, các quá trình chuyển hóa vật chất và năng lượng xảy ra với tốc độ và cường độ cao vào những tháng mùa mưa.

Cơ chế hoạt động của gió mùa là một động lực quan trọng trong quá trình biến đổi cảnh quan Tây Nguyên. Sự luân phiên tác động của hai cơ chế gió mùa (Tây Nam và Đông Bắc) tạo nên sự phân hóa sâu sắc giữa hai mùa, tạo nên tính nhịp điệu mùa của cảnh quan. Vào mùa mưa, lượng mưa đạt 75% lượng mưa của cả năm, độ ẩm lớn. Điều kiện gió mùa tạo nên nhịp thở của quá trình phong hóa, tạo ra hai pha tác động khác nhau vào hai mùa trong năm. Sự tác động của nhịp điệu mùa tạo điều kiện cho quá trình hình thành đất đỏ vàng chiếm diện tích chủ yếu ở khu vực núi và cao nguyên của Tây Nguyên.

Nhịp điệu mùa còn được thể hiện rõ nét trong việc hình thành và hoạt động của mạng lưới thủy văn và chế độ dòng chảy. Do lượng mưa tập trung chủ yếu vào mùa mưa nên quá trình vận chuyển, chuyển hóa vật chất diễn ra mạnh mẽ hơn vào mùa khô. Sự tác động của nhịp điệu mùa cũng ảnh hưởng rất lớn đối với quá trình sinh trưởng và phát triển cũng như năng suất sinh học và sinh khối của quần thể sinh vật.

Sự phân hóa địa hình của Tây Nguyên cũng có vai trò nhất định trong việc phân phối lại năng lượng và tác động đến quá trình chuyển hóa vật chất, ảnh hưởng đến việc hình thành, phát triển và biến đổi các cảnh quan, tạo nên sự khác biệt trong phân bố các loại đất và các loại sinh vật. Ngoài ra, các hoạt động kinh tế khai thác lãnh thổ của con người cũng có vai trò quan trọng trong việc điều chỉnh hướng phát triển tự nhiên nhằm tạo ra khối lượng sinh khối cao nhất và cải thiện môi trường, tác động đến sự biến đổi của các cảnh quan tự nhiên.

Như vậy, có thể khẳng định, các đặc tính động lực và độ bền vững của các cảnh quan Tây Nguyên là nguyên nhân và hệ quả của mối tương quan chuyển hóa vật chất và năng lượng giữa các phần cấu trúc cảnh quan của vùng, là cơ sở và có ý nghĩa rất lớn trong đề xuất định hướng sử dụng hợp lý lãnh thổ phù hợp với tiềm năng của cảnh quan khu vực nghiên cứu.

Về đặc điểm chức năng cảnh quan vùng Tây Nguyên, được xác định là khá đặc biệt và cùng có tiềm năng rất lớn, bao gồm: Chức năng bảo tồn, phòng hộ và bảo vệ môi trường: Các cảnh quan cần duy trì chức năng phòng hộ, bảo vệ môi trường là các cảnh quan hình thành trên địa hình có độ dốc lớn, bao gồm các nhóm cảnh quan phân bố trên các vùng núi - cao nguyên - đồi và thung lũng giữa núi với hệ sinh thái rừng kín hỗn giao lá rộng lá kim, rừng lá kim, rừng tre nứa, rừng kín nửa rụng lá, rừng rụng lá thứ sinh. Các cảnh quan này hiện đang đảm nhiệm chức năng chính của mình là bảo tồn, phòng hộ và bảo vệ môi trường. Thành phần rất phong phú về chủng loại, giàu về khối lượng và một số cây bản địa thuộc loại quý như thông nước (Glyptostrobas), thông 5 lá (Pinus dalatensis), cây Quao xẻ tua, gạo lông đen...; Chức năng phát triển kinh tế sinh thái lâm nghiệp: Nhóm cảnh quan này phân bố trên các địa hình núi và cao nguyên với thành phần loài bao gồm thông, keo bạch, đàn và một số các loại cây khác; Chức năng phát triển kinh tế sinh thái nông nghiệp: duy trì chức năng sản xuất, phát triển kinh tế sinh thái nông nghiệp hình thành trên địa hình t¬ương đối bằng phẳng (cao nguyên và thung lũng giữa núi), bao gồm các loại cảnh quan cây công nghiệp (cà phê, cao su, hồ tiêu, điều, chè,…), cây nông nghiệp (lúa, ngô lai, bông vải, rau, hoa) Và cuối cùng là chức năng nghỉ dưỡng và tham quan du lịch: Nhóm cảnh quan này phân bố chủ yếu trên các địa hình núi và cao nguyên. Ngoài chức năng nghỉ dưỡng và tham quan du lịch, các dạng cảnh quan núi và cao nguyên còn có chức năng cung cấp sản phẩm cho phát triển lâm nghiệp.

==Tài liệu tham khảo==

* G. Ixatsenko. Cơ sở cảnh quan học và phân vùng Địa lý Tự nhiên. NXB Khoa học. Hà Nội, 1969

* Phạm Hoàng Hải, Nguyễn Thượng Hùng, Nguyễn Ngọc Khánh. Cơ sở cảnh quan học và việc sử dụng hợp lý tài nguyên và bảo vệ môi trường lãnh thổ Việt Nam. Nxb. Giáo dục. Hà Nội, 1976

* Vũ Tự Lập. Cảnh quan địa lý miền Bắc Việt Nam. NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1976

* Lê Bá Thảo. “Thiên nhiên Việt Nam”. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1977

* Vũ Tự Lập. Địa lý tự nhiên Việt Nam. 3 tập I, II, III. NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội, 1978

* Viện Địa chất khoáng sản, 1980. Kiến tạo Tây Nguyên trong chương trình điều tra tổng hợp Tây Nguyên. Hà Nội.

* Nguyễn Đức Ngữ. Khí hậu Tây Nguyên. Hà Nội, 1981

* Ủy ban khoa học và kỹ thuật Nhà nước, 1984. Các báo cáo khoa học của chương trình điều tra tổng hợp vùng Tây Nguyên 1976-1985. Hà Nội, 1984

* Phan Kế Lộc. Một số đặc trưng cơ bản của hệ thảm thực vật và thảm thực vật Tây Nguyên - Tây Nguyên các điều kiện tự nhiên và tài nguyên thiên nhiên. NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội, 1985

* Viện Khí tượng thủy văn, 1986. Mạng lưới sông suối Tây Nguyên. Hà Nội.

* Chương trình điều tra cơ bản Tây Nguyên 48C. Báo cáo khoa học đất Tây Nguyên. 1988

* Nguyễn Pháp. Những luận cứ chủ yếu về phát triển kinh tế - xã hội Tây Nguyên đến năm 2005. Hà Nội, 1989

* Viện điều tra quy hoạch rừng, 1996. Đặc trưng cơ bản và sự biến động của tài nguyên rừng Tây Nguyên. Hà Nội.

* Lê Bá Thảo. Việt Nam lãnh thổ và các vùng địa lý. Nxb Thế giới, Hà Nội, 1999

* Đặng Nghiêm Vạn. Một số vấn đề cơ bản và cấp bách về kinh tế - xã hội Tây Nguyên trên chặng đường đầu tiên của thời kỳ quá độ tiến lên Chủ nghĩa xã hội. Hà Nội.

* Phạm Hoàng Hải. Nghiên cứu đa dạng cảnh quan Việt Nam - Phương pháp luận và một số kết quả thực tiễn nghiên cứu. Viện Địa lý - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 2000

* Nguyễn Cao Huần. Đánh giá cảnh quan (Theo tiếp cận kinh tế sinh thái). NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005

* Nguyễn Văn Toàn (chủ biên). Giải pháp tổng thể sử dụng hợp lý và bảo vệ đất bazan Tây Nguyên. NXB Nông nghiệp 2005.

* Viện Chiến lược Phát triển - Bộ Kế hoạch và Đầu tư, 2009. Rà soát, bổ sung Quy hoạch tổng thể phát triển kinh tế - xã hội vùng Tây Nguyên đến năm 2020, Hà Nội.

* Bộ Kế hoạch và đầu tư. Báo cáo tổng hợp Quy hoạch tổng thể phát triển kinh tế - xã hội vùng Tây Nguyên đến năm 2020. Hà Nội, 2009

* Герасимов И. П. 1979, “Конструктивная География” Изд. Наука Москва, Россия.

* Шищенко П. Г. 1991, “Ландшафтная проектировка территории Украины”. Изд. Нова Думка. Киев, Украина.
[[Thể loại:Tây Nguyên]]

Cảnh quan Tây Nguyên

2021-01-21T02:12:55Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Tây Nguyên''' là một vùng kinh tế trọng điểm của đất nước, một khu vực lãnh thổ có vị trí địa lý, vị thế địa chính trị, an ninh quốc phòng quan trọng, một địa bàn chiến lược trong hành lang kinh tế Đông - Tây nối liền Việt Nam - Lào - Cămpuchia và Thái Lan, nơi có tiềm năng hết sức lớn cho phát triển, đặc biệt là sự phát triển của một số ngành sản xuất, kinh tế có thế mạnh và hiệu quả cao như nông - lâm - công nghiệp và du lịch - dịch vụ. Việc nghiên cứu cảnh quan - một hướng nghiên cứu mang tính tổng hợp cao về tiềm năng tự nhiên, tài nguyên lãnh thổ, thành lập bản đồ cảnh quan, phân tích đánh giá làm sáng tỏ đặc điểm đặc trưng của các đơn vị cảnh quan Tây Nguyên và trên cơ sở đó luận giải về đặc điểm phân hóa đa dạng, phức tạp nhưng có quy luật theo không gian và thời gian, xác định các chức năng cả tự nhiên và xã hội của từng đơn vị cảnh quan sẽ là cơ sở khoa học để tiến hành đánh giá nhằm xác định và khẳng định được những thế mạnh mang tính tiềm năng hết sức lớn của vùng cho phát triển KT-XH nói chung cũng như cho phát triển một số ngành sản xuất, kinh tế rất đặc biệt, đặc thù và để đề xuất định hướng và các giải pháp sử dụng chúng một cách phù hợp, hiệu quả.

Áp dụng các nguyên tắc chung trong phân loại và xây dựng bản đồ cảnh quan từ các công trình kinh điển của các nhà cảnh quan trên Thế giới và ở Việt Nam, áp dụng liên hợp các phương pháp chuyên ngành và tổng hợp của địa lý học, cảnh quan học đã đưa ra được trên lãnh thổ vùng Tây Nguyên một hệ thống phân loại cảnh quan gồm 7 cấp: hệ - phục hệ - lớp - phụ lớp - kiểu - phụ kiểu và nhóm loại cảnh quan cũng như xây dựng được bản đồ cảnh quan vùng Tây Nguyên với 01 hệ, 01 phụ hệ, 04 lớp, 08 phụ lớp, 08 kiểu, 14 phụ kiểu và ...loại cảnh quan với các đặc điểm đặc trưng nổi bật là:

Về đặc điểm cấu trúc cảnh quan vùng Tây Nguyên, có thể thấy rõ tính phân hóa đa dạng, phức tạp nhưng có quy luật theo không gian và thời gian qua đặc điểm cấu trúc đứng và cấu trúc ngang trên lãnh thổ.

Về bản chất, đặc điểm cấu trúc đứng của các cảnh quan được xác định bởi sự tham gia của các thành phần tự nhiên như địa chất, địa hình, khí hậu, thủy văn, lớp phủ thực vật và lớp phủ thổ nhưỡng vào quá trình phát sinh và phát triển của cảnh quan. Trong tự nhiên, mỗi một đơn vị cảnh quan được cấu tạo bởi các hợp phần và mối quan hệ giữa các khối vật chất cấu thành nên cảnh quan đó. Cấu trúc đứng của cảnh quan thể hiện sự sắp xếp của các nhân tố thành tạo cảnh quan, mối quan hệ tác động qua lại giữa các hợp phần của cảnh quan tạo nên những đặc trưng riêng cho từng cảnh quan khu vực. Theo đó, trong cấu trúc đứng của cảnh quan Tây Nguyên, các yếu tố thành phần thành tạo cảnh quan có những đặc điểm khá đặc thù so với các khu vực lãnh thổ khác, đó là:

Về cấu tạo địa chất, vùng Tây Nguyên có thể thấy sự có mặt khá đầy đủ các thành tạo cơ bản như trầm tích, phun trào, xâm nhập, biến chất có tuổi từ Arkei đến Đệ tứ. Các thành tạo Arkei, Proterozoi chỉ lộ ra ở Gia Lai, Kontum và Đak Lak, còn ở Lâm Đồng chủ yếu gặp các thành tạo Mesozoi và Kainozoi.

Địa hình Tây Nguyên khá đa dạng, ngoài những núi cao thung lũng sâu hiểm trở còn có những cao nguyên, bình sơn nguyên lớn, những miền trũng và đồng bằng khá rộng, là những thung lũng giữa núi và những dải bồi tích các sông lớn. Địa hình núi cao, bao bọc cả 3 mặt bắc, đông và nam của vùng. Phía bắc được khống chế bởi dãy núi Ngọc Linh là dãy núi đồ sộ nhất ở bắc Tây Nguyên, chạy dài theo hướng tây bắc - đông nam với chiều dài đến gần 200 km. Phía đông được án ngữ bởi những dãy núi nối tiếp nhau thành một bức tường ngăn cách Tây Nguyên với dải đồng bằng ven biển duyên hải Nam Trung bộ, trong đó có những dãy núi chính như dãy An Khê, dãy Chư Đju, dãy Vọng Phu, dãy Tây Khánh Hòa, dãy Chư Yang Sin, dãy Bi Đúp. Phía Nam, được bao bọc bới những dãy của Trường Sơn Nam với những dãy Brai An, Bơ Nam So Rlung.

Các cao nguyên và bình sơn nguyên của Tây Nguyên: phân bố ở những độ cao khác nhau từ 300 - 400 m đến trên 1.500 - 1.700 m, phân bố rộng khắp từ bắc vào nam như cao nguyên Kon Plong nằm giữa dãy An Khê và dãy Ngọc Linh với độ cao trung bình 1.100 - 1.300 m; cao nguyên Kon Hà Nừng có bề mặt phân cắt mạnh, cao 700 - 1.000 m, thấp dần về phía nam còn 500 - 600 m; cao nguyên Pleiku có dạng vòm, địa hình tương đối bằng phẳng, độ cao từ 750 - 800 m, nghiêng dần về phía nam; cao nguyên Buôn Mê Thuột có bề mặt địa hình khá bằng phẳng, độ cao ở phía bắc 800 m, giảm mạnh về phía nam con 400 m và về phía tây còn 300 m; cao nguyên M’Đrắk có bề mặt lượn sóng cao trung bình 500 m, thỉnh thoảng còn sót những đỉnh cao 1.000 m; cao nguyên Di Linh có dạng một thung lũng kéo dài theo phương đông - tây, cao từ 800 - 1.000 m; cao nguyên Đà Lạt là bề mặt san bằng cổ, ở phía bắc cao 1.600 m, giảm dần ở phía nam còn 1.400 m, có các đỉnh núi sót cao trên 2.000 m.

Các miền trũng và đồng bằng: từ bắc vào nam gồm trũng núi Kon Tum chạy dọc theo sông Pô Kô khoảng 45 km bề mặt khá bằng phẳng; trũng An Khê là kiểu thung lũng giữa núi bị san bằng và mở rộng (15 km) cao 400 - 500 m; bình sơn nguyên Ea Súp là một đồng bằng bóc mòn có những chỏm núi sót, khá bằng phẳng, độ cao 140 - 300 m, thoải dần về phía tây; vùng trũng Cheo Reo - Phú Túc nằm trùng với địa hào sông Ba, bề mặt khá bằng phẳng, chỉ có một ít đồi sót; trũng Krông Pắk - Lăk vốn là một thung lũng bóc mòn với nhiều núi sót đã biến thành một cánh đồng tích tụ với đầm lầy và hồ Lăk. Nhìn chung địa hình vùng có sự chia cắt và phân bậc mạnh nhưng nhìn chung phần cao nhất chiếm ưu thế ở phía bắc và phía đông, nghiêng dần về phía nam và phía tây. Điều này ảnh hưởng rất lớn đến điều kiện thủy văn khu vực, đặc biệt chế độ dòng chảy và khả năng giữ nước.

Cùng với yếu tố địa chất, địa hình thì khí hậu cũng là yếu tố thành tạo cảnh quan của vùng. Trên nền chung của khí hậu nhiệt đới gió mùa cận xích đạo của miền khí hậu phía nam, khí hậu Tây Nguyên nổi lên một số yếu tố riêng biệt, quyết định bởi độ cao địa hình và tác dụng chắn gió của dãy Trường Sơn. Ở đây hình thành một kiểu khí hậu đặc trưng được gọi là khá hậu nhiệt đới gió mùa cao nguyên với những nét tiêu biểu như chế độ nhiệt có xu thế hạ thấp có tính quy luật nhiệt độ không khí theo độ cao địa hình. Khu vực có độ cao địa hình dưới 500 m như ở thung lũng sông Ba, Srêpôk, Krông Pắk, Sa Thầy... nhiệt độ trung bình trên 24°C, ở độ cao 500 - 800 m đạt 21 - 23°C, 800 - 1.000 m đạt 19 - 21°C, riêng các vùng cao trên 1.550 m (Đà Lạt...) đạt dưới 19°C. Chế độ mưa rất không đồng đều theo không gian và thời gian, mùa mưa lượng mưa trung bình năm đạt 2.000 - 2.400 mm như ở Kon Tum, Gia Lai, Di Linh, đặc biệt tại Bảo Lộc (2.867 mm), lượng mưa 1.200 - 1.800 mm ở Đăk Lăk, Cheo Reo - Phú Túc, mùa khô tại bắc và trung Tây Nguyên chỉ đạt 1 - 2 mm/tháng còn phía nam lượng mưa đạt 10-50 mm/tháng.

Chế độ thuỷ văn của các sông, suối Tây Nguyên chịu ảnh hưởng trực tiếp của chế độ mưa hàng năm. Phần lớn sông suối của vùng là phần thượng lưu của những hệ thống sông chính chảy xuống các đồng bằng ven biển Nam Trung Bộ, Đông Nam Bộ và sang Campuchia. Các sông suối ở Tây Nguyên tập trung trong ba hệ thống chính: hệ thống sông Ba, hệ thống sông Mê Kông (gồm hai hệ thống nhánh là Se San và Srêpốk), hệ thống sông Đồng Nai, địa phận tỉnh Lâm Đồng. Ở Tây Nguyên còn có hàng loạt hồ tự nhiên và nhân tạo có khả năng tích trữ hàng tỷ m3 nước, có tác dụng điều tiết dòng chảy, phục vụ các yêu cầu phát triển thủy lợi, thủy điện, cung cấp nước, cải thiện môi trường. Mùa khô nước các sông cạn kiệt gây khó khăn cho việc cung cấp nước cho sản xuất nông nghiệp và giao thông trên các sông lớn.

Cấu trúc lớp phủ thổ nhưỡng của vùng khá phong phú và đa dạng do chịu tác động tương hỗ giữa nhiều nhân tố tự nhiên khác cũng rất phức tạp, hình thành nên 9 nhóm đất chính gồm: Đất phù sa, đất lầy và than bùn, đất xám, đất đỏ và xám nâu vùng bán khô hạn, đất đen, đất đỏ vàng, đất mùn vàng đỏ trên núi, đất thung lũng, đất xói mòn trơ xỏi đá. Trong các nhóm kể trên phổ biến nhất là đất đỏ vàng và đất mùn vàng đỏ trên núi. Đất đỏ vàng (đất feralit hay “đất đỏ”) là loại đất tiêu biểu của vùng có diện phân bố rộng (khoảng 66% tổng diện tích đất tự nhiên toàn vùng), là sản phẩm phong hóa chủ yếu của bazan, thường phân bố ở độ cao dưới 1.000 m, tập trung ở các cao nguyên Pleiku, Buôn Ma Thuột, Di Linh, Đặk Nông, ngoài ra còn gặp lẻ tẻ ở Kon Hà Nừng, Kon Plong. Nhờ có độ phì nhiêu lớn, đất đỏ vàng đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển nông nghiệp ở Tây Nguyên, đây là địa bàn canh tác chủ yếu các loại cây công nghiệp (cà phê, cao su, chè...) và cây thực phẩm. Đất đỏ vàng phát triển trên các đá macma axit chiếm diện tích rất rộng (trên 38% diện tích tự nhiên của Tây Nguyên) nhưng do phân bố trên các vùng núi cao, địa hình dốc, bị xói mòn mạnh, độ phì nhiêu thấp nên loại đất này chỉ đóng vai trò thứ yếu trong nông nghiệp. Các loại đất khác chỉ phân bố trên từng vùng hẹp nên ít có ý nghĩa đối với nông nghiệp.

Đối với lớp phủ thực vật, cùng với điều kiện của các nhân tố thành tạo kể trên, với mỗi loại đất có thể có một hay một số kiểu thảm thực vật. Do tác động của quá trình nhân tác trong một thời gian dài, thảm thực vật nguyên sinh - kiểu rừng kín thường xanh vốn rất phong phú của vùng đã dần được thay thế bằng các thảm thực vật nhân tác, trảng cỏ và cây bụi thứ sinh.

Từ đặc điểm mang tính đặc thù của các nhân tố thành tạo cảnh quan như đã nêu ở trên, có thể khẳng định tính phong phú, đa dạng trong cấu trúc đứng của cảnh quan vùng Tây Nguyên. Tuy vậy đặc điểm nổi bật thấy rõ là cấu trúc đứng mang tính điển hình, chiếm ưu thế của cảnh quan ở vùng là các cảnh quan cao nguyên. Đặc điểm nổi bật này cùng với những đặc điểm riêng trong cấu trúc ngang của cảnh quan sẽ là những ưu thế vượt trội, đặc biệt của vùng cho các mục tiêu ứng dụng thực tiễn.

Về đặc điểm cấu trúc ngang cảnh quan Tây Nguyên, thể hiện qua các đặc điểm phân hoá theo không gian lãnh thổ và mối liên hệ chặt chẽ giữa các đơn vị được phân chia ở cấp cao (lớp và phụ lớp cảnh quan) với các cấp thấp hơn (kiểu, phụ kiểu cảnh quan và loại cảnh quan). Sự tương tác giữa điều kiện sinh khí hậu đặc trưng của từng khu vực với đặc điểm riêng của các dạng địa hình đã tạo nên những nét đặc thù, sự phân hoá đặc trưng, được thể hiện thông qua hệ thống phân loại cùng với những đặc điểm cảnh quan khu vực như sau:

Hệ cảnh quan: toàn bộ vùng Tây Nguyên nằm trong hệ cảnh quan nhiệt đới gió mùa, không chịu ảnh hưởng của gió mùa Đông Bắc, có sự phân hóa mùa khô. Chế độ nhiệt có xu thế hạ thấp một cách có quy luật nhiệt độ không khí theo độ cao địa hình, vùng thấp dưới 500 m (thung lũng sông Ba, Krông Pắk, Sa Thầy...) nhiệt độ trung bình trên 24°C, lên tới độ cao trên 1.550 m nhiệt độ chỉ còn dưới 19°C. Tuy nhiên, biên độ dao động ngày của nhiệt độ không khí Tây Nguyên lớn nhất so với cả nước, trung bình từ 9 - 11°C, các tháng II và III có biên độ dao động ngày lớn nhất, các tháng VII và VIII nhỏ nhất nên có ảnh hưởng đến sinh hoạt và sản xuất.

Lớp cảnh quan. là cấp phân dị có đặc điểm hình thái kiến tạo rõ nét, dựa trên đặc trưng hình thái phát sinh của đại địa hình lãnh thổ, được đặc trưng bởi tính đồng nhất tương đối của hai quá trình lớn: quá trình bóc mòn và tích tụ, do các khối địa hình khác nhau về vị trí phân bố và độ cao chi phối. Sự phân dị địa hình của Tây Nguyên đã tạo ra ba lớp cảnh quan là: lớp cảnh quan núi, lớp cảnh quan cao nguyên, lớp cảnh quan đồi và trũng giữa núi. Trong đó, lớp cảnh quan núi chiếm 53% diện tích tự nhiên toàn vùng, tập trung bao bọc 3 mặt của Tây Nguyên: phía bắc của tỉnh Kon Tum; phía đông của tỉnh Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông; phía nam của tỉnh Lâm Đồng. Lớp cảnh quan cao nguyên phân bố tại trên địa phận các tỉnh Gia Lai, Đắk Lắk, Đắk Nông và Lâm Đồng. Phân bố ở những độ cao khác nhau, như cao nguyên Kon Plông độ cao trung bình 1.100 - 1.300 m (nằm giữa dãy An Khê và Ngọc Linh ở phía bắc của vùng); cao nguyên Kon Hà Nừng cao 700 - 1.000 m; cao nguyên Pleiku dạng vòm, địa hình tương đối bằng phẳng, độ cao 400 - 800 m; cao nguyên Buôn Mê Thuột với bề mặt địa hình khá bằng phẳng, độ cao 400 - 800 m; cao nguyên M’Đrăk có bề mặt lượn sóng độ cao trung bình 500 m; cao nguyên Di Linh - dạng thung lũng kéo dài, cao 800 - 1.000 m; cao nguyên Đắk Nông là khối nâng dạng vòm, cao 800 - 1.000 m; cao nguyên Đà Lạt là bề mặt san bằng cổ, cao 1.400 -1.600 m. Lớp cảnh quan đồi và trũng giữa núi phân bố trên địa phận các tỉnh Kon Tum, Đắk Lắk, Lâm Đồng. Điển hình là trũng giữa núi Kon Tum chạy dọc theo sông Pô Kô, bề mặt khá bằng phẳng; trũng An Khê (Gia Lai) là kiểu thung lũng giữa núi bị san bằng và mở rộng cao 400 - 500 m; bình nguyên Ea Súp có những chỏm núi sót, khá bằng phẳng, độ cao 140 - 300m, thoải dần về phía Tây; vùng trũng Cheo Reo - Phú Túc (Gia Lai) nằm trùng với địa hào sông Ba có bề mặt khá bằng phẳng và có một vài đồi sót; trũng Krông Pắk - Lắk là một thung lũng bóc mòn với nhiều núi sót đã biến thành một cánh đồng tích tụ với đầm lầy và hồ Lắk.

Trong phạm vi các lớp cảnh quan, ở Tây Nguyên còn chia ra các phụ lớp cảnh quan theo hình thái địa hình và tác động của quy luật đai cao.

Trong lớp cảnh quan núi có 3 phụ lớp gồm: Phụ lớp cảnh quan núi cao: với độ cao > 1.800 m tại khu vực Chư Păh (Gia Lai) và Lắk - Krông Bông (Đắk Lắk). Thổ nhưỡng đặc trưng là đất mùn vàng nhạt trên núi cao (A) và đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa); Phụ lớp cảnh quan núi trung bình: với độ cao 1.200 - 1.800 m tại vùng núi Ngọc Linh, Kon Tum, vùng cao nguyên Kon Plong, vùng núi thấp Chutrian, Gia Lai, vùng núi trung bình Chư Yang Sin, Lâm Đồng, vùng núi thấp Nam Jerbi, Đắk Nông, vùng núi thấp Bon Om Po Tê, Đắk Nông. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất mùn đỏ vàng trên đá sét và biến chất (Hs), đất mùn vàng đỏ trên đá macma axit (Ha), đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq); Phụ lớp cảnh quan núi thấp: với độ cao 600 - 1.200 m tại vùng núi thấp Ngọc Linh, vùng núi thấp Sa Thầy tỉnh Kon Tum, vùng núi thấp Chutrian, vùng núi thấp Chư Đôn - Chư Tion phía Nam Gia Lai, vùng núi thấp Krông Năng, vùng sơn nguyên M’Đrắk, vùng núi trung bình Chư Yang Sin phía Nam Đắk Lắk, vùng núi trung bình Chư Yang Sin phía Tây Lâm Đồng, vùng núi thấp Bon Om Po Tê, Đắk Nông. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq), đất xám trên đá macma axit (Xa) và đất phù sa được bồi chua (Pbc).

Lớp cảnh quan cao nguyên có 2 phụ lớp: Phụ lớp cảnh quan cao nguyên cao: với độ cao 600 - 800 m phân bố tại vùng cao nguyên Kon Plông, vùng núi sót bóc mòn trên đá xâm nhập - cao nguyên Pleiku, vùng cao nguyên Buôn Ma Thuột, vùng bazan cổ - cao nguyên Đắk Nông, vùng bình sơn Đà Lạt. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất mùn đỏ vàng trên đá sét và đá biến chất (Hs), đất mùn vàng đỏ trên đá macma axit (Ha), đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất dốc tụ (D), đất nâu thẫm trên sản phẩm phong hóa của đá bọt và đá bazan (Ru), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa được bồi chua (Pbc) và không được bồi chua (Pc); Phụ lớp cảnh quan cao nguyên thấp: với độ cao 1.200 - 1.800 m tại vùng cao nguyên Buôn Ma Thuột, vùng sơn nguyên M’đrăk, vùng trũng Krông Pach – Lắk tỉnh Đắk Lắk, vùng bán bình nguyên Cư Jút, vùng cao nguyên Đắk Nông, vùng bán bình nguyên Krông Nô - Đắk Nông, vùng cao nguyên Bắc Cát Tiên - Đạ Tẻh tỉnh Lâm Đồng. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq), đất nâu vàng trên phù sa cổ (Fp), đất xói mòn trơ sỏi đá (E), đất đen trên sản phẩm bồi tụ (Rk), đất nâu thẫm trên sản phẩm phong hóa của đá bọt và đá bazan (Ru), đất xám trên phù sa cổ (X), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa được bồi chua (Pbc) và không được bồi chua (Pc), đất phù sa glây (Pg)

Trong lớp cảnh quan đồi và trũng giữa núi chia ra 3 phụ lớp gồm: Phụ lớp cảnh quan đồi cao: với độ cao 200 - 500 m tại vùng đồi cao Cát Tiên - Đạ Tẻh, Lâm Đồng. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất nâu đỏ trên đá macma bazơ và trung tính (Fk), đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq), đất dốc tụ (D), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa được bồi chua (Pbc) và không được bồi chua (Pc), đất phù sa glay (Pg); Phụ lớp cảnh quan thung lũng giữa núi: với độ cao 200 - 300 m tại vùng trũng giữa núi Sa Thầy - Kon Tum, vùng trũng Krông Pắk - Lắk thuộc Đắk Lắk. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất vàng đỏ trên đá sét và biến chất (Fs), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất dốc tụ (D), đất nâu thẫm trên sản phẩm phong hóa của đá bọt và đá bazan (Ru), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa glay (Pg), đất phù sa có tầng loang lổ đỏ vàng (Pf); Phụ lớp cảnh quan bán bình nguyên: với độ cao 200 - 300 m tại vùng bán bình nguyên Ea Súp ở Đắk Lắk. Thổ nhưỡng đặc trưng là đất nâu đỏ trên đá macma bazo và trung tính (Fk), đất đỏ vàng trên đá macma axit (Fa), đất vàng nhạt trên đá cát (Fq), đất xám trên đá macma axit (Xa), đất phù sa glay (Pg), đất phù sa có tầng loang lổ đỏ vàng (Pf).

Với đặc điểm sinh khí hậu, trong hệ thống phân loại, vùng Tây Nguyên được chia ra hai kiểu cảnh quan chính đó là kiểu cảnh quan rừng kín thường xanh nhiệt đới ẩm mưa mùa và kiểu cảnh quan rừng kín thường xanh nhiệt đới nửa rụng lá. 2 kiểu cảnh quan này được phân bố trong tất cả các loại cảnh quan của vùng Tây Nguyên với 308 loại cảnh quan, trong đó: HST rừng kín hỗn giao lá rộng, lá kim với 47 đơn vị cảnh quan được phân bố trên 7 phụ lớp cảnh quan (trừ phụ lớp bán bình nguyên); HST rừng lá kim với 19 đơn vị cảnh quan được phân bố trên 4 phụ lớp cảnh quan (trừ phụ lớp cảnh quan núi cao, cao nguyên thấp, đồi cao, bán bình nguyên); HST rừng tre nứa với đơn vị cảnh quan được phân bố trên 6 phụ lớp cảnh quan (trừ phụ lớp núi cao, bán bình nguyên); HST rừng kín nửa rụng lá với 18 đơn vị cảnh quan được phân bố trên 3 phụ lớp cảnh quan (trừ phụ lớp cảnh quan núi cao, núi trung bình, cao nguyên cao, đồi cao, thung lũng giữa núi); HST rừng rụng lá thứ sinh với 15 đơn vị cảnh quan được phân bố ở 3 phụ lớp: phụ lớp núi thấp 4 đơn vị, phụ lớp cao nguyên cao 5 và phụ lớp cao nguyên thấp 6 đơn vị; HST rừng trồng với 21 đơn vị cảnh quan phân bố trên 4 phụ lớp: phụ lớp cảnh quan núi trung bình với 3 đơn vị, phụ lớp cảnh quan núi thấp 7 đơn vị cảnh quan, phụ lớp cảnh quan cao nguyên cao với 5 đơn vị và phụ lớp cảnh quan cao nguyên thấp có 6 đơn vị cảnh quan; HST cây bụi trảng cỏ với 48 đơn vị cảnh quan phân bố trên 7 phụ lớp cảnh quan: phụ lớp núi thấp với 8 đơn vị, phụ lớp cảnh quan cao nguyên cao 9 đơn vị, phụ lớp cao nguyên thấp 13 đơn vị, phụ lớp cảnh quan đồi cao 4 đơn vị, phụ lớp cảnh quan thung lũng giữa núi 4 đơn vị và phụ lớp cảnh quan bán bình nguyên với 2 đơn vị; HST cây công nghiệp với 48 đơn vị cảnh quan phân bố trên 5 phụ lớp cảnh quan : phụ lớp núi thấp 6 đơn vị, phụ lớp cao nguyên cao 11 đơn vị, phụ lớp cao nguyên thấp 19 đơn vị, phụ lớp thung lũng giữa núi 6 đơn vị, phụ lớp bán bình nguyên với 6 đơn vị; HST cây nông nghiệp với 62 đơn vị được phân bố trên 7 phụ lớp cảnh quan. Trong đó, ở phụ lớp núi trung bình 2 đơn vị, phụ lớp núi thấp 9 đơn vị, phụ lớp cao nguyên cao 11 đơn vị, phụ lớp cao nguyên thấp 21 đơn vị, phụ lớp đồi cao 7 đơn vị, phụ lớp thung lũng giữa núi 7 đơn vị, phụ lớp bán bình nguyên với 5 đơn vị cảnh quan.

Loại cảnh quan là đơn vị cơ sở của hệ thống phân vị cảnh quan của khu vực nghiên cứu. Sự hình thành của các dạng cảnh quan liên quan chặt chẽ với quy luật tự nhiên và quy luật mang tính địa phương. Nó được thể hiện qua mối tương tác giữa các đặc điểm hình thái địa hình, đặc điểm dòng chảy, các loại đất, các nhóm thảm thực vật.

- Lớp cảnh quan núi có 90 đơn vị cảnh quan. Trong đó, phụ lớp cảnh quan núi cao có 2 đơn vị cảnh quan, 31 đơn vị cảnh quan ở phụ lớp cảnh quan núi trung bình và 57 đơn vị ở phụ lớp cảnh quan núi thấp.

- Lớp cảnh quan cao nguyên có 157 đơn vị cảnh quan. Trong đó, phụ lớp cảnh quan cao nguyên cao có 63 đơn vị cảnh quan, phụ lớp cảnh quan cao nguyên thấp với 94 đơn vị cảnh quan.

- Lớp cảnh quan đồi và trũng giữa núi có 61 đơn vị cảnh quan : phụ lớp đồi cao 18 đơn vị, phụ lớp thung lũng giữa núi 25 đơn vị cảnh quan và phụ lớp bán bình nguyên 18 đơn vị cảnh quan.

Về đặc điểm động lực cảnh quan Tây Nguyên, có thể thấy trong quá trình hình thành, phát triển và biến đổi, cảnh quan luôn chịu ảnh hưởng của nhiều các tác động động lực, đã tạo nên nhịp thở của môi trường và từ đó cũng tạo nên nhịp điệu sống của khối vật chất sống trong cảnh quan. Về bản chất, vùng Tây Nguyên nằm trên nền chung của khí hậu nhiệt đới gió mùa cận xích đạo của miền khí hậu phía Nam, có kiểu khí hậu đặc trưng là khí hậu nhiệt đới gió mùa cao nguyên. Hàng năm tổng bức xạ mặt trời ở Tây Nguyên đạt 235 - 240 kcal/cm2/năm, ít biến đổi trong năm. Chính nguồn năng lượng này là động lực chính cho các quá trình phát sinh và phát triển các cảnh quan của Tây Nguyên. Quá trình sử dụng và chuyển hóa các nguồn năng lượng trong các cảnh quan là quá trình có tính chất tổng hợp các chuyển hóa năng lượng đó ở các khối vật chất khác nhau cấu thành nên chúng. Năng lượng bức xạ Mặt trời cung cấp năng lượng cho quá trình phong hóa, đồng thời nó còn tham gia vào các quá trình hình thành đất, vào thành phần nước,… Mặt khác, năng lượng bức xạ Mặt trời còn tham gia vào phản ứng hóa học trong sự chuyển hóa các chất trong tự nhiên, là động lực thúc đẩy các quá trình ngoại lực di chuyển, vận chuyển các vật chất trong khối các vật chất sống. Đối với giới sinh vật, năng lượng bức xạ Mặt trời mang tính chất sống còn. Qua quá trình quang hợp, cây xanh hấp thụ và cải biến trực tiếp năng lượng này để tạo ra sinh khối xanh, đó là nguồn cung cấp năng lượng cho chuỗi dinh dưỡng sinh vật. Do hàng năm nhận được một lượng bức xạ không nhỏ, sinh vật có điều kiện sinh trưởng và phát triển, các quá trình chuyển hóa vật chất và năng lượng xảy ra với tốc độ và cường độ cao vào những tháng mùa mưa.

Cơ chế hoạt động của gió mùa là một động lực quan trọng trong quá trình biến đổi cảnh quan Tây Nguyên. Sự luân phiên tác động của hai cơ chế gió mùa (Tây Nam và Đông Bắc) tạo nên sự phân hóa sâu sắc giữa hai mùa, tạo nên tính nhịp điệu mùa của cảnh quan. Vào mùa mưa, lượng mưa đạt 75% lượng mưa của cả năm, độ ẩm lớn. Điều kiện gió mùa tạo nên nhịp thở của quá trình phong hóa, tạo ra hai pha tác động khác nhau vào hai mùa trong năm. Sự tác động của nhịp điệu mùa tạo điều kiện cho quá trình hình thành đất đỏ vàng chiếm diện tích chủ yếu ở khu vực núi và cao nguyên của Tây Nguyên.

Nhịp điệu mùa còn được thể hiện rõ nét trong việc hình thành và hoạt động của mạng lưới thủy văn và chế độ dòng chảy. Do lượng mưa tập trung chủ yếu vào mùa mưa nên quá trình vận chuyển, chuyển hóa vật chất diễn ra mạnh mẽ hơn vào mùa khô. Sự tác động của nhịp điệu mùa cũng ảnh hưởng rất lớn đối với quá trình sinh trưởng và phát triển cũng như năng suất sinh học và sinh khối của quần thể sinh vật.

Sự phân hóa địa hình của Tây Nguyên cũng có vai trò nhất định trong việc phân phối lại năng lượng và tác động đến quá trình chuyển hóa vật chất, ảnh hưởng đến việc hình thành, phát triển và biến đổi các cảnh quan, tạo nên sự khác biệt trong phân bố các loại đất và các loại sinh vật. Ngoài ra, các hoạt động kinh tế khai thác lãnh thổ của con người cũng có vai trò quan trọng trong việc điều chỉnh hướng phát triển tự nhiên nhằm tạo ra khối lượng sinh khối cao nhất và cải thiện môi trường, tác động đến sự biến đổi của các cảnh quan tự nhiên.

Như vậy, có thể khẳng định, các đặc tính động lực và độ bền vững của các cảnh quan Tây Nguyên là nguyên nhân và hệ quả của mối tương quan chuyển hóa vật chất và năng lượng giữa các phần cấu trúc cảnh quan của vùng, là cơ sở và có ý nghĩa rất lớn trong đề xuất định hướng sử dụng hợp lý lãnh thổ phù hợp với tiềm năng của cảnh quan khu vực nghiên cứu.

Về đặc điểm chức năng cảnh quan vùng Tây Nguyên, được xác định là khá đặc biệt và cùng có tiềm năng rất lớn, bao gồm: Chức năng bảo tồn, phòng hộ và bảo vệ môi trường: Các cảnh quan cần duy trì chức năng phòng hộ, bảo vệ môi trường là các cảnh quan hình thành trên địa hình có độ dốc lớn, bao gồm các nhóm cảnh quan phân bố trên các vùng núi - cao nguyên - đồi và thung lũng giữa núi với hệ sinh thái rừng kín hỗn giao lá rộng lá kim, rừng lá kim, rừng tre nứa, rừng kín nửa rụng lá, rừng rụng lá thứ sinh. Các cảnh quan này hiện đang đảm nhiệm chức năng chính của mình là bảo tồn, phòng hộ và bảo vệ môi trường. Thành phần rất phong phú về chủng loại, giàu về khối lượng và một số cây bản địa thuộc loại quý như thông nước (Glyptostrobas), thông 5 lá (Pinus dalatensis), cây Quao xẻ tua, gạo lông đen...; Chức năng phát triển kinh tế sinh thái lâm nghiệp: Nhóm cảnh quan này phân bố trên các địa hình núi và cao nguyên với thành phần loài bao gồm thông, keo bạch, đàn và một số các loại cây khác; Chức năng phát triển kinh tế sinh thái nông nghiệp: duy trì chức năng sản xuất, phát triển kinh tế sinh thái nông nghiệp hình thành trên địa hình t¬ương đối bằng phẳng (cao nguyên và thung lũng giữa núi), bao gồm các loại cảnh quan cây công nghiệp (cà phê, cao su, hồ tiêu, điều, chè,…), cây nông nghiệp (lúa, ngô lai, bông vải, rau, hoa) Và cuối cùng là chức năng nghỉ dưỡng và tham quan du lịch: Nhóm cảnh quan này phân bố chủ yếu trên các địa hình núi và cao nguyên. Ngoài chức năng nghỉ dưỡng và tham quan du lịch, các dạng cảnh quan núi và cao nguyên còn có chức năng cung cấp sản phẩm cho phát triển lâm nghiệp.

Tài liệu tham khảo:

* G. Ixatsenko. Cơ sở cảnh quan học và phân vùng Địa lý Tự nhiên. NXB Khoa học. Hà Nội, 1969

* Phạm Hoàng Hải, Nguyễn Thượng Hùng, Nguyễn Ngọc Khánh. Cơ sở cảnh quan học và việc sử dụng hợp lý tài nguyên và bảo vệ môi trường lãnh thổ Việt Nam. Nxb. Giáo dục. Hà Nội, 1976

* Vũ Tự Lập. Cảnh quan địa lý miền Bắc Việt Nam. NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1976

* Lê Bá Thảo. “Thiên nhiên Việt Nam”. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1977

* Vũ Tự Lập. Địa lý tự nhiên Việt Nam. 3 tập I, II, III. NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội, 1978

* Viện Địa chất khoáng sản, 1980. Kiến tạo Tây Nguyên trong chương trình điều tra tổng hợp Tây Nguyên. Hà Nội.

* Nguyễn Đức Ngữ. Khí hậu Tây Nguyên. Hà Nội, 1981

* Ủy ban khoa học và kỹ thuật Nhà nước, 1984. Các báo cáo khoa học của chương trình điều tra tổng hợp vùng Tây Nguyên 1976-1985. Hà Nội, 1984

* Phan Kế Lộc. Một số đặc trưng cơ bản của hệ thảm thực vật và thảm thực vật Tây Nguyên - Tây Nguyên các điều kiện tự nhiên và tài nguyên thiên nhiên. NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội, 1985

* Viện Khí tượng thủy văn, 1986. Mạng lưới sông suối Tây Nguyên. Hà Nội.

* Chương trình điều tra cơ bản Tây Nguyên 48C. Báo cáo khoa học đất Tây Nguyên. 1988

* Nguyễn Pháp. Những luận cứ chủ yếu về phát triển kinh tế - xã hội Tây Nguyên đến năm 2005. Hà Nội, 1989

* Viện điều tra quy hoạch rừng, 1996. Đặc trưng cơ bản và sự biến động của tài nguyên rừng Tây Nguyên. Hà Nội.

* Lê Bá Thảo. Việt Nam lãnh thổ và các vùng địa lý. Nxb Thế giới, Hà Nội, 1999

* Đặng Nghiêm Vạn. Một số vấn đề cơ bản và cấp bách về kinh tế - xã hội Tây Nguyên trên chặng đường đầu tiên của thời kỳ quá độ tiến lên Chủ nghĩa xã hội. Hà Nội.

* Phạm Hoàng Hải. Nghiên cứu đa dạng cảnh quan Việt Nam - Phương pháp luận và một số kết quả thực tiễn nghiên cứu. Viện Địa lý - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, 2000

* Nguyễn Cao Huần. Đánh giá cảnh quan (Theo tiếp cận kinh tế sinh thái). NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005

* Nguyễn Văn Toàn (chủ biên). Giải pháp tổng thể sử dụng hợp lý và bảo vệ đất bazan Tây Nguyên. NXB Nông nghiệp 2005.

* Viện Chiến lược Phát triển - Bộ Kế hoạch và Đầu tư, 2009. Rà soát, bổ sung Quy hoạch tổng thể phát triển kinh tế - xã hội vùng Tây Nguyên đến năm 2020, Hà Nội.

* Bộ Kế hoạch và đầu tư. Báo cáo tổng hợp Quy hoạch tổng thể phát triển kinh tế - xã hội vùng Tây Nguyên đến năm 2020. Hà Nội, 2009

* Герасимов И. П. 1979, “Конструктивная География” Изд. Наука Москва, Россия.

* Шищенко П. Г. 1991, “Ландшафтная проектировка территории Украины”. Изд. Нова Думка. Киев, Украина.
[[Thể loại:Tây Nguyên]]

Khoa học nghiên cứu hệ protein

2021-01-21T02:12:09Z

Minhpc:

{{mới}}
'''Khoa học nghiên cứu hệ protein''' là môn khoa học mới nghiên cứu sản phẩm của genome hay chính là tập hợp các protein được biểu hiện trong tế bào, mô hoặc cơ thể trong những điều kiện và thời gian xác định.

Marc Wilkins là người đầu tiên đưa ra khái niệm proteome (hệ protein) là bổ trợ của genome (bộ/hệ gen). Đây cũng chính là thời điểm đánh dấu một thời kỳ phát triển mới, rất mạnh mẽ, cả về chiều rộng lẫn chiều sâu của các môn khoa học về sự sống. Mặc dù còn phải giải quyết rất nhiều những vướng mắc về các kỹ thuật hoá sinh protein, các nhà khoa học đã bắt đầu không chỉ bàn bạc, mà còn tiến hành thực hiện một chương trình nghiên cứu hậu genome, trong đó có Dự án Hệ protein Người (Human Proteome Project, HPP). Proteomics thật sự đã làm thay đổi rất nhiều trong hiểu biết của chúng ta trong khoa học sự sống và các ngành liên quan. Nhờ có các khái niệm và hiểu biết mới về proteomics, sự sống của các phiên bản genome tĩnh lặng đã thật sự trở thành những proteome năng động.

Nếu proteome được coi là tập hợp các protein được mã hoá và biểu hiện bởi genome, trong đó genome bao hàm toàn bộ các gen trong một cơ thể, thì genomics là khoa học nghiên cứu genome còn proteomics là khoa học nghiên cứu proteome. Như vậy, sẽ có thể có rất nhiều bộ/hệ protein (proteome) được mã hoá bởi một bộ gen. Các ví dụ minh chứng rõ nhất cho khái niệm trên chính là sự thay đổi vòng đời của nhiều loại côn trùng, ký sinh trùng, vi sinh vật, cũng như sự phát triển của nhiều loài sinh vật khác (H1).

Proteomics bao gồm những nghiên cứu có tính hệ thống nhằm cung cấp những kiến thức tổng quan về cấu trúc, chức năng của protein và vai trò của chúng trong điều hoà hoạt động của các hệ sinh học. Những cải tiến về trang thiết bị và phương pháp hiện nay đã cho phép mở rộng phạm vi nghiên cứu từ phân tích hoá sinh các protein đơn lẻ đến việc nhận dạng và xác định những phức hợp protein. Cũng chính vì vậy, proteomics đang trở thành một trong những bộ môn quan trọng nhất của trong khoa học sự sống và công nghệ sinh học. Cùng với những tiến bộ của ngành tin-sinh học (bioinformatics), những nghiên cứu về proteomics đối với các hệ sinh học đang có những đóng góp cơ bản đối với sự hiểu biết của chúng ta về kiểu hình của các tế bào ở các trạng thái bình thường và bệnh lý.

Sơ đồ mô tả vòng đời của côn trùng với cùng một hệ gen nhưng được biểu hiện bằng nhiều hệ protein khác nhau theo các giai đoạn phát triển (biệt hóa) và thời gian sống.

Hiện đang có rất nhiều các hệ thiết bị và hoá chất được sản xuất chuyên dụng cho những nghiên cứu về biểu hiện protein và xác định protein/proteome. Việc nghiên cứu proteome-tập hợp các protein được biểu hiện bổ trợ của hệ gen và cũng là của một mô hay một kiểu tế bào, sẽ giúp thu được những thông tin bổ sung hữu ích cho những kiến thức mới hỗ trợ cho những nghiên cứu chẩn đoán và điều trị lâm sàng. Những nghiên cứu về tương tác protein-protein đã được cách mạng hoá bằng việc phát triển những kỹ thuật về ProteinChip array. Cũng tương tự như DNA microarray, những biochip như vậy được tạo ra (in) bằng các loại protein khác nhau (ví dụ như kháng thể, thụ thể...), sau đó được lai với hỗn hợp các protein. Kết quả của các tương tác protein-protein có thể được phát hiện bằng các hình ảnh huỳnh quang, phóng xạ hoặc phổ khối. Các phương pháp xác định bằng cách bắt giữ protein cũng được sử dụng với array, bao gồm cả hệ lai nấm men, tách phức hệ các protein với protein bằng sắc ký ái lực hoặc các kỹ thuật tách chiết khác.

Thách thức chính hiện nay đối với những nhà sinh vật học là sử dụng sự phong phú về thông tin di truyền sẵn có từ chương trình xác định trình tự gen không phải chỉ để giải mã trình tự các axít amin của những protein được mã hóa mà còn là xác định những chức năng của chúng. Cách tiếp cận hiện nay là tìm kiếm sự giống nhau qua các chương trình, phần mềm chuyên dụng đối với những protein có chức năng đã biết. Những kết quả thu được cho phép suy diễn về những chức năng có thể có và sau đó được thăm dò bằng thực nghiệm. Cũng chính vì vậy, nhiệm vụ tiếp theo sau giải mã genome là phải làm sáng tỏ cấu trúc ba chiều của các protein chưa biết bằng các kỹ thuật tinh thể tia X và cộng hưởng từ hạt nhân sau khi chúng đã được biểu hiện và tinh sạch. Những phương pháp này có thể cho phép dự đoán cơ chế xúc tác, tương tác protein-protein, hoặc protein-DNA/RNA, cung cấp sự hiểu biết thấu đáo hơn về chức năng. Có rất nhiều nhân tố có ảnh hưởng đến gen, sự biểu hiện của protein và cả trực tiếp đến protein. Trong số các nhân tố này phải kể đến những nhân tố về môi trường và tế bào như pH, sự giảm oxi của không khí, quy cách điều trị bằng thuốc. Tương tự như vậy, vì thông tin giữa gen và protein là hai chiều, kiểu hình (phenotype) của tế bào bị ảnh hưởng bởi những tương tác của các quá trình chuyển hoá được điều chỉnh một cách thống nhất bên trong tế bào. Tuy nhiên, không có hiệu ứng nào, kể cả cơ sở sinh học của những quá trình đa gen như sự lão hoá, sự căng thẳng, và bệnh tật, có thể được xác định chỉ đơn thuần qua kiểm tra hệ gen4. Để có thể hiểu rõ hơn vai trò có thể của các gen, đặc biệt trong quá trình gây bệnh, đã có rất nhiều các kết quả thu được từ những kỹ thuật khác nhau như DNA microarray, một kỹ thuật ngày càng được sử dụng nhiều để biểu thị sự khác biệt của mRNA giữa các trạng thái bình thường và bệnh lý.

Cũng có một số lý do hấp dẫn khác để bổ sung những nghiên cứu này từ viễn cảnh có thể cung cấp những thông tin cả về định tính và định lượng về sự biểu hiện gen. Protein là đầu ra về chức năng của tế bào và do đó có thể cho biết những thông tin thích đáng nhất, đặc biệt khi giải thích về sự biểu hiện của chúng có tính đến động học trong ngữ cảnh sinh học đặc biệt. Sự biểu hiện hoặc chức năng của protein được điều hoà ở tại nhiều thời điểm, từ phiên mã đến dịch mã. Các quá trình này, nói chung đều không thể dự đoán được từ kết quả phân tích trình tự gen. Người ta cũng đã thấy rằng, hầu như không có sự tương quan chặt chẽ giữa số lượng của mRNA và protein tương ứng được dịch mã từ chính mRNA đó6,7. Bản sao (transcript) có thể được nối ghép và tổ hợp theo nhiều cách tạo nên nhiều dạng protein khác nhau. Sau dịch mã, đa phần các phân tử protein lại bị cải biến bởi các tương tác protein-protein hay các phản ứng với các nhóm carbohydrate, phosphate... Chính những cải biến sau dịch mã này (post-translational modifications, PTMs) đóng vai trò chủ yếu trong kích hoạt chức năng của nhiều protein chứ không phải được mã hoá trực tiếp từ gen. Kết quả là từ một gen ban đầu ta có thể tìm thấy sự đa dạng về biểu hiện, cấu trúc và chức năng của rất nhiều loại protein khác nhau8,9. Ở các cơ thể khác nhau, mức độ đa dạng này cũng khác nhau. Những nghiên cứu sơ bộ cho thấy, từ một gen có thể phát sinh từ một tới hai protein trong vi khuẩn, ba trong nấm men, và tới hơn sáu loại ở người. Trên cơ sở số gen đã phát hiện và các khả năng biến đổi sau dịch mã, người ta cũng đã ước tính trong cơ thể người có tới hơn nửa triệu protein cần được nghiên cứu. Từ sự phân tích trên ta có thể thấy, mặc dù proteome là bổ trợ của genome, đây vẫn là hai khái niệm khác nhau cả về không gian và thời gian. Khi trình tự của gen không thể cho biết các thông tin về các biến đổi sau phiên mã có ảnh hưởng và quyết định đến chức năng và hoạt tính của protein thì mức độ biểu hiện gen không thể phản ánh đúng về số lượng protein có hoạt tính trong tế bào.

Thực ra cũng chỉ có khoảng 2% số bệnh tật đã biết được xác định là do có các sai lệch về trình tự gen, hay còn được coi là monogenic, 98 % số bệnh còn lại cần được làm sáng tỏ ở mức tương tác giữa các protein, hay còn gọi là mạng lưới protein (protein network). Bài toán đặc biệt quan trọng này của proteomics sẽ bao gồm cả việc xác định các PTMs và vai trò của chúng trong các quá trình điều hòa và tương tác protein-protein.

Nghiên cứu về proteome chính là nghiên cứu trực tiếp về chức năng của genome, và do đó có thể trả lời được các câu hỏi sau: 1) phần nào của genome được biểu hiện; 2) ở đâu, khi nào và có bao nhiêu sản phẩm được biểu hiện; 3) các sản phẩm protein bị biến đổi như thế nào và 4) các sản phẩm có những tương tác gì và kết quả của những tương tác này là gì. Bộ gen là tập hợp các thông tin mã hoá và chỉ dẫn cho quá trình tạo ra các protein, còn proteome thì phức tạp hơn nhiều. Dựa trên sự phân loại các vùng (domain) có liên quan đến các chức năng của các protein, Venter và các cộng sự đã tiến hành dự đoán và phân chia tỷ lệ của các sản phẩm protein có thể có từ hệ gen người. Cho đến nay chưa thể xác định chính xác liệu có bao nhiêu loại protein có thể có trong mỗi tế bào người. Những công bố gần đây nhất cho thấy, đã có thể xác định và chú giải cho 21 037 trình tự protein từ bộ gen người.

Cùng với sự phát triển của các kỹ thuật proteomics, ngày càng có thêm nhiều các loại protein được nhận dạng và xác định, bổ trợ cho các trình tự đã công bố của bộ gen người. Ví dụ, trong huyết thanh người, nếu như năm 2002 chỉ mới phát hiện được 490 loại protein khác nhau thì những công bố năm 2004 cho thấy con số này đã là 1.444. Năm 2005, theo kết quả xác định và so sánh của 35 phòng thí nghiệm trong dự án proteome huyết tương người của HUPO, con số này đã có thể là 3020.

Lượng thông tin phong phú do các nghiên cứu về proteome đem lại hoàn toàn bổ trợ cho những thông tin di truyền từ những nghiên cứu về genome. Proteomics sẽ là cơ sở cho sự phát triển của genomics chức năng. Sự phối hợp giữa proteomics và genomics sẽ đóng vai trò chủ đạo trong những nghiên cứu về sinh-y học, là nền tảng cho sự phát triển các sản phẩm chẩn đoán và chữa bệnh trong tương lai.

== Tài liệu tham khảo ==

* Marc Wilkins, Proteomics data mining. Expert review of proteomics. England. 2009

* Mocellin S, Rossi CR, Traldi P, Nitti D, Lise M, Molecular oncology in the post-genomic era: the challenge of proteomics, Trends Mol Med, 2004

* Banks RE, Dunn MJ, Hochsrasser DF, Sachez JC, Blackstock B, Pappin DJ & Selby PJ, Proteomics: new perspectives, new biomedical opportunities, Lancet, 2003

* Hanash S, Disease proteomics. Nature , 2003

* Anderson NL, & Anderson NG, The human plasma proteome: history, character, and diagnostic prospects, Mol Cell Proteomics, 2002

* Merrick BA, Zhou W, Martin KJ, Jeyarajah S, Parker CE, Selkirk JK, Tomer KB, Borchers CH. Site-specific phosphorylation of human p53 protein determined by mass spectrometry, Biochemistry, 2001

* MacDonald JA, Mackey AJ, Pearson WR & Haystead TA. A strategy for the rapid identification of phosphorylation sites in the phosphoproteome. Mol Cell Proteomics, 2001

* Eisenstein E, Gilliland GL, Herzberg O, Moult J, Orban J, Poljak RJ, Banerjei L, Richardson D, Howard AJ, Biological function made crystal clear: annotation of hypothetical proteins via structural genomics. Curr Opin Biotechnol, 2000

* Anderson L, Seilhamer J. A comparison of selected mRNA and protein abundances in human liver, Electrophoresis, 1997

* Wilkins MR, Sanchez JC, Gooley AA, Appel RD, Humphery-Smith I, Hochstrasser DF, Williams KL, Progress with proteome projects: why all proteins expressed by a genome should be identified and how to do it. Biotechnol Genet Eng Rev, 1996

Phương trình vi phân thường

2021-01-15T08:06:13Z

Minhpc:

{{mới}}
Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số cần tìm, đạo hàm các cấp của nó và các biến số độc lập. Lý thuyết phương trình vi phân xuất hiện vào cuối thế kỷ 17 do những đòi hỏi của cơ học, hình học và một số ngành khoa học tự nhiên. Thuật ngữ "phương trình vi phân" do Gottfried Leibniz đề xuất vào năm 1676 (xuất bản năm 1684). Các phương trình vi phân đơn giản nhất xuất hiện trong các công trình của Isaac Newton và Gottfried Leibniz. Newton khi sáng tạo ra phép tính vi phân và tích phân đã đề ra hai bài toán: từ mối liên hệ giữa các hàm số, hãy xác định mối liên hệ giữa các đạo hàm; từ phương trình chứa đạo hàm tìm mối liên hệ giữa hàm số. Đây chính là bài toán tìm đạo hàm của hàm số và bài toán giải phương trình vi phân. Phương trình vi phân có hai loại: phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng (hai phương trình đạo hàm riêng). Phương trình vi phân thường là phương trình chứa đạo hàm của một hay nhiều hàm số cùng một biến số. Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình chứa các đạo hàm riêng của các hàm số nhiều biến số. Nhiều bài toán của khoa học tự nhiên và công nghệ, cơ học, thiên văn, vật lý, cũng như của kinh tế, hóa học và sinh học dẫn đến nghiên cứu các phương trình vi phân. Phương trình vi phân mô tả các quy luật của quá trình mà ta đang xem xét. Một ví dụ đơn giản đó là Định luật 2 Newton của chuyển động về mối liên hệ giữa dịch chuyển x theo thời gian t của một vật thể có khối lượng m dưới tác động của lực F có thể mô tả bằng phương trình vi phân thường

{{NumBlk|:|<math>m \frac{d^2 x(t)}{d t^2} = F.</math>|{{EquationRef|1}}}}

Các tính toán của mạch phát quang, quỹ đạo của vệ tinh, chuyển động của các hành tinh, một số phản ứng hóa học, hay lý thuyết giao động ... đều dẫn đến phương trình vi phân thường.

Ta ký hiệu tham số không phụ thuộc là t, các hàm số của biến t chưa biết là x, y, z... và các đạo hàm theo t là x0, x00, ....x(n), ... Để ý rằng, ta cũng thường dùng các ký hiệu khác đề thay thế, ví dụ như ký hiệu theo Leibniz dx/dt, d2x/dt2, ..., dnx/dtn, ...,hoặc x, x, x cho các đạo hàm bậc thấp theo kiểu Newton.

Giả sử biến thời gian t thay đổi trên đoạn I ∈ R, hàm số f xác định trên một tập con D của Rn+1, khi đó phương trình dạng

{{NumBlk|:|<math>x^{(n)} = f(t, x, x', ..., x^{(n - 1)}</math>|{{EquationRef|2}}}}

với x(t) là ẩn số được gọi là phương trình vi phân thường dạng hiển bậc n. Bài toán Cauchy cho phương trình (2) là bài toán tìm lời giải thỏa mãn điều kiện ban đầu

{{NumBlk|:|<math>x(t_0) = x_0, x'(t_0) = x_1, ..., x^{(n - 1)} = x_n,</math>|{{EquationRef|3}}}}

với (x0, x1, . . . , xn) ∈ Rn+1. Một trong những trường hợp riêng quan trọng của (2) là phương trình vi phân tuyến tính bậc n:

{{NumBlk|:|<math>x^{(n)} + a_1(t)x^{(n - 1)} + ... + a_{n-1} \dot{x} + a_n (t)x = f(t)</math>|{{EquationRef|4}}}}

Câu hỏi là khi nào bài toán Cauchy (2)–(3) có nghiệm, hay khi nào tồn tại hàm số x(t) khả vi liên tục n lần thỏa mãn phương trình (2) và điều kiện ban đầu (3). Bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất, nếu hàm f(t, u1, . . . , un) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo các biến u1, . . . , unvà (t0, x0, . . . , xn) ∈ D.

Tổng quát hơn, phương trình vi phân thường dạng ẩn bậc n có dạng:

{{NumBlk|:|<math>f(t, x, x', ..., x^{(n)}, x^{(n)}) = 0</math>|{{EquationRef|5}}}}

Các bài toán trong thực tế nhiều khi dẫn đến hệ phương trình vi phân thường chứa một số ẩn hàm của biến thời gian và các đạo hàm của chúng theo thời gian. Mở rộng trực tiếp của phương trình (2) là hệ phương trình

x˙i = fi(t, x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n, (6)
<math>\dot{x}^i = f^i</math>
{{NumBlk|:|<math>f(t, x, x', ..., x^{(n)}, x^{(n)}) = 0</math>|{{EquationRef|6}}}}

ở đây x1, . . . , xnlà các ẩn hàm của biến thời gian t, còn fi, i = 1, . . . , n là cáchàm đã cho của các biến t, x1, . . . , xn. Bằng cách đặt

x = (x1, . . . , xn),f(x, x) = (f1(t, x), . . . , f n(t, x)),

ta có thể biểu diễn hệ phương trình trên qua dạng vector như sau

x˙ = f(t, x). (7)

Hàm vector

x = x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), t ∈ I

là nghiệm của hệ phương trình (6) hay phương trình vector (7). Bài toán Cauchy cho hệ (7) là bài toán tìm lời giải của nó thỏa mãn điều kiện ban đầu

x1(t0) = x10, . . . , xn(t0) = xn0,

hay

x(t0) = x0. (8)

Một trong những trường hợp quan trọng nhất của hệ (7) là hê phương trình tuyến tính

x˙ = A(t)x + F(t), (9)

với A(t) là ma trận n × n.

Một trường hợp quan trọng khác của hệ phương trình vi phân thường đó là hệ phương trình vi phân thường không ô-tô-nôm:

x˙ = f(x), (10)

tức là hệ với vế phải không phụ thuộc hiển vào biến t.

Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường bậc cao không bao quát hết các bài toán trong thực tế của phương trình này, mà ta còn phải xét đến các bài toán biên, bài toán nhiều điểm cho phương trình. Một trong những bài toán đặt trưng đó là bài toán biên cho phương trình Sturm-Louiville, các bài toán biên tương tự thường xuất hiện trong bài toán giá trị riêng, hàm riêng, lý thuyết phổ của toán tử vi phân.

Hướng nghiên cứu đầu tiên liên quan đến phương trình vi phân thường đó là tìm lời giải của chúng dưới dạng đóng. Tuy nhiên, từ thế kỷ 19 người ta đã chỉ ra những ví dụ mà lời giải của những phương trình này không biểu diễn được dưới dạng đóng, và chỉ trong một số ít trường hợp ta mới có thể chỉ ra công thức nghiệm ở dạng đóng, như cho phương trình Bernoulli, phương trình vi phân với vi phân toàn phần, phương trình vi phân với hệ số hằng ... Mặc dù vậy, do yêu cầu của thực tế một số nghiên cứu dành cho các phương trình không giải được ở dạng hiển (như phương trình Bessel), các hàm đặc biệt đã ra đời, các tính chất của chúng được nghiên cứu, cũng như giá trị của chúng ở dạng bảng cũng được thiết lập. Mặt khác, cũng do như cầu của thực tế, một số phương pháp xấp xỉ (phương pháp số) đã được thiết lập để giải các phương trình vi phân thường, như phương pháp xấp xỉ liên tiếp, phương pháp Adams, phương pháp RungeKutta, phương pháp sai phân...Mặc dù các phương pháp số cho ta được nghiệm gần đúng của phương trình, nhưng chúng không cho ta thấy được dáng điệu của nghiệm khi thời gian tiến ra vô cùng, cũng như không cho ta thấy bức tranh toàn cục của lời giải, tính tuần hoàn, hay giao động ... của lời giải. Lý thuyết định tính của phương trình vi phân thường do vậy đã ra đời vào cuối thế kỷ 19 và đang phát triển mạnh trong hiện tại. Vấn đề nền tảng đầu tiên của lý thuyết định tính phương trình vi phân thường là tính ổn định của nghiệm: liệu khi điều kiện ban đầu thay đổi nhỏ, nghiệm của phương trình có thay đổi nhỏ không? Khi t thay đổi trên một tập compact J của I và vế phải f(t, x) của (7) thỏa mãn điều kiện Lischitz theo x thì ta có tính ổn định của nghiệm, nghĩa là với mọi δ > 0 và với t0 ∈ J, ta có thể tìm được � > 0 sao cho lời giải x(t, t0, x∗0) của phương trình (7) với điều kiện ban đầu tại t0 bằng x∗0 xác định với t ∈ J khi |x∗ 0 − x0| < � thỏa mãn |x(t, t0, x0)−x(t, t0, x∗0)| < �. Nói một cách khác, trong đoạn compact một thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu dẫn đến một thay đổi nhỏ trong lời giải. Tuy nhiên, trong nhiều vấn đề của thực tế, ví dụ như trong lý thuyết điều khiển, khoảng thời gian ta xét không là khoảng compact (tức hữu hạn) mà khoảng vô hạn [t0,∞). Một thay đổi nhỏ trong điều kiện ban đầu dẫn đến thay đổi nhỏ trong lời giải trên cả đoạn vô hạn [t0,∞) được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov.

Phương trình (7) liên kết đạo hàm của lời giải tại thời điểm t với giá trị của nó tại chính thời điểm đó, tuy nhiên, trong nhiều bài toán thực tế, ảnh hưởng của quá trình đến ràng buộc của hệ thống không phải tức thời mà chậm hơn, để mô tả các quá trình này ta phải sử dụng phương trình vi phân có trễ:

x˙ = f(t, x(t − τ )). (11)

Đây là một hướng nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân thường.

==Tài liệu tham khảo==

* E. A. Coddington, N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.

* A. F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Sides, Kluwer, 1988.

Cơ học phân tử

2021-01-13T09:49:33Z

Minhpc:

{{mới}}
Khái niệm MM hình thành từ những năm 40 của thế kỷ 20 khi xuất hiện những gợi ý đầu tiên về việc sử dụng một phương pháp mới để mô hình hóa các phân tử theo cách định lượng hơn dựa trên sự kết hợp của các tương tác cấu hình không gian và mô hình cơ học Newton. Với sự phát triển của phương pháp động lực phân tử MM có được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các hệ thống phân tử có số lượng nguyên tử lớn và rất lớn.

MM sử dụng cơ học cổ điển để mô hình hóa các hệ thống phân tử. Mỗi nguyên tử được mô phỏng như một hạt hình cầu. Mỗi hạt được gán một bán kính (thường là bán kính van der Waals), độ phân cực và điện tích không đổi (thường được lấy từ các tính toán lượng tử và / hoặc thí nghiệm). Chuyển động của các nguyên tử này có thể được mô tả bằng các định luật vật lý cổ điển và những hàm thế đơn giản. Thế năng của hệ được tính như là một hàm của tọa độ các hạt.

Bởi vì MM bỏ qua cấu hình electron nên về nguyên tắc nó chỉ nghiên cứu các trạng thái đáy (ground) có năng lượng 0 (gọi tắt là trạng thái 0) và vì vậy, cũng không cho phép nghiên cứu các phản ứng hoá học. Mặt khác MM chỉ cho kết quả chính xác khi chúng ta có một hàm thế và các tham số chính xác. Đây chính là các hạn chế cơ bản của MM. Tuy vậy, cách mô tả của MM rất trực giác và thuận lợi khi mô tả cấu trúc cũng như các quá trình chuyển dịch nội phân tử (dao động).

Theo MM năng lượng của phân tử Ept được tính như là tổng của các tương tác lập thể và phi liên kết hiện có. Vì thế, mỗi độ dài liên kết, góc liên kết và nhị diện được xử lý riêng biệt trong khi các tương tác phi liên kết biểu diễn ảnh hưởng của các lực phi hoá trị.

<math>E_{pt} = E_{lk} + E_{\theta} + E_{\omega} + E_{plk}</math>

trong đó Elk , Eθ, Eω, Eplk lần lượt là tổng các năng lượng kéo căng liên kết, năng lượng khép góc liên kết, năng lượng xoắn góc nhị diện và năng lượng phi liên kết.

==Năng lượng kéo căng liên kết==

Tính chất dao động đặc trưng của một liên kết giữa hai nguyên tử là gần với dao động điều hoà nhưng có xu hướng phân rã ở khoảng cách lớn. Mô tả chính xác nhất của lực kéo căng là hàm Morse:

<math>E_1 = \sum D_e [1 - exp(-\alpha(1 - 1_0))]^2</math>

trong đó l0 là độ dài liên kết cân bằng. De là năng lượng phân ly và cũng là hằng số lực. Tuy vậy, vì tính toán hàm exp cần nhiều thời gian máy tính nên nhiều khi người ta dùng thế điều hoà

<math>E_1 = k_l(l - l_0)^2</math>

kl là hằng số lực kéo căng mô tả sự biến dạng. Cách mô tả sự kéo căng liên kết cũng tương tự như kéo căng lò xo nên thế điều hòa không mô tả tính chất thực của liên kết. Vì thế đôi khi người ta bổ sung thêm một số hạng bậc 3 của khoảng cách (l-l0) vào để có thể mô tả phù hợp hơn với bản chất của liên kết.

<math>E_1 = k_k(l - l_0)^2 + k'_l(l - l_0)^3</math>

==Năng lượng khép góc liên kết==

Năng lượng khép góc liên kết được xử lý theo cùng một cách với năng lượng kéo căng liên kết và thường được biểu diễn bằng một hàm điều hoà

<math>E_{\theta} = \sum k_{\theta} (\theta - \theta _0)^2</math>

trong đó k là hằng số lực, θ0 là giá trị cân bằng của góc liên kết. Biểu thức này cũng không đúng trong vùng góc liên kết lớn và vì vậy, người ta phải bổ sung thêm các số hạng bậc cao hơn.

==Năng lượng xoắn góc nhị diện==

Trong những tính toán trước đây người ta hay bỏ qua lực này và thay bằng tương tác phi liên kết khi tính toán sự khác biệt năng lượng giữa các cấu hình cis-trans. Sau này, người ta phải đưa vào số hạng góc nhị diện có dạng Fourier với những phân tử đơn giản

<math>E_{\omega} = \sum V_n (1 + s\ \text{cos}n\omega )</math>

trong đó Vn là chiều cao hàng rào năng lượng quay, n là bậc tuần hoàn quay (tức là với etan n=3 và eten n=2) s=1 với cực tiểu xen kẽ (stagger), s=-1 với các cực tiểu chồng lấn (eclipsed). Với các phân tử phức tạp sự quay dẫn đến thay đổi tính đối xứng của phân tử nên cần bổ sung thêm các số hạng Fourier khác, chẳng hạn như:

<math>\frac{K_1}{2} (1 + \text{cos}(\varphi)) + \frac{K_2}{2} (1 - \text{cos}(2\varphi) + \frac{K_3}{2} (1 + \text{cos}(3\varphi))</math>

==Tương tác phi liên kết==

Các tương tác đã được trình bày ở trên thuộc nhóm các tương tác liên kết do chúng được xác định bởi sự kết nối giữa các nguyên tử trong phân tử. Tương tác phi liên kết chỉ phụ thuộc vào khoảng cách và được tính với tổng tất cả các nguyên tử có khoảng cách 1-4 (tức là từ nguyên tử thứ nhất đến nguyên tử thứ tư) hoặc xa hơn trong phân tử. Tương tác phi liên kết thường bao gồm hai phần: van der Waals và tĩnh điện. Phần đầu có thể được xem như bao gồm các tham số kích thước và biểu diễn tương quan electron (do hệ quả của tương tác giữa các dipol tức thời). Phần sau cung cấp một thước đo định lượng ảnh hưởng của tính phân cực đến năng lượng và cấu trúc.

Có nhiều dạng hàm khác nhau đã được sử dụng để biểu diễn tương tác van der Waals nhưng phổ biến nhất vẫn là tương tác Lennard-Jones 6-12.

<math>E_w = \varphi _{LJ} (r) = \sum 4 \varepsilon [(\sigma / r)^{12} - (\sigma / r)^6]</math>

Trong đó ε là độ sâu của giếng thế, σ là khoảng cách có năng lượng tương tác bằng 0. Lực đẩy có dạng r-12 và lực hút - khuyếch tán London - có dạng r-6. Ở khoảng cách ngắn lực đẩy thống trị. Thế L-J 6-12 được xếp vào loại thế tương tác có khoảng tác dụng gần. Các tham số thế L-J 6-12 phân biệt theo loại nguyên tử và được xác định từ thực nghiệm. Các tham số cho các cặp nguyên tử khác loại εij và rmij có thể được tính tương đối chính xác từ các tham số của các cặp nguyên tử cùng loại εii và rmii. εij là trung bình nhân của các tham số εii và εjj; rmij là trung bình cộng của các tham số rmii và rmjj. Trong quá trình tính toán hàm thế được cắt tại khoảng cách rc = (2.5÷3.5) rm.Vì vậy ta có thể viết:

<math>\varphi _k (r) = \varphi _k *(r) - \varphi _{k0}</math>

trong đó φk0=φk(rc). Khi tính toán các đại lượng nhiệt động thế φk0 được bổ sung trở lại. Một dạng khác của tương tác van der Waals vẫn giữ lực hút dưới dạng r-6 nhưng thay lực đẩy bằng dạng exponien A exp(-Br). Về cơ bản hàm này tương tự dạng của L-J6-12 ở vùng khoảng cách trung bình nhưng ở vùng cực ngắn r0 hàm thế có giá trị âm. Điều này không có ý nghĩa vật lý.

Phần thứ hai của tương tác phi liên kết là tương tác tĩnh điện:

<math>E_el = \sum q_i q_j / Dr_{ij}</math>

trong đó D là hằng số điện môi, qi, qj là điện tích ion.

Do tính chất đơn giản của nó mà MM có thể được sử dụng để nghiên cứu các hệ thống phân tử có kích thước và độ phức tạp từ các hệ thống sinh học nhỏ đến lớn hoặc các tổ hợp vật chất với hàng ngàn đến hàng triệu nguyên tử.

==Tài liệu tham khảo==

* Đặng Ứng Vận, Động lực học các phản ứng hóa học, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2003

* Lennard-Jones potential https://en.wikipedia.org/wiki/Lennard-Jones_potential

Nguyên tố phóng xạ tự nhiên

2021-01-12T10:07:03Z

Minhpc:

==Định nghĩa==
Một nguyên tố được gọi là nguyên tố phóng xạ nếu tất cả các đồng vị của nó đều là đồng vị phóng xạ, không có đồng vị nào là bền. Những nguyên tố phóng xạ có trong tự nhiên với nồng độ đáng kể gọi là '''nguyên tố phóng xạ tự nhiên''' (NTPXTN).

NTPXTN được tìm thấy đầu tiên được liệt kê trong bảng 1.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 1. Các nguyên tố phóng xạ tự nhiên
|-
! style="width: 3em; margin-left: auto; margin-right: auto;" | Điện tích hạt nhân Z !! style="width: 10em;" | Tên và ký hiệu hoá học !! style="width: 15em;" | Đồng vị sống dài nhất !! style="width: 10em;" | Người và năm phát minh !! style="width: 15em;" | Đặc điểm quan trọng
|-
| 84 || Poloni (Po) || 209Po (102 năm) || 1898 P.& M. Curie || Về mặt hoá học giống tellur
|-
| 85 || Astati (At) || 210At (8,1 h) || 1940 Corson, McKenzie & Segrè || Thuộc nhóm halogen, ở dạng đơn chất dễ bay hơi
|-
| 86 || Radon (Rn) || 222Rn (3,62 ngày) || 1900 Rutherford, Soddy || Khí trơ
|-
| 87 || Franxi (Fr) || 223Fr (22 min) || 1939 Perey || Kim loại kiềm thổ, về hoá học rất giống Xêsi
|-
| 88 || Rađi (Ra) || 226Ra (1600 năm) || 1898 P.& M. Curie || Kim loại kiềm thổ, về hoá học rất giống bari
|-
| 89 || Actini (Ac) || 227Ac (21,6 năm) || 1899 Debierne || Về mặt hoá học giống lantanit, tính bazơ mạnh hơn
|-
| 90 || Thori (Th) || 232Th (1,41.1010 năm) || 1828 Berzelius || Thường chỉ thể hiện hoá trị (IV), Tạo ra nhiều phức chất, Th4+ thuỷ phân mạnh, về mặt hoá học giống Ce4+, Zr4+, Hf4+.
|-
| 91 || Protactini (Pa) || 231Pa (3,28.104 năm) || 1917 Hahn & Meitner || Chủ yếu có số oxi hoá (V), ion Pa5+ bị thuỷ phân mạnh trong dung dịch, tạo phức mạnh, hình thành keo phóng xạ.
|-
| 92 || Urani (U) || 238U (4,47.109 năm) || 1789 Klaproth || Thể hiện các số oxi hoá từ (III) đến (VI) (-u tiên hoá trị (VI), tạo thành các ion U4+, UO2+ và UO22+ trong dung dịch.)
|}

Các nguyên tố urani và thori đã được các nhà hóa học biết từ lâu trước khi phát hiện ra hiện tượng phóng xạ. Chúng có mặt trong nhiều loại quặng, đất đá, nước sông biển, không khí và trong cơ thể động thực vật. Một số đồng vị của urani và thori có thời gian bán hủy dài đến mức là chúng đã có mặt trong vỏ trái đất từ khi quả đất hình thành cho đến tận bây giờ.

Các đồng vị của thori và urani là các đồng vị mẹ của 3 họ phóng xạ: họ thori, họ urani-radi và họ actini.

*Họ phóng xạ thori bao gồm các đồng vị con cháu: Th-232; Ra 228 (MsTh1); Ac 238 (MsTh2); Th228 (RdTh); Ra-224 (ThX); Rn-220 (Tn); Po-216 (ThA); Pb-212(ThB); Bi-212(ThC); Po-212
(ThC’); Tl-208 (ThC’’); Pb-208 (ThD)

*Họ phóng xạ urani-radi bao gồm: U-238 (UI); Th-234 (UX1); Pa-234 (UX2); Pa-234 (UZ); U234(UII); Th-230(I0); Ra-226; Rn (222); Po-218 (RaA); Pb-214(RaB); At-218 Bi-214(RaC);Po214(RaC’);Th-210(RaC’’);Pb-210(RaD);Hg-206;Bi-210 (RaE);Tl-206 (RaE’); Po-210(Ra F); Pb206 (RaG)

*Họ phóng xạ actini bao gồm: U-235 (AcU); Th-232 (UY); Pa-231; Ac-235; Th-227(RdAc);Fr223 (AcK); Ra-223 (AcX); At-219; Rn-219(An); Bi-215; Po-215 (Ac);Pb-211 (AcB); At-215; Bi211 (AcC); Po-211m; Po211(Ac’); Tl-207 (AcC’’); Pb-224 (AcD)

Một phần nhỏ các chất phóng xạ trong tự nhiên nằm trong khí quyển là các nguyên tố nhẹ, như 14C, 10Be, 7Be và 3H. Bảng 2 thống kê các nguyên tố phóng xạ tự nhiên có thời gian bán huỷ > 1 ngày.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 2. Các đồng vị phóng xạ tự nhiên có thời gian bán hủy > 1 ngày
|-
! style="width:5em;" | Ký hiệu !! Thời gian bán huỷ !! Dạng bức xạ !! style="width:10em;" | Hàm lượng đồng vị trong tự nhiên (%) !! style="width:10em;" | Chú thích
|-
| 238U (UI=Urani) || 4,47.109(năm) || α, γ, e-(sf) || 99,276 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 234U (UII) || 2,44.105(năm) || α, γ, e-(sf) || 0,0055 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 234Th (UX1) || 24,1 (ngày) || β-, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 230Th (Ioni) || 7,7.104(năm) || α, γ (sf) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 236Ra (Radi) || 1600 (năm) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ urani
|-
| 222Rn (Radon) || 3,82 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Po (RaF) || 138,4 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Bi (RaE) || 5,0 (ngày) || β-, γ(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Pb (RaD) || 22,3 (năm) || β-, γ, e-(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 235U (AcU=Actinourani) || 7,04.104(năm) || α, γ (sf) || 0,720 || style="border-style: solid solid none solid;" |
|-
| 231Th (UY) || 25,5 (giờ) || β-, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 231Pa (Protactini) || 3,28.104(năm) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ actini
|-
| 227Th (RdAc=Radioactini) || 18,72 (ngày) || α, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 227Ac (Actini) || 21,6 (năm) || β-, γ, e-(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 223Ra (AcX=Actini X) || 11,43 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid solid solid;" |
|-
| 232Th (Thori) || 1,405.1010 (năm) || α, γ, e-(sf) || 100 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 228Th (RdTh=Radiothori) || 1,91.109(năm) || α, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 228Ra (MsTh1=Mesothori 1) || 5,75 (năm) ||β-, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ thori
|-
| 224Ra (ThX=Thori X) || 3,66 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid solid solid;" |
|-
| 204Pb || 1,4.1017 (năm) || α || 1,4 ||
|-
| 190Pt || 6,1.1011 (năm) || α || 0,0127 ||
|-
| 186Os || 2,0.1015 (năm) || α || 1,6 ||
|-
| 187Re || 5.1010 (năm) || β- || 62,60 ||
|-
| 174Hf || 2,0.1015 (năm) || α || 0,18 ||
|-
| 176Lu || 3,6.109(năm) || β-, γ, e- || 2,60 ||
|-
| 152Gd || 1,1.1014 (năm) || α || 0,20 ||
|-
| 147Sm || 1,05.1011 (năm) || α || 15,0 ||
|-
| 148Sm || 7.1015 (năm) || α || 11,2 ||
|-
| 144Nd || 2,1.1015 (năm) || α || 23,9 ||
|-
| 138La || 1,35.1011 (năm) || ε, β-, γ || 0,09 ||
|-
| 123Te || 1,24.1013 (năm) || ε || 0,87 ||
|-
| 115In || 5,1.1015 (năm) || β- || 95,7 ||
|-
| 113Cd || 9.1015 (năm) || β- || 12,3 ||
|-
| 87Rb || 4,7.1010 (năm) || β- || 27,83 ||
|-
| 40K || 1,28.109(năm) || β-, ε, β+, γ || 0,012 ||
|-
| 14C || 5730 (năm) || β- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 10Be || 1,6.106 (năm) || β- || || style="border-style: none solid none solid;" | Xuất hiện trong khí quyển do các tia vũ trụ
|-
| 7Be || 53,4 (ngày) || ε, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 3H || 12,346 (năm) || β- || || style="border-style: none solid solid solid;" |
|}

==Nguồn gốc và phân bố NTPXTN==

Dễ dàng thấy rằng phần lớn các nguyên tố phóng xạ tự nhiên là các nguyên tố nặng, phân bố rộng rãi trong thạch quyển, quan trọng nhất là quặng urani, quặng thori, bao gồm cả các sản phẩm phân rã của urani và thori, các mỏ muối kali. (Bảng 3.)

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 3. Các khoáng vật của urani và thori
|-
! Khoáng vật !! Thành phần hoá học !! Hàm lượng Urani (%) !! Hàm lượng Thori (%) !! Mỏ
|-
| Pitchblende || U3O3 || 60 - 90 || || Bohemia, Congo, Colorado (Mỹ)
|-
| Becquerelit || 2UO3.3H2O || 74 || || Bayern (Đức), Congo
|-
| Uraninit || rowspan="3" | UO2.UO3 || 65 - 75 || 0,5 - 10 || Nhật, Mỹ, Canađa
|-
| Broeggerit || 48 - 75 || 6 - 12 || Na-uy
|-
| Cleveit || 48 - 66 || 3,5 - 4,5 || Na-uy, Nhật, Texas (Mỹ)
|-
| Autunit || Ca(UO2)2(PO4)2.nH2O || 50-60 || || Pháp, Mađagasca, Bồ-đào-nha, Mỹ
|-
| Cacnotit || K(UO2)2(VO4)nH2O || ≈45 || || Mỹ, Congo, Nga, Úc
|-
| Casolit || PbO.UO3.SiO2.H2O || ≈40 || || Congo
|-
| Liebigit || Carbonat của U và Ca || ≈30 || || Nga, Australia
|-
| Thorianit || (Th,U)O2 || 4 - 28 || 60 - 90 || Xaylan, Mađagasca
|-
| Thorit || ThSiO4.H2O || 1 - 19 || 40 - 70 || Na-uy, Mỹ.
|-
| Monazit || Photphat của Th và đất hiếm || || 0,1 - 15 || Brazin, Ấn Độ, Nga, Na-uy, Mađagasca
|}

Người ta cho rằng năng lượng kèm theo sự phân rã của các chất phóng xạ tự nhiên đóng góp một phần vào nhiệt độ của vỏ trái đất. Nhiệt độ tương đối caom vào khoảng 30°C ở độ sâu từ 1 đến một vài km tính từ bề mặt trái đất, được giải thích bởi năng lương phân rã của các chất phóng xạ tự nhiên, chẳng hạn trong đá granit.

Do những rạn vỡ của vỏ trái đất và quá trình phong hoá, các nguyên tố phóng xạ di chuyển đi nơi khác và các cân bằng phóng xạ bị vi phạm. Các nguyên tố phóng xạ tách khỏi đất đá chứa các nguyên tố mẹ - urani và thori. Các nguyên tố phóng xạ ngắn ngày nhanh chóng biến mất, chỉ còn lại các nguyên tố phóng xạ dài ngày như 230Th, 231Pa và 226Ra. Nhưng các nguyên tố dài ngày này tạo thành những thể sa lắng thứ cấp, chẳng hạt các lớp sét màu xám và các bùn lắng trong hồ nước chứa Ra.

Ra có mặt trong đất, nước sông và nước biển. Do sự hiện diện rộng rãi của Ra trong tự nhiên, các hồ nước và khí quyển đều chứa các sản phẩm phân rã của nguyên tố này như: radon, thoron và actinon. Các sản phẩm khác của sự xạ khí , như các đồng vị của thali, chì, bismur, polonium và astatin, tồn tại ở trạng thái bụi trong không khí hoặc hoà tan trong nước.

Các nguyên tố phóng xạ tự nhiên chuyển từ đất vào thực vật và sau đó vào cơ thể động vật. Hàm lượng urani trong cây cối khoảng từ 10-5 đến 10-8%, của radi khoảng 10-12%. Hàm lương radi trong cơ thể động vật chừng 10-12%.

Ngoài urani, thori và các sản phẩm phân rã của chúng, trong tự nhiên cũng tồn tại các nguyên tố phóng xạ khác như các đồng vị phóng xạ của kali, canxi, rubidi...(xem bảng 2.). Hàm lượng của các nguyên tố này trong vỏ trái đất vào khoảng 0,1%. Cũng vì vậy trong cây cối và cơ thể động vật, ngoài urani, thori, radi và các sản phẩm phân rã của chúng, còn có các nguyên tố phóng xạ khác, chẳng hạn một lượng đáng kể đồng vị 40K.

Ngoài các quá trình phân rã phóng xạ tạo ra đồng vị thuộc các họ urani, actino-urani và thori, trong tự nhiên còn diễn ra nhiều quá trình hạt nhân dẫn đến sự hình thành các đồng vị phóng xạ. Hành tinh của chúng ta, các thiên thể khác cùng với không gian vũ trụ có thể xem là một phòng thí nghiệm đặc biệt, ở đó luôn diễn ra vô số các phản ứng hạt nhân với sự tạo thành nhiều đồng vị phóng xạ.

Các tia vũ trụ tác động lên không khí (hỗn hợp nitơ và oxi) có thể kích hoạt hạt nhân nguyên tử của chúng mà kết quả là xuất hiện các nơtron nhanh. Neutron bắn phá các hạt nhân nitơ tạo thành đồng vị 14C do phản ứng 147N(n,p)146C. Quá trình ấy tạo ra một lượng lớn 14C trong khí quyển nằm dưới dạng phân tử carbon dioxide (CO2) có thời gian bán huỷ là 5760 năm. Trong nhiều thế kỷ, cường độ của các tia vũ trụ hiển nhiên không hề thay đổi. Cacbon dioxide liên tục được tạo thành với tốc độ không đổi trong khí quyển. Sự phân rã 14C trong CO2 cũng diễn ra với tốc độ không đổi. Kết quả là CO2 trong khí quyển chứa một tỷ lệ bất biến CO2 phóng xạ. CO2 này được cây cối hấp thụ khi quang hợp làm cho hàm lượng cacbon phóng xạ trong động thực cũng không đổi.

==Tài liệu tham khảo==

* Đỗ Quý Sơn, Huỳnh Văn Trung, Cơ sở Hóa học phóng xạ, NXB Khoa học và kỹ thuật, 2008

* K.H. Lieser, Nuclear and Radiochemistry Fundamentals and applications, WILEY-VCH, Weihem, 2001

Nguyên tố phóng xạ tự nhiên

2021-01-12T10:06:02Z

Minhpc:

==Định nghĩa==
Một nguyên tố được gọi là nguyên tố phóng xạ nếu tất cả các đồng vị của nó đều là đồng vị phóng xạ, không có đồng vị nào là bền. Những nguyên tố phóng xạ có trong tự nhiên với nồng độ đáng kể gọi là '''nguyên tố phóng xạ tự nhiên''' (NTPXTN).

NTPXTN được tìm thấy đầu tiên được liệt kê trong bảng 1.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 1. Các nguyên tố phóng xạ tự nhiên
|-
! style="width: 3em; margin-left: auto; margin-right: auto;" | Điện tích hạt nhân Z !! style="width: 10em;" | Tên và ký hiệu hoá học !! style="width: 15em;" | Đồng vị sống dài nhất !! style="width: 10em;" | Người và năm phát minh !! style="width: 15em;" | Đặc điểm quan trọng
|-
| 84 || Poloni (Po) || 209Po (102 năm) || 1898 P.& M. Curie || Về mặt hoá học giống tellur
|-
| 85 || Astati (At) || 210At (8,1 h) || 1940 Corson, McKenzie & Segrè || Thuộc nhóm halogen, ở dạng đơn chất dễ bay hơi
|-
| 86 || Radon (Rn) || 222Rn (3,62 ngày) || 1900 Rutherford, Soddy || Khí trơ
|-
| 87 || Franxi (Fr) || 223Fr (22 min) || 1939 Perey || Kim loại kiềm thổ, về hoá học rất giống Xêsi
|-
| 88 || Rađi (Ra) || 226Ra (1600 năm) || 1898 P.& M. Curie || Kim loại kiềm thổ, về hoá học rất giống bari
|-
| 89 || Actini (Ac) || 227Ac (21,6 năm) || 1899 Debierne || Về mặt hoá học giống lantanit, tính bazơ mạnh hơn
|-
| 90 || Thori (Th) || 232Th (1,41.1010 năm) || 1828 Berzelius || Thường chỉ thể hiện hoá trị (IV), Tạo ra nhiều phức chất, Th4+ thuỷ phân mạnh, về mặt hoá học giống Ce4+, Zr4+, Hf4+.
|-
| 91 || Protactini (Pa) || 231Pa (3,28.104 năm) || 1917 Hahn & Meitner || Chủ yếu có số oxi hoá (V), ion Pa5+ bị thuỷ phân mạnh trong dung dịch, tạo phức mạnh, hình thành keo phóng xạ.
|-
| 92 || Urani (U) || 238U (4,47.109 năm) || 1789 Klaproth || Thể hiện các số oxi hoá từ (III) đến (VI) (-u tiên hoá trị (VI), tạo thành các ion U4+, UO2+ và UO22+ trong dung dịch.)
|}

Các nguyên tố urani và thori đã được các nhà hóa học biết từ lâu trước khi phát hiện ra hiện tượng phóng xạ. Chúng có mặt trong nhiều loại quặng, đất đá, nước sông biển, không khí và trong cơ thể động thực vật. Một số đồng vị của urani và thori có thời gian bán hủy dài đến mức là chúng đã có mặt trong vỏ trái đất từ khi quả đất hình thành cho đến tận bây giờ.

Các đồng vị của thori và urani là các đồng vị mẹ của 3 họ phóng xạ: họ thori, họ urani-radi và họ actini.

*Họ phóng xạ thori bao gồm các đồng vị con cháu: Th-232; Ra 228 (MsTh1); Ac 238 (MsTh2); Th228 (RdTh); Ra-224 (ThX); Rn-220 (Tn); Po-216 (ThA); Pb-212(ThB); Bi-212(ThC); Po-212
(ThC’); Tl-208 (ThC’’); Pb-208 (ThD)

*Họ phóng xạ urani-radi bao gồm: U-238 (UI); Th-234 (UX1); Pa-234 (UX2); Pa-234 (UZ); U234(UII); Th-230(I0); Ra-226; Rn (222); Po-218 (RaA); Pb-214(RaB); At-218 Bi-214(RaC);Po214(RaC’);Th-210(RaC’’);Pb-210(RaD);Hg-206;Bi-210 (RaE);Tl-206 (RaE’); Po-210(Ra F); Pb206 (RaG)

*Họ phóng xạ actini bao gồm: U-235 (AcU); Th-232 (UY); Pa-231; Ac-235; Th-227(RdAc);Fr223 (AcK); Ra-223 (AcX); At-219; Rn-219(An); Bi-215; Po-215 (Ac);Pb-211 (AcB); At-215; Bi211 (AcC); Po-211m; Po211(Ac’); Tl-207 (AcC’’); Pb-224 (AcD)

Một phần nhỏ các chất phóng xạ trong tự nhiên nằm trong khí quyển là các nguyên tố nhẹ, như 14C, 10Be, 7Be và 3H. Bảng 2 thống kê các nguyên tố phóng xạ tự nhiên có thời gian bán huỷ > 1 ngày.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 2. Các đồng vị phóng xạ tự nhiên có thời gian bán hủy > 1 ngày
|-
! style="width:5em;" | Ký hiệu !! Thời gian bán huỷ !! Dạng bức xạ !! style="width:10em;" | Hàm lượng đồng vị trong tự nhiên (%) !! style="width:10em;" | Chú thích
|-
| 238U (UI=Urani) || 4,47.109(năm) || α, γ, e-(sf) || 99,276 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 234U (UII) || 2,44.105(năm) || α, γ, e-(sf) || 0,0055 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 234Th (UX1) || 24,1 (ngày) || β-, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 230Th (Ioni) || 7,7.104(năm) || α, γ (sf) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 236Ra (Radi) || 1600 (năm) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ urani
|-
| 222Rn (Radon) || 3,82 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Po (RaF) || 138,4 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Bi (RaE) || 5,0 (ngày) || β-, γ(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Pb (RaD) || 22,3 (năm) || β-, γ, e-(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 235U (AcU=Actinourani) || 7,04.104(năm) || α, γ (sf) || 0,720 || style="border-style: solid solid none solid;" |
|-
| 231Th (UY) || 25,5 (giờ) || β-, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 231Pa (Protactini) || 3,28.104(năm) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ actini
|-
| 227Th (RdAc=Radioactini) || 18,72 (ngày) || α, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 227Ac (Actini) || 21,6 (năm) || β-, γ, e-(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 223Ra (AcX=Actini X) || 11,43 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid solid solid;" |
|-
| 232Th (Thori) || 1,405.1010 (năm) || α, γ, e-(sf) || 100 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 228Th (RdTh=Radiothori) || 1,91.109(năm) || α, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 228Ra (MsTh1=Mesothori 1) || 5,75 (năm) ||β-, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ thori
|-
| 224Ra (ThX=Thori X) || 3,66 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 204Pb || 1,4.1017 (năm) || α || 1,4 || style="border-style: none solid solid solid;" |
|-
| 190Pt || 6,1.1011 (năm) || α || 0,0127 ||
|-
| 186Os || 2,0.1015 (năm) || α || 1,6 ||
|-
| 187Re || 5.1010 (năm) || β- || 62,60 ||
|-
| 174Hf || 2,0.1015 (năm) || α || 0,18 ||
|-
| 176Lu || 3,6.109(năm) || β-, γ, e- || 2,60 ||
|-
| 152Gd || 1,1.1014 (năm) || α || 0,20 ||
|-
| 147Sm || 1,05.1011 (năm) || α || 15,0 ||
|-
| 148Sm || 7.1015 (năm) || α || 11,2 ||
|-
| 144Nd || 2,1.1015 (năm) || α || 23,9 ||
|-
| 138La || 1,35.1011 (năm) || ε, β-, γ || 0,09 ||
|-
| 123Te || 1,24.1013 (năm) || ε || 0,87 ||
|-
| 115In || 5,1.1015 (năm) || β- || 95,7 ||
|-
| 113Cd || 9.1015 (năm) || β- || 12,3 ||
|-
| 87Rb || 4,7.1010 (năm) || β- || 27,83 ||
|-
| 40K || 1,28.109(năm) || β-, ε, β+, γ || 0,012 ||
|-
| 14C || 5730 (năm) || β- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 10Be || 1,6.106 (năm) || β- || || style="border-style: none solid none solid;" | Xuất hiện trong khí quyển do các tia vũ trụ
|-
| 7Be || 53,4 (ngày) || ε, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 3H || 12,346 (năm) || β- || || style="border-style: none solid solid solid;" |
|}

==Nguồn gốc và phân bố NTPXTN==

Dễ dàng thấy rằng phần lớn các nguyên tố phóng xạ tự nhiên là các nguyên tố nặng, phân bố rộng rãi trong thạch quyển, quan trọng nhất là quặng urani, quặng thori, bao gồm cả các sản phẩm phân rã của urani và thori, các mỏ muối kali. (Bảng 3.)

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 3. Các khoáng vật của urani và thori
|-
! Khoáng vật !! Thành phần hoá học !! Hàm lượng Urani (%) !! Hàm lượng Thori (%) !! Mỏ
|-
| Pitchblende || U3O3 || 60 - 90 || || Bohemia, Congo, Colorado (Mỹ)
|-
| Becquerelit || 2UO3.3H2O || 74 || || Bayern (Đức), Congo
|-
| Uraninit || rowspan="3" | UO2.UO3 || 65 - 75 || 0,5 - 10 || Nhật, Mỹ, Canađa
|-
| Broeggerit || 48 - 75 || 6 - 12 || Na-uy
|-
| Cleveit || 48 - 66 || 3,5 - 4,5 || Na-uy, Nhật, Texas (Mỹ)
|-
| Autunit || Ca(UO2)2(PO4)2.nH2O || 50-60 || || Pháp, Mađagasca, Bồ-đào-nha, Mỹ
|-
| Cacnotit || K(UO2)2(VO4)nH2O || ≈45 || || Mỹ, Congo, Nga, Úc
|-
| Casolit || PbO.UO3.SiO2.H2O || ≈40 || || Congo
|-
| Liebigit || Carbonat của U và Ca || ≈30 || || Nga, Australia
|-
| Thorianit || (Th,U)O2 || 4 - 28 || 60 - 90 || Xaylan, Mađagasca
|-
| Thorit || ThSiO4.H2O || 1 - 19 || 40 - 70 || Na-uy, Mỹ.
|-
| Monazit || Photphat của Th và đất hiếm || || 0,1 - 15 || Brazin, Ấn Độ, Nga, Na-uy, Mađagasca
|}

Người ta cho rằng năng lượng kèm theo sự phân rã của các chất phóng xạ tự nhiên đóng góp một phần vào nhiệt độ của vỏ trái đất. Nhiệt độ tương đối caom vào khoảng 30°C ở độ sâu từ 1 đến một vài km tính từ bề mặt trái đất, được giải thích bởi năng lương phân rã của các chất phóng xạ tự nhiên, chẳng hạn trong đá granit.

Do những rạn vỡ của vỏ trái đất và quá trình phong hoá, các nguyên tố phóng xạ di chuyển đi nơi khác và các cân bằng phóng xạ bị vi phạm. Các nguyên tố phóng xạ tách khỏi đất đá chứa các nguyên tố mẹ - urani và thori. Các nguyên tố phóng xạ ngắn ngày nhanh chóng biến mất, chỉ còn lại các nguyên tố phóng xạ dài ngày như 230Th, 231Pa và 226Ra. Nhưng các nguyên tố dài ngày này tạo thành những thể sa lắng thứ cấp, chẳng hạt các lớp sét màu xám và các bùn lắng trong hồ nước chứa Ra.

Ra có mặt trong đất, nước sông và nước biển. Do sự hiện diện rộng rãi của Ra trong tự nhiên, các hồ nước và khí quyển đều chứa các sản phẩm phân rã của nguyên tố này như: radon, thoron và actinon. Các sản phẩm khác của sự xạ khí , như các đồng vị của thali, chì, bismur, polonium và astatin, tồn tại ở trạng thái bụi trong không khí hoặc hoà tan trong nước.

Các nguyên tố phóng xạ tự nhiên chuyển từ đất vào thực vật và sau đó vào cơ thể động vật. Hàm lượng urani trong cây cối khoảng từ 10-5 đến 10-8%, của radi khoảng 10-12%. Hàm lương radi trong cơ thể động vật chừng 10-12%.

Ngoài urani, thori và các sản phẩm phân rã của chúng, trong tự nhiên cũng tồn tại các nguyên tố phóng xạ khác như các đồng vị phóng xạ của kali, canxi, rubidi...(xem bảng 2.). Hàm lượng của các nguyên tố này trong vỏ trái đất vào khoảng 0,1%. Cũng vì vậy trong cây cối và cơ thể động vật, ngoài urani, thori, radi và các sản phẩm phân rã của chúng, còn có các nguyên tố phóng xạ khác, chẳng hạn một lượng đáng kể đồng vị 40K.

Ngoài các quá trình phân rã phóng xạ tạo ra đồng vị thuộc các họ urani, actino-urani và thori, trong tự nhiên còn diễn ra nhiều quá trình hạt nhân dẫn đến sự hình thành các đồng vị phóng xạ. Hành tinh của chúng ta, các thiên thể khác cùng với không gian vũ trụ có thể xem là một phòng thí nghiệm đặc biệt, ở đó luôn diễn ra vô số các phản ứng hạt nhân với sự tạo thành nhiều đồng vị phóng xạ.

Các tia vũ trụ tác động lên không khí (hỗn hợp nitơ và oxi) có thể kích hoạt hạt nhân nguyên tử của chúng mà kết quả là xuất hiện các nơtron nhanh. Neutron bắn phá các hạt nhân nitơ tạo thành đồng vị 14C do phản ứng 147N(n,p)146C. Quá trình ấy tạo ra một lượng lớn 14C trong khí quyển nằm dưới dạng phân tử carbon dioxide (CO2) có thời gian bán huỷ là 5760 năm. Trong nhiều thế kỷ, cường độ của các tia vũ trụ hiển nhiên không hề thay đổi. Cacbon dioxide liên tục được tạo thành với tốc độ không đổi trong khí quyển. Sự phân rã 14C trong CO2 cũng diễn ra với tốc độ không đổi. Kết quả là CO2 trong khí quyển chứa một tỷ lệ bất biến CO2 phóng xạ. CO2 này được cây cối hấp thụ khi quang hợp làm cho hàm lượng cacbon phóng xạ trong động thực cũng không đổi.

==Tài liệu tham khảo==

* Đỗ Quý Sơn, Huỳnh Văn Trung, Cơ sở Hóa học phóng xạ, NXB Khoa học và kỹ thuật, 2008

* K.H. Lieser, Nuclear and Radiochemistry Fundamentals and applications, WILEY-VCH, Weihem, 2001

Nguyên tố phóng xạ tự nhiên

2021-01-12T10:05:31Z

Minhpc:

==Định nghĩa==
Một nguyên tố được gọi là nguyên tố phóng xạ nếu tất cả các đồng vị của nó đều là đồng vị phóng xạ, không có đồng vị nào là bền. Những nguyên tố phóng xạ có trong tự nhiên với nồng độ đáng kể gọi là '''nguyên tố phóng xạ tự nhiên''' (NTPXTN).

NTPXTN được tìm thấy đầu tiên được liệt kê trong bảng 1.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 1. Các nguyên tố phóng xạ tự nhiên
|-
! style="width: 3em; margin-left: auto; margin-right: auto;" | Điện tích hạt nhân Z !! style="width: 10em;" | Tên và ký hiệu hoá học !! style="width: 15em;" | Đồng vị sống dài nhất !! style="width: 10em;" | Người và năm phát minh !! style="width: 15em;" | Đặc điểm quan trọng
|-
| 84 || Poloni (Po) || 209Po (102 năm) || 1898 P.& M. Curie || Về mặt hoá học giống tellur
|-
| 85 || Astati (At) || 210At (8,1 h) || 1940 Corson, McKenzie & Segrè || Thuộc nhóm halogen, ở dạng đơn chất dễ bay hơi
|-
| 86 || Radon (Rn) || 222Rn (3,62 ngày) || 1900 Rutherford, Soddy || Khí trơ
|-
| 87 || Franxi (Fr) || 223Fr (22 min) || 1939 Perey || Kim loại kiềm thổ, về hoá học rất giống Xêsi
|-
| 88 || Rađi (Ra) || 226Ra (1600 năm) || 1898 P.& M. Curie || Kim loại kiềm thổ, về hoá học rất giống bari
|-
| 89 || Actini (Ac) || 227Ac (21,6 năm) || 1899 Debierne || Về mặt hoá học giống lantanit, tính bazơ mạnh hơn
|-
| 90 || Thori (Th) || 232Th (1,41.1010 năm) || 1828 Berzelius || Thường chỉ thể hiện hoá trị (IV), Tạo ra nhiều phức chất, Th4+ thuỷ phân mạnh, về mặt hoá học giống Ce4+, Zr4+, Hf4+.
|-
| 91 || Protactini (Pa) || 231Pa (3,28.104 năm) || 1917 Hahn & Meitner || Chủ yếu có số oxi hoá (V), ion Pa5+ bị thuỷ phân mạnh trong dung dịch, tạo phức mạnh, hình thành keo phóng xạ.
|-
| 92 || Urani (U) || 238U (4,47.109 năm) || 1789 Klaproth || Thể hiện các số oxi hoá từ (III) đến (VI) (-u tiên hoá trị (VI), tạo thành các ion U4+, UO2+ và UO22+ trong dung dịch.)
|}

Các nguyên tố urani và thori đã được các nhà hóa học biết từ lâu trước khi phát hiện ra hiện tượng phóng xạ. Chúng có mặt trong nhiều loại quặng, đất đá, nước sông biển, không khí và trong cơ thể động thực vật. Một số đồng vị của urani và thori có thời gian bán hủy dài đến mức là chúng đã có mặt trong vỏ trái đất từ khi quả đất hình thành cho đến tận bây giờ.

Các đồng vị của thori và urani là các đồng vị mẹ của 3 họ phóng xạ: họ thori, họ urani-radi và họ actini.

*Họ phóng xạ thori bao gồm các đồng vị con cháu: Th-232; Ra 228 (MsTh1); Ac 238 (MsTh2); Th228 (RdTh); Ra-224 (ThX); Rn-220 (Tn); Po-216 (ThA); Pb-212(ThB); Bi-212(ThC); Po-212
(ThC’); Tl-208 (ThC’’); Pb-208 (ThD)

*Họ phóng xạ urani-radi bao gồm: U-238 (UI); Th-234 (UX1); Pa-234 (UX2); Pa-234 (UZ); U234(UII); Th-230(I0); Ra-226; Rn (222); Po-218 (RaA); Pb-214(RaB); At-218 Bi-214(RaC);Po214(RaC’);Th-210(RaC’’);Pb-210(RaD);Hg-206;Bi-210 (RaE);Tl-206 (RaE’); Po-210(Ra F); Pb206 (RaG)

*Họ phóng xạ actini bao gồm: U-235 (AcU); Th-232 (UY); Pa-231; Ac-235; Th-227(RdAc);Fr223 (AcK); Ra-223 (AcX); At-219; Rn-219(An); Bi-215; Po-215 (Ac);Pb-211 (AcB); At-215; Bi211 (AcC); Po-211m; Po211(Ac’); Tl-207 (AcC’’); Pb-224 (AcD)

Một phần nhỏ các chất phóng xạ trong tự nhiên nằm trong khí quyển là các nguyên tố nhẹ, như 14C, 10Be, 7Be và 3H. Bảng 2 thống kê các nguyên tố phóng xạ tự nhiên có thời gian bán huỷ > 1 ngày.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 2. Các đồng vị phóng xạ tự nhiên có thời gian bán hủy > 1 ngày
|-
! style="width:5em;" | Ký hiệu !! Thời gian bán huỷ !! Dạng bức xạ !! style="width:10em;" | Hàm lượng đồng vị trong tự nhiên (%) !! style="width:10em;" | Chú thích
|-
| 238U (UI=Urani) || 4,47.109(năm) || α, γ, e-(sf) || 99,276 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 234U (UII) || 2,44.105(năm) || α, γ, e-(sf) || 0,0055 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 234Th (UX1) || 24,1 (ngày) || β-, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 230Th (Ioni) || 7,7.104(năm) || α, γ (sf) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 236Ra (Radi) || 1600 (năm) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ urani
|-
| 222Rn (Radon) || 3,82 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Po (RaF) || 138,4 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Bi (RaE) || 5,0 (ngày) || β-, γ(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 210Pb (RaD) || 22,3 (năm) || β-, γ, e-(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 235U (AcU=Actinourani) || 7,04.104(năm) || α, γ (sf) || 0,720 || style="border-style: solid solid none solid;" |
|-
| 231Th (UY) || 25,5 (giờ) || β-, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 231Pa (Protactini) || 3,28.104(năm) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ actini
|-
| 227Th (RdAc=Radioactini) || 18,72 (ngày) || α, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 227Ac (Actini) || 21,6 (năm) || β-, γ, e-(α) || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 223Ra (AcX=Actini X) || 11,43 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid solid solid;" |
|-
| 232Th (Thori) || 1,405.1010 (năm) || α, γ, e-(sf) || 100 || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 228Th (RdTh=Radiothori) || 1,91.109(năm) || α, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 228Ra (MsTh1=Mesothori 1) || 5,75 (năm) ||β-, γ, e- || || style="border-style: none solid none solid;" | Họ thori
|-
| 224Ra (ThX=Thori X) || 3,66 (ngày) || α, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 204Pb || 1,4.1017 (năm) || α || 1,4 || style="border-style: none solid solid solid;" |
|-
| 190Pt || 6,1.1011 (năm) || α || 0,0127 ||
|-
| 186Os || 2,0.1015 (năm) || α || 1,6 ||
|-
| 187Re || 5.1010 (năm) || β- || 62,60 ||
|-
| 174Hf || 2,0.1015 (năm) || α || 0,18 ||
|-
| 176Lu || 3,6.109(năm) || β-, γ, e- || 2,60 ||
|-
| 152Gd || 1,1.1014 (năm) || α || 0,20 ||
|-
| 147Sm || 1,05.1011 (năm) || α || 15,0 ||
|-
| 148Sm || 7.1015 (năm) || α || 11,2 ||
|-
| 144Nd || 2,1.1015 (năm) || α || 23,9 ||
|-
| 138La || 1,35.1011 (năm) || ε, β-, γ || 0,09 ||
|-
| 123Te || 1,24.1013 (năm) || ε || 0,87 ||
|-
| 115In || 5,1.1015 (năm) || β- || 95,7 ||
|-
| 113Cd || 9.1015 (năm) || β- || 12,3 ||
|-
| 87Rb || 4,7.1010 (năm) || β- || 27,83 ||
|-
| 40K || 1,28.109(năm) || β-, ε, β+, γ || 0,012 ||
|-
| 14C || 5730 (năm) || β- || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 10Be || 1,6.106 (năm) || β- || || style="border-style: none solid none solid;" | Xuất hiện trong khí quyển do các tia vũ trụ
|-
| 7Be || 53,4 (ngày) || ε, γ || || style="border-style: none solid none solid;" |
|-
| 3H || 12,346 (năm) || β- || || style="border-style: none solid solid solid;" |
|}

==Nguồn gốc và phân bố NTPXTN==

Dễ dàng thấy rằng phần lớn các nguyên tố phóng xạ tự nhiên là các nguyên tố nặng, phân bố rộng rãi trong thạch quyển, quan trọng nhất là quặng urani, quặng thori, bao gồm cả các sản phẩm phân rã của urani và thori, các mỏ muối kali. (Bảng 3.)

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 3. Các khoáng vật của urani và thori
|-
! Khoáng vật !! Thành phần hoá học !! Hàm lượng Urani (%) !! Hàm lượng Thori (%) !! Mỏ
|-
| Pitchblende || U3O3 || 60 - 90 || || Bohemia, Congo, Colorado (Mỹ)
|-
| Becquerelit || 2UO3.3H2O || 74 || || Bayern (Đức), Congo
|-
| Uraninit || rowspan="3" | UO2.UO3 || 65 - 75 || 0,5 - 10 || Nhật, Mỹ, Canađa
|-
| Broeggerit || 48 - 75 || 6 - 12 || Na-uy
|-
| Cleveit || 48 - 66 || 3,5 - 4,5 || Na-uy, Nhật, Texas (Mỹ)
|-
| Autunit || Ca(UO2)2(PO4)2.nH2O || 50-60 || || Pháp, Mađagasca, Bồ-đào-nha, Mỹ
|-
| Cacnotit || K(UO2)2(VO4)nH2O || ≈45 || || Mỹ, Congo, Nga, Úc
|-
| Casolit || PbO.UO3.SiO2.H2O || ≈40 || || Congo
|-
| Liebigit || Carbonat của U và Ca || ≈30 || || Nga, Australia
|-
| Thorianit || (Th,U)O2 || 4 - 28 || 60 - 90 || Xaylan, Mađagasca
|-
| Thorit || ThSiO4.H2O || 1 - 19 || 40 - 70 || Na-uy, Mỹ.
|-
| Monazit || Photphat của Th và đất hiếm || || 0,1 - 15 || Brazin, Ấn Độ, Nga, Na-uy, Mađagasca
|}

Người ta cho rằng năng lượng kèm theo sự phân rã của các chất phóng xạ tự nhiên đóng góp một phần vào nhiệt độ của vỏ trái đất. Nhiệt độ tương đối caom vào khoảng 30°C ở độ sâu từ 1 đến một vài km tính từ bề mặt trái đất, được giải thích bởi năng lương phân rã của các chất phóng xạ tự nhiên, chẳng hạn trong đá granit.

Do những rạn vỡ của vỏ trái đất và quá trình phong hoá, các nguyên tố phóng xạ di chuyển đi nơi khác và các cân bằng phóng xạ bị vi phạm. Các nguyên tố phóng xạ tách khỏi đất đá chứa các nguyên tố mẹ - urani và thori. Các nguyên tố phóng xạ ngắn ngày nhanh chóng biến mất, chỉ còn lại các nguyên tố phóng xạ dài ngày như 230Th, 231Pa và 226Ra. Nhưng các nguyên tố dài ngày này tạo thành những thể sa lắng thứ cấp, chẳng hạt các lớp sét màu xám và các bùn lắng trong hồ nước chứa Ra.

Ra có mặt trong đất, nước sông và nước biển. Do sự hiện diện rộng rãi của Ra trong tự nhiên, các hồ nước và khí quyển đều chứa các sản phẩm phân rã của nguyên tố này như: radon, thoron và actinon. Các sản phẩm khác của sự xạ khí , như các đồng vị của thali, chì, bismur, polonium và astatin, tồn tại ở trạng thái bụi trong không khí hoặc hoà tan trong nước.

Các nguyên tố phóng xạ tự nhiên chuyển từ đất vào thực vật và sau đó vào cơ thể động vật. Hàm lượng urani trong cây cối khoảng từ 10-5 đến 10-8%, của radi khoảng 10-12%. Hàm lương radi trong cơ thể động vật chừng 10-12%.

Ngoài urani, thori và các sản phẩm phân rã của chúng, trong tự nhiên cũng tồn tại các nguyên tố phóng xạ khác như các đồng vị phóng xạ của kali, canxi, rubidi...(xem bảng 2.). Hàm lượng của các nguyên tố này trong vỏ trái đất vào khoảng 0,1%. Cũng vì vậy trong cây cối và cơ thể động vật, ngoài urani, thori, radi và các sản phẩm phân rã của chúng, còn có các nguyên tố phóng xạ khác, chẳng hạn một lượng đáng kể đồng vị 40K.

Ngoài các quá trình phân rã phóng xạ tạo ra đồng vị thuộc các họ urani, actino-urani và thori, trong tự nhiên còn diễn ra nhiều quá trình hạt nhân dẫn đến sự hình thành các đồng vị phóng xạ. Hành tinh của chúng ta, các thiên thể khác cùng với không gian vũ trụ có thể xem là một phòng thí nghiệm đặc biệt, ở đó luôn diễn ra vô số các phản ứng hạt nhân với sự tạo thành nhiều đồng vị phóng xạ.

Các tia vũ trụ tác động lên không khí (hỗn hợp nitơ và oxi) có thể kích hoạt hạt nhân nguyên tử của chúng mà kết quả là xuất hiện các nơtron nhanh. Neutron bắn phá các hạt nhân nitơ tạo thành đồng vị 14C do phản ứng 147N(n,p)146C. Quá trình ấy tạo ra một lượng lớn 14C trong khí quyển nằm dưới dạng phân tử carbon dioxide (CO2) có thời gian bán huỷ là 5760 năm. Trong nhiều thế kỷ, cường độ của các tia vũ trụ hiển nhiên không hề thay đổi. Cacbon dioxide liên tục được tạo thành với tốc độ không đổi trong khí quyển. Sự phân rã 14C trong CO2 cũng diễn ra với tốc độ không đổi. Kết quả là CO2 trong khí quyển chứa một tỷ lệ bất biến CO2 phóng xạ. CO2 này được cây cối hấp thụ khi quang hợp làm cho hàm lượng cacbon phóng xạ trong động thực cũng không đổi.

==Tài liệu tham khảo==

* Đỗ Quý Sơn, Huỳnh Văn Trung, Cơ sở Hóa học phóng xạ, NXB Khoa học và kỹ thuật, 2008

* K.H. Lieser, Nuclear and Radiochemistry Fundamentals and applications, WILEY-VCH, Weihem, 2001

Nguyên tố phóng xạ tự nhiên

2021-01-12T07:47:37Z

Minhpc:

==Định nghĩa==
Một nguyên tố được gọi là nguyên tố phóng xạ nếu tất cả các đồng vị của nó đều là đồng vị phóng xạ, không có đồng vị nào là bền. Những nguyên tố phóng xạ có trong tự nhiên với nồng độ đáng kể gọi là '''nguyên tố phóng xạ tự nhiên''' (NTPXTN).

NTPXTN được tìm thấy đầu tiên được liệt kê trong bảng 1.

{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|+ Bảng 1. Các nguyên tố phóng xạ tự nhiên
|-
! style="width: 3em; margin-left: auto; margin-right: auto;" | Điện tích hạt nhân Z !! style="width: 10em;" | Tên và ký hiệu hoá học !! style="width: 15em;" | Đồng vị sống dài nhất !! style="width: 10em;" | Người và năm phát minh !! style="width: 15em;" | Đặc điểm quan trọng
|-
| 84 || Poloni (Po) || 209Po (102 năm) || 1898 P.& M. Curie || Về mặt hoá học giống tellur
|-
| 85 || Astati (At) || 210At (8,1 h) || 1940 Corson, McKenzie & Segrè || Thuộc nhóm halogen, ở dạng đơn chất dễ bay hơi
|-
| 86 || Radon (Rn) || 222Rn (3,62 ngày) || 1900 Rutherford, Soddy || Khí trơ
|-
| 87 || Franxi (Fr) || 223Fr (22 min) || 1939 Perey || Kim loại kiềm thổ, về hoá học rất giống Xêsi
|-
| 88 || Rađi (Ra) || 226Ra (1600 năm) || 1898 P.& M. Curie || Kim loại kiềm thổ, về hoá học rất giống bari
|-
| 89 || Actini (Ac) || 227Ac (21,6 năm) || 1899 Debierne || Về mặt hoá học giống lantanit, tính bazơ mạnh hơn
|-
| 90 || Thori (Th) || 232Th (1,41.1010 năm) || 1828 Berzelius || Thường chỉ thể hiện hoá trị (IV), Tạo ra nhiều phức chất, Th4+ thuỷ phân mạnh, về mặt hoá học giống Ce4+, Zr4+, Hf4+.
|-
| 91 || Protactini (Pa) || 231Pa (3,28.104 năm) || 1917 Hahn & Meitner || Chủ yếu có số oxi hoá (V), ion Pa5+ bị thuỷ phân mạnh trong dung dịch, tạo phức mạnh, hình thành keo phóng xạ.
|-
| 92 || Urani (U) || 238U (4,47.109 năm) || 1789 Klaproth || Thể hiện các số oxi hoá từ (III) đến (VI) (-u tiên hoá trị (VI), tạo thành các ion U4+, UO2+ và UO22+ trong dung dich.
|}

Các nguyên tố urani và thori đã được các nhà hóa học biết từ lâu trước khi phát hiện ra hiện tượng phóng xạ. Chúng có mặt trong nhiều loại quặng, đất đá, nước sông biển, không khí và trong cơ thể động thực vật. Một số đồng vị của urani và thori có thời gian bán hủy dài đến mức là chúng đã có mặt trong vỏ trái đất từ khi quả đất hình thành cho đến tận bây giờ.

Các đồng vị của thori và urani là các đồng vị mẹ của 3 họ phóng xạ: họ thori, họ urani-radi và họ actini.

*Họ phóng xạ thori bao gồm các đồng vị con cháu: Th-232; Ra 228 (MsTh1); Ac 238 (MsTh2); Th228 (RdTh); Ra-224 (ThX); Rn-220 (Tn); Po-216 (ThA); Pb-212(ThB); Bi-212(ThC); Po-212
(ThC’); Tl-208 (ThC’’); Pb-208 (ThD)

*Họ phóng xạ urani-radi bao gồm: U-238 (UI); Th-234 (UX1); Pa-234 (UX2); Pa-234 (UZ); U234(UII); Th-230(I0); Ra-226; Rn (222); Po-218 (RaA); Pb-214(RaB); At-218 Bi-214(RaC);Po214(RaC’);Th-210(RaC’’);Pb-210(RaD);Hg-206;Bi-210 (RaE);Tl-206 (RaE’); Po-210(Ra F); Pb206 (RaG)

*Họ phóng xạ actini bao gồm: U-235 (AcU); Th-232 (UY); Pa-231; Ac-235; Th-227(RdAc);Fr223 (AcK); Ra-223 (AcX); At-219; Rn-219(An); Bi-215; Po-215 (Ac);Pb-211 (AcB); At-215; Bi211 (AcC); Po-211m; Po211(Ac’); Tl-207 (AcC’’); Pb-224 (AcD)

Một phần nhỏ các chất phóng xạ trong tự nhiên nằm trong khí quyển là các nguyên tố nhẹ, nh- 14C, 10Be, 7Be và 3H. Bảng 2. thống kê các nguyên tố phóng xạ tự nhiên có thời gian bán huỷ > 1 ngày

Bảng 2. Các đồng vị phóng xạ tự nhiên có thời gian bán hủy > 1 ngày

Ký hiệu Thời gian
bán huỷ
Dạng bức
xạ
Hàm
l-ợng
đồng vị
trong tự
nhiên (%)
Chú thích
238U (UI=Urani) 4,47.109(năm) α,γ,e-(sf) 99,276
234U (UII) 2,44.105(năm) α,γ,e-(sf) 0,0055
234Th (UX1) 24,1 (ngày) β-,γ,e
230Th (Ioni) 7,7.104(năm) α,γ (sf)
236Ra (Radi) 1600 (năm) α,γ Họ urani
222Rn (Radon) 3,82 (ngày) α,γ
210Po (RaF) 138,4 (ngày) α,γ
210Bi (RaE) 5,0 (ngày) β-,γ(α)
210Pb (RaD) 22,3 (năm) β-,γ,e-(α)
235U (AcU=Actinourani) 7,04.104(năm) α,γ (sf) 0,720
231Th (UY) 25,5 (giờ) β-,γ
231Pa (Protactini) 3,28.104(năm) α,γ Họ actini
227Th (RdAc=Radioactini) 18,72 (ngày) α,γ,e-
227Ac (Actini) 21,6 (năm) β-,γ,e-(α)
223Ra (AcX=Actini X) 11,43 (ngày) α,γ
232Th (Thori) 1,405.1010 (năm) α,γ,e-(sf) 100
228Th (RdTh=Radiothori) 1,91.109(năm) α,γ,e- Họ thori
228Ra (MsTh1=Mesothori 1) 5,75 (năm) β-,γ,e-
224Ra (ThX=Thori X) 3,66 (ngày) α,γ
204Pb 1,4.1017 (năm) α 1,4
190Pt 6,1.1011 (năm) α 0,0127
186Os 2,0.1015 (năm) α 1,6
187Re 5.1010 (năm) β- 62,60
174Hf 2,0.1015 (năm) α 0,18
176Lu 3,6.109(năm) β-,γ,e- 2,60
152Gd 1,1.1014 (năm) α 0,20
147Sm 1,05.1011 (năm) α 15,0
148Sm 7.1015 (năm) α 11,2
144Nd 2,1.1015 (năm) α 23,9
138La 1,35.1011 (năm) ε,β-,γ 0,09
123Te 1,24.1013 (năm) ε 0,87
115In 5,1.1015 (năm) β- 95,7
113Cd 9.1015 (năm) β- 12,3
87Rb 4,7.1010 (năm) β- 27,83
40K 1,28.109(năm) β-,ε,β+,γ 0,012
14C 5730 (năm) β- Xuất hiện trong khí quyển do các tia vũ trụ
10Be 1,6.106(năm) β-
7Be 53,4 (ngày) ε,γ
3H 12,346 (năm) β-

==Nguồn gốc và phân bố NTPXTN==

Dễ dàng thấy rằng phần lớn các nguyên tố phóng xạ tự nhiên là các nguyên tố nặng, phân bố rộng rãi trong thạch quyển, quan trọng nhất là quặng urani, quặng thori, bao gồm cả các sản phẩm phân rã của urani và thori, các mỏ muối kali. (Bảng 3.)

Bảng 3. Các khoáng vật của urani và thori

Khoáng vật Thành phần hoá học Hàm lượng
Urani (%)
Hàm
lượng
Thori (%)
Mỏ
Pitchblende U3O3 60-90 Bohemia, Congo,
Colorado (Mỹ)
Becquerelit 2UO3.3H2O 74 Bayern (Đức), Congo
Uraninit
UO2.UO3
65-75 0,5 - 10 Nhật, Mỹ, Canađa
Broeggerit 48-75 6 - 12 Na-uy
Cleveit 48-66 3,5 - 4,5 Na-uy, Nhật, Texas
(Mỹ)
Autunit Ca(UO2
)2
(PO4
)2
.nH2O 50-60 Pháp, Mađagasca, Bồ-
đào-nha, Mỹ
Cacnotit K(UO2)2(VO4)nH2O ? 45 Mỹ, Congo, Nga, úc
Casolit PbO.UO3
.SiO2
.H2O ? 40 Congo
Liebigit Carbonat của U và Ca ? 30 Nga, Australia
Thorianit (Th,U)O2 4-28 60 - 90 Xaylan, Mađagasca
Thorit ThSiO4
.H2O 1-19 40 - 70 Na-uy, Mỹ.
Monazit Photphat của Th và đất
hiếm 0,1 - 15 Brazin, ?n é?, Nga,
Na-uy, Mađagasca

Người ta cho rằng năng lượng kèm theo sự phân rã của các chất phóng xạ tự nhiên đóng góp một phần vào nhiệt độ của vỏ trái đất. Nhiệt độ tương đối caom vào khoảng 30oC ở độ sâu từ 1 đến một vài km tính từ bề mặt trái đất, được giải thích bởi năng lương phân rã của các chất phóng xạ tự nhiên, chẳng hạn trong đá granit.

Do những rạn vỡ của vỏ trái đất và quá trình phong hoá, các nguyên tố phóng xạ di chuyển đi nơi khác và các cân bằng phóng xạ bị vi phạm. Các nguyên tố phóng xạ tách khỏi đất đá chứa các nguyên tố mẹ - urani và thori. Các nguyên tố phóng xạ ngắn ngày nhanh chóng biến mất, chỉ còn lại các nguyên tố phóng xạ dài ngày như 230Th, 231Pa và 226Ra. Nhưng các nguyên tố dài ngày này tạo thành những thể sa lắng thứ cấp, chẳng hạt các lớp sét màu xám và các bùn lắng trong hồ nước chứa Ra.

Ra có mặt trong đất, nước sông và nước biển. Do sự hiện diện rộng rãi của Ra trong tự nhiên, các hồ nước và khí quyển đều chứa các sản phẩm phân rã của nguyên tố này như: radon, thoron và actinon. Các sản phẩm khác của sự xạ khí , như các đồng vị của thali, chì, bismur, polonium và astatin, tồn tại ở trạng thái bụi trong không khí hoặc hoà tan trong nước.

Các nguyên tố phóng xạ tự nhiên chuyển từ đất vào thực vật và sau đó vào cơ thể động vật. Hàm lượng urani trong cây cối khoảng từ 10-5 đến 10-8%, của radi khoảng 10-12%. Hàm lương radi trong cơ thể động vật chừng 10-12%.

Ngoài urani, thori và các sản phẩm phân rã của chúng, trong tự nhiên cũng tồn tại các nguyên tố phóng xạ khác như các đồng vị phóng xạ của kali, canxi, rubidi...(xem bảng 2.). Hàm lượng của các nguyên tố này trong vỏ trái đất vào khoảng 0,1%. Cũng vì vậy trong cây cối và cơ thể động vật, ngoài urani, thori, radi và các sản phẩm phân rã của chúng, còn có các nguyên tố phóng xạ khác, chẳng hạn một lượng đáng kể đồng vị 40K.

Ngoài các quá trình phân rã phóng xạ tạo ra đồng vị thuộc các họ urani, actino-urani và thori, trong tự nhiên còn diễn ra nhiều quá trình hạt nhân dẫn đến sự hình thành các đồng vị phóng xạ. Hành tinh của chúng ta, các thiên thể khác cùng với không gian vũ trụ có thể xem là một phòng thí nghiệm đặc biệt, ở đó luôn diễn ra vô số các phản ứng hạt nhân với sự tạo thành nhiều đồng vị phóng xạ.

Các tia vũ trụ tác động lên không khí (hỗn hợp nitơ và oxi) có thể kích hoạt hạt nhân nguyên tử của chúng mà kết quả là xuất hiện các nơtron nhanh. Neutron bắn phá các hạt nhân nitơ tạo thành đồng vị 14C do phản ứng 147N(n,p)146C. Quá trình ấy tạo ra một lượng lớn 14C trong khí quyển nằm dưới dạng phân tử carbon dioxide (CO2) có thời gian bán huỷ là 5760 năm. Trong nhiều thế kỷ, cường độ của các tia vũ trụ hiển nhiên không hề thay đổi. Cacbon dioxide liên tục được tạo thành với tốc độ không đổi trong khí quyển. Sự phân rã 14C trong CO2 cũng diễn ra với tốc độ không đổi. Kết quả là CO2 trong khí quyển chứa một tỷ lệ bất biến CO2 phóng xạ. CO2 này được cây cối hấp thụ khi quang hợp làm cho hàm lượng cacbon phóng xạ trong động thực cũng không đổi.

==Tài liệu tham khảo==

* Đỗ Quý Sơn, Huỳnh Văn Trung, Cơ sở Hóa học phóng xạ, NXB Khoa học và kỹ thuật, 2008

* K.H. Lieser, Nuclear and Radiochemistry Fundamentals and applications, WILEY-VCH, Weihem, 2001